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排列、組合、機率

排列、組合、機率. 7. 機率 8. 獨立事件 9. 貝士定理. 1. 相異物排列法 2. 相同物排列法 3. 取法 4. 取 & 排法 5. 取量法 6. 二項式定理. 1. 相異物排列法 ： 3 人排一列 = 3!. 3 種 × 2 種 × 1 種. (1) (2) (3). ABC ACB BAC BCA CAB CBA. 排列方式. 相異物排列法. 定義： n!=n(n-1)(n-2)…×1 0!=1 ，沒有 (-1)!

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排列、組合、機率

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Presentation Transcript

  1. 排列、組合、機率 7.機率 8.獨立事件 9.貝士定理 1.相異物排列法 2.相同物排列法 3.取法 4.取&排法 5.取量法 6.二項式定理

  2. 1.相異物排列法： 3人排一列 = 3! 3種 × 2種 × 1種 (1) (2) (3) ABC ACB BAC BCA CAB CBA 排列方式

  3. 相異物排列法 • 定義：n!=n(n-1)(n-2)…×1 0!=1，沒有(-1)! • A、B、C、D四人排一列，請畫出其樹狀圖 • 範例： • 練習：

  4. 2.相同物排列法： 2個A、1個B 、1個C排列 = AaBC AaCB ABaC ABCa ACaB ACBa aABC aACB aBAC aBCA aCAB aCBA BAaC BACa BaAC BaCA BCAa BCaA CAaB CABa CaAB CaBA CBAa CBaA 視為不同  Aa的排列應為相同  AABC AACB ABAC ABCA ACAB ACBA AABC AACB ABAC ABCA ACAB ACBA BAAC BACA BAAC BACA BCAA BCAA CAAB CABA CAAB CABA CBAA CBAA 相同物排列

  5. 相同物排列法(範例2)： 2個A、2個B 排列 = AaBb AabB ABab ABba AbaB AbBa aABb aAbB aBAb aBbA abAB abBA BAab BAba BaAb BabA BbAa BbaA bAaB bABa baAB baBA bBAa bBaA 視為不同  Aa的排列應為相同 Bb的排列應為相同  AABB AABB ABAB ABBA ABAB ABBA AABB AABB ABAB ABBA ABAB ABBA BAAB BABA BAAB BABA BBAA BBAA BAAB BABA BAAB BABA BBAA BBAA 相同物排列

  6. 相同物排列法： • 3個A、2個B 排列 • 先視為5個不同物排列=5! • 3個不同A的排列= 3! • 每3!個視為1個 • 2個不同B的排列= 2! • 每2!個視為1個

  7. 相同物排列法： • 3個A、1個B排列，請先以Aa@B進行排列，再將Aa@視為相同的刪除 • 範例： • 練習：

  8. 3.取法：3個不同的東西取2個 = 3種 × 2種 (1) (2) AB AC BA BC CA CB 取法 • AB:先取A再取B、 BA:先取B再取A • AB的排列視為同一種取法 得 =

  9. 取法 • 定義： • 由A、B、C、D中取3個，請畫出其樹狀圖，並標示那些情形是取出ABC • 範例： • 練習：

  10. 4.取&排法：3個不同的東西 取2個出來排列 = = 3種 × 2種 (1) (2) AB AC BA BC CA CB = 3× 2 取法  = AB AC BC  ABBA AC CA BC CB = 3× 2

  11. 取&排法 • 定義： • 由A、B、C、D中取2個出來排列，請寫出所有排列 • 範例： • 練習：

  12. 5.取量法：3個相同的東西 由2人去取 = = 甲 乙 × × x≧0, y ≧0 , x,y是整數, x+y=3 

  13. 取量法 3個相同的東西由2人去取 • 3個蘋果用1個隔板分出2個區域， 每個區域代表一個人取得的量(若是n個人就得用n-1個隔板) 3個A、1個B排列 (2-1) 

  14. 6.二項式定理 =(x+y)(x+y)(x+y) =(xx+xy+yx+yy)(x+y) =xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy  xxx項是第1個括號的x、第2個的x、第3個的x相乘 • 每一項都是由3個括號中各取一個項出來相乘的結果 (每一個括號都要取) 

  15. 二項式定理 • 公式： • 以二項式定理寫出 的展開式，並列 項所有可能的取法 • 範例： • 練習：

  16. S A 7.機率 A事件發生的機率=p(A)=

  17. 機率 • 袋中有3顆紅球、 4顆白球，隨機取一顆，抽中紅球的機率 樣本空間 = 抽一球 = 事件 = 抽中紅球 = • 袋中有3顆紅球、 4顆白球，隨機取兩顆，抽中兩顆紅球的機率 樣本空間 = 抽兩球 = 事件 = 抽中兩顆紅球 =

  18. S A B 7.條件機率 在A事件發生的情況下，B事件會發生的機率 =p(B｜A)

  19. 7.條件機率 • 袋中有3顆紅球、 4顆白球，每次取1顆，取出不放回，取2次，若第1次抽中紅球，求第2次抽中白球的機率(條件機率， p(B｜A) )求第1次抽中紅球、第2次抽中白球的機率(p(B∩A) )  A事件的機率=第1次抽中紅球(第2次不限) 的機率=p(A)=  B事件的機率=第2次抽中白球(第1次不限)的機率=p(B)=

  20. S A B 條件機率 若第1次抽中紅球，求第2次抽中白球的機率p(B｜A) =直接由第1次抽中紅球後的狀況下求解：袋中尚有2顆紅球、4顆白球，抽中1顆白球的機率=  p(A∩B)=第1次抽中紅球、第2次抽中白球的機率= = 的解

  21. 8.獨立事件 • 某人擲一顆骰子兩次，A事件是第一次出現1點，B事件是第二次出現6點，A和B是獨立事件，即互不影響的兩件事，這兩件事要同時發生的機率是兩個機率相乘， 即p(B∩A)= p(A)×p(B)。 • 承上，A事件是第一次出現1點，C事件是第一次出現6點，某人擲一顆骰子不可能使A和C同時發生， 若A發生則C就不會發生，所以不是獨立事件(互有影響)。 p(B∩A)= 0 ≠ p(A)×p(B)(屬於互斥事件)。

  22. 補充1. 重覆排列 • 2個杯倒入3種酒，不能混酒、不能空杯 正確做法 3種 × 3種 (1) (2) AA AB AC BA BB BC CA CB CA 方式 酒沒全用上 第1個杯子裝A酒、第2個杯子裝C酒

  23. 重覆排列 • 2個杯倒入3種酒，不能混酒、不能空杯 錯誤做法 2種 × 2種 × 2種 (A) (B) (C) 混酒且空杯 111 112 121 122 211 212 221 222 方式 A酒倒入第1個杯子、B酒倒入第2個杯子、C酒倒入第1個杯子 混酒

  24. 重覆排列 • 2個杯倒入3種酒，不能空杯、酒全用、可混酒 酒A酒B酒C 杯1 杯1 杯1 杯2杯2杯2 杯2是空杯 2種 × 2種 × 2種 方法有111、112、121、122、…、222，112是A酒倒入第1個杯子、B酒倒入第1個杯子、C酒倒入第2個杯子 其中只有111、222， 雖用到全部的酒， 但有空杯 所以答案是 2×2×2-2

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