轴对称与轴对称变换

1. 轴对称与轴对称变换 人教版初中数学八年级下册

2. 目标导引 1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质； 2．能按要求作出简单图形经过一次或两次轴对称变换后的图形； 3．了解线段垂直平分线的概念，并掌握其性质和判定； 4．能初步应用本章知识解释生活中的现象，解决简单实际问题．经历观察、操作、想象、论证、交流等过程，发展空间观念，激发学习兴趣．

3. 知识梳理 知识结构框图

4. 知识点1 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 如图所示，△ABC沿直线l折叠，直线l两旁的部分互相重合， 就称△ABC是轴对称图形．

5. 知识点2 轴对称 ⑴定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 　　如图所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，直线l叫做对称轴．点A和A′，B和B′，C和C′分别是对称点.

6. ⑵对称轴的性质：对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．⑵对称轴的性质：对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

7. 知识点3 线段的垂直平分线 ⑴定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 　　如图所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.

8. 知识点3线段的垂直平分线 ⑵线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 　　如图，用符号语言表述为： ∵点P是线段AB垂直平分线上的点， ∴PA=PB.

9. 知识点3线段的垂直平分线 ⑶线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言描述如下： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB垂直平分线上； ∵QA=QB， ∴点Q也在线段AB垂直平分线上.

10. 知识点4 轴对称变换 ⑴定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. ⑵轴对称变换的性质： ①如果对称轴的方向和位置发生变化，那么经过轴对称变换得到的图形的方向和位置也会发生变化． ②经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样． ③经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． ④连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

11. 知识点5 常见的画图方法 ⑴成轴对称的两个图形的对称轴的画法： 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ⑵ 画一个图形经轴对称变换后的图形： 因为每一个平面图形都是由一些线组成，而点动成线，所以，要画一个图形经轴对称后的图形，只要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点并顺次连接即可．

12. 例题讲析 ① ⑤ ⑦ 例1下列说法中正确的有：（填序号） ①关于某条直线对称的两个三角形全等；②全等三角形一定关于某条直线对称；③线段只有一条对称轴，就是它的垂直平分线；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线；⑤一个轴对称图形可以有无数条对称轴；⑥点P是直线l上的一点，若PA=PB，则直线l垂直平分线段AB；⑦任意三角形三边的垂直平分线交于一点；⑧如果关于直线对称的两条线段没有交点，那么它们都与对称轴平行．　

13. 图 形 是否轴对称图形 对称轴数量(条) 是 2 是 4 不是 无 1 是 是 3 是 1 无数 是 一些常见几何图形和它们的对称情况：

14. 5 4 3 y 2 A 1 C Ｏ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 B x -2 -3 -4 例2已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形． 例题讲析 解： 点A(-3,5)、B(-4,1)、 C(-1,3)关于y轴对称点 的坐标分别为A '(3，5)、 B '(4,1)、C '(1,3)． · · A’ · · C’ · · B’ 依次连接A 'B '，B 'C '，C 'A ' ，就得到△ABC关于y轴对称的△A 'B 'C '.

15. 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 （变式）如图,分别作出点A、B、C关于直线x=1的对称点, 各对对称点坐标之间有什么特殊关系? y 解： x=1 A′(4,3) A(-2,3) · · B′(3,1) · · B(-1,1) x 0 · · C′(5,-2) C(-3,-2)

16. 坐标平面内对称点之间的坐标规律： ⑴点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P1(x，－y)； ⑵点P(x，y )关于y轴对称的点的坐标为P2(－x，y)； ⑶点P(x，y )关于直线x=m (m为常数)对称的点的坐 标为P3 (2m－x，y )； ⑷点P(x，y )关于直线y=n (n为常数)对称的点的坐标 为P4 (x，2n－y )．

17. 例题讲析 　例3　如图所示，某地有两家超市M、N和两条相交叉的公路AO、BO．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两家超市的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能帮助设计人员确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案，并简述你设计的理由. 略解：根据角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质，仓库应建在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点处. P

18. B 小区 A小区 C 煤气主管道 A′ 例题讲析 　例4如图所示，某开发区新建了A、B两片住宅区，需要从煤气主管道MN建立一个连接口，同时向这两个小区供气．请问，这个接口应建在何处，才能使得所用管道最短? M N 　　解：作点A关于主管道MN的对称点A′，连接BA′，与MN的交点C即为接口位置．

19. N M 煤气主管道 B 小区 A小区 C A' 证明： C' 在直线MN上任取一异于点C的点C'， 连接AC'，BC'， A'C'. ∵直线MN是点AA'的对称轴，点CC'在直线MN上, ∴AC＝A‘C, AC’＝A‘C’． ∴AC＋BC＝A'C＋BC＝A'B＜A'C'＋BC'＝AC'＋BC', 即AC＋BC最小.

20. E F 例题讲析 （变式1）在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上分别确定两点C、D，使△PCD的周长最短． 作法： ①作点P关于直线OA的对称点E； ②作点P关于直线OB的对称点F； ③连接EF分别交OA、OB于点C、D． 则C、D就是所要求作的点． C D

21. E F 例题讲析 证明： 连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD． 在OA上任取异于点C的任一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP． ∵△PHD的周长 =HP+HD+PD =HE+HD+DF > ED+DF=EF， 而△PCD的周长 =PC+CD+PD =EC+CD+DF=EF． ∴△PCD的周长最短． C H D

22. M 例题讲析 （变式2）平面直角坐标系中，点Ｍ是x轴上的一个动点，当点Ｍ运动到何处时，它与两定点P(5，5)、Q(2，1)的距离之和最小？ 分析： 　　作点Q关于x轴的对称点为Q′,则Q′(2，-1)， 　　连接PQ′,与x轴的交点即为所求动点Ｍ的位置．

23. 　 设直线PQ′：y=kx+b,则有　 解得 ∴直线PQ′： y=2x-5, 当y=2x-5=0时，x=2.5，即Ｍ(2.5，0)． 所以，当点Ｍ运动到(2.5，0) 处时，它与两定点P、Q的距离之和最小 M 解：作点Q关于x轴的对称点为Q′,则Q′(2，-1)，连接PQ′,与x轴的交点即为所求动点Ｍ的位置．

24. 例题讲析 　例5 如图，在△ABC中， ∠BAC的平分线和BC边的 垂直平分线DE交于点D，DG⊥AB于点G，DH⊥AC 交AC的延长线于点H． 求证：BG=CH．

25. ∵点D在∠BAC的平分线上， DG⊥AB、DH⊥AC， ∴DG=DH． ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC． ∵DG⊥AB、DH⊥AC， ∴∠BGD=∠CHD=90°． 在Rt△BDG和Rt△CDH中， ∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）． ∴BG=CH． 例题讲析 连接BD、CD， 证明：

26. 学法指导 　　本节课我们一起回顾了轴对称图形、轴对称和线段的垂直平分线等有关知识．　　除了掌握基础知识，我们还要学会运用数形结合、建模等数学思想解决实际问题．