slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
לוגיקה למדעי המחשב 1 PowerPoint Presentation
Download Presentation
לוגיקה למדעי המחשב 1

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 54

לוגיקה למדעי המחשב 1 - PowerPoint PPT Presentation


  • 235 Views
  • Uploaded on

לוגיקה למדעי המחשב 1. תורת הקבוצות. חלק א'. קבוצות - דוגמאות. B = {4,6,8} } טכניון, אוניברסיטת חיפה} = C N = {0,1,2,…} קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים. איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות ! המספרים 4,6,8 הם איברים של הקבוצה B . נסמן: 8 B, 6B, 4B. שייכות.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'לוגיקה למדעי המחשב 1' - dreama


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide3
קבוצות - דוגמאות

B = {4,6,8}

}טכניון, אוניברסיטת חיפה} = C

N = {0,1,2,…}

קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים.

איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות !

המספרים 4,6,8 הם איברים של הקבוצה B.

נסמן: 8B, 6B, 4B

slide4
שייכות

באופן כללי נכתוב: aA.

"aשייך ל- A" כדי לציין את העובדה ש- a הוא איבר בקבוצה A.

אם a אינו איבר של A נרשום: aA, או: (aA)

לדוגמא: 3  {4,6,8} = B

slide5
קבוצות - סימונים

אם P(x) פרדיקט (תכונה) כלשהו, אזי:{x : P(x)} מסמן

קבוצה. איבר a שייך לקבוצה זו אם ורק אם P(a), כלומר a

מקיים את התכונה P.

a  {x : P(x)}  P(a)

B = {x : x =4  x = 6  x = 8}

slide6
בקבוצה כל איבר מופיע פעם אחת בלבד.

{a,a,b,2,2,3,3,3,} = {a,b,b,2,2,2,3,3} = {a,b,2,3}

מספר האיברים השונים בקבוצה יכול להיות סופי או אינסופי,

ובהתאם הקבוצה נקראת סופית או אינסופית.

B = {4,6,8} היא קבוצה סופית.

N = {0,1,2,… } היא קבוצה אינסופית.

slide7
D = {a,{1,2},b,{5}}

שים לב: {5}  D

אך: 5  D

דוגמא
slide8
הכלה

הגדרה: קבוצה A היא קבוצה חלקית או תת-קבוצה של

הקבוצה B אם כל איבר של A הוא איבר של B.

מסמנים: A  B

{{5}}  D = {a,{1,2},b,{5}}אך{{5}}  D

{1,2}  {1,2,3}  N

{{1,2}}  {{1,2},{2,3}}

{1,2}  {{1,2},{2,3}}

slide9
הכלה - תכונות

תמיד מתקיים: A  A

אם A  B וגם B  C , אזי A  C

slide10
קבוצות שוות

הגדרה: שתי קבוצות נקראות שוות אם הן מכילות אותם

איברים

A = Bאם ורק אםA  B וגםB  A

slide11
הכלה ממש

הגדרה: הקבוצה A היא קבוצה חלקית ממש שלהקבוצה B

אם A  B אך A  B .מסמנים: .A  B

{2} {2}  {1,2} {1,2,3}

slide12
הכלה - תכונות

אםB ,A אזי A  B .

אם A  B ו- ,B  C אזיA  C .

אם A  B ו- ,B  C אזיA  C .

slide13
הקבוצה הריקה

הגדרה: הקבוצה שלא מכילה אף איבר נקראת קבוצה ריקה

ומסומנת .

 = { x : x  x}

עבור כל קבוצה A מתקיים   A .

  {}

slide14
קבוצת החזקה

הגדרה: תהי A קבוצה. קבוצת כל הקבוצות החלקיותשל A

נקראת קבוצת החזקה של A וסימונה P(A) או 2A:

P(A) = { x : x  A }

P() = {}

P({}) = {,{}}

P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}}

P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

slide15
עוצמה של קבוצה

תהי A קבוצה סופית. נסמן ע"י |A| את מספר האיברים של A.

|| = 0

|{}| = 1

|{1,2,…,n}| = n

טענה: .|2A| = 2|A|

slide17
חתוך

הגדרה: החתוך של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצההמכילה

את כל האיברים השייכים לכל אחת משתיהקבוצות.נסמן קבוצה

זו ע"י A B.

A  B = {x | xA  xB}

slide18
חתוך - תכונות

מתקיים:

A  B = B  A

A   = 

A  A = A

(A  B)  C = A  (B  C)

A  BA  B = A .

slide19
איחוד

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצההמכילה

את כל האיברים השייכים לאחת משתיהקבוצות.נסמן קבוצה

זו ע"י A  B.

A  B = {x | xA  xB}

slide20
איחוד - תכונות

מתקיים:

A  B = B  A

A   = A

A  A = A

(A  B)  C = A  (B  C)

A  BA  B = B.

slide21
דוגמא

אם

A = {1,2,4,{1,2}}

ו-

B = {,2,{1,2}},

אזי

A  B = {2,{1,2}}

ו-

A  B = {,1,2,4,{1,2}}.

slide22
תכונות

חוקי הדיסטריביוטיביות:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

slide24
הפרש

הגדרה: מהשלים היחסי (הפרש) של B ב- A היאהקבוצה

המכילה את כל האיברים ששיכים ל- A ולאשייכים ל- B.

נסמן קבוצהזו ע"י A \ B.

A \ B = { x : x  A  x  B }

מתקיים

A \ B= A \ (A  B)

slide25
הפרש סימטרי

הגדרה: ההפרש הסימטרי של A ו- B מסומן ע"י A  B ומוגדר

ע"י

A B = (A \ B)(B \ A) ={x|xA  xB}

נחזור לדוגמא הקודמת: ,A = {1,2,4,{1,2}}B = {,2,{1,2}}.

A \ B = {1,4}

B \ A = {}

A  B={,1,4}

slide26
תכונות של הפרש סימטרי

מתקיים

A  B = B  A

(A  B)  C = A  (B  C)

A  = A

A  A = 

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

A  B  (A  B) = A  B

slide27
משלים

הסכם: נניח שכל הקבוצות הנידונות הן קבוצותחלקיות של

קבוצה E (קבוצה אוניברסלית).

עבור הקבוצה A(E )נגדיר את המשלים של A (ל-E )

המסומן ב- A ע"י

A = E \ A

מתקיים:

_

_

_

_

_

_

_____

_

_

_____

_

_

slide28
יחסים (רלציות)

סדרה של שתי קבוצות x ו- y נקראת זוג (סדור)ומסומנת

ע"י (x,y).

הערה:

(x,y)  (y,x)

(x,y)  {x,y}

(x,x)  {x}

ניתן להגדיר את (x,y) כ-

(x,y)= {{x},{x,y}}

slide29
מכפלה קרטזית

הגדרה: המכפלה (הקרטזית) של שתי קבוצות A ו- B,

מסומנת ע"י A  B היא קבוצה של כל הזוגות (a,b) כך ש-

a  A וגם b  B.

A  B = { (a,b) : a  A  b  B }

slide30
דוגמא

A   = 

A  B  B  A

(A  B)  C  A  (B  C)

(A  B)  C = (A  C)  (B  C)

slide31
יחסים

הגדרה: יחס (בינארי) בין הקבוצות A ו- B הוא קבוצה

חלקית של .A  B

עבור יחס R  A  B נכתוב aRb אם.(a,b)  R

slide32
דוגמא

< = { (i,j) : i< j }  N  N

(2,11)  < או 2 < 11

<הוא יחס בינארי מעל N.

הגדרה: יחס בינרי על קבוצה A הוא קבוצה חלקיתשל .A  A

slide33
יחסים בקבוצות

הגדרות: יהי R יחס על A, כלומר R  A  A

R יקרא רפלקסיבי אם עבור כל x  A מתקיים xRx

R יקרא סימטרי אם עבור כל x,y  A xRyגורר yRx

R יקרא טרנזיטיבי אם עבור כל x,y,z  AxRy ו- xRz

גוררים xRz

slide34
יחס שקילות

הגדרה: יחס בינרי יקרא יחס שקילות אם הוארפלסקיבי,

סימטרי וטרנזיטיבי.

יהי ~ יחס שקילות מעל קבוצה X ויהי x איבר של X.

מחלקת השקילותשל x, מסומנת ע"י [x] היא הקבוצה

[x] = { y : y ~ x}

slide35
תכונות

x  [x]

[x]  X

X =  [x]

xX

slide36
טענה: אם x ~ y אזי [x] = [y].

הוכחה:מספיק להוכיח כי אם z  [x] אזי z  [y].

הגדרה z ~ x z  [x] 

טרנזיטיביות z ~ x  x ~ y  z ~ y

הגדרה  z  [y]z ~ y

slide37

/

טענה: אם y ~ x ,אזי[x]  [y] = .

הוכחה: נניח בשלילה כי קייםz  [x]  [y].

אזיz ~ x וגםz ~ y.

x ~ z

לכן, לפי טרנזיטיביות x ~ y, בסתירה עם ההנחה.

סימטריות

slide38
דוגמא

יהי n  0מספר שלם.

נגדיר יחס n מעל המספרים השלמים ע"י

x n y  n|(x – y)

או

{ (x-y) מתחלק ב- n | (x,y)}n =

nהוא יחס שקילות.

slide39
סימון (תזכורת)

N = {0,1,…}

Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

slide40
דוגמא

נגדיר יחס ~ מעל הקבוצה(Z \ {0}) Z באופן הבא:

(a,b)~(c,d)  ad = bc

~  (Z (Z \ {0}))  (Z  (Z \ {0}))

slide41
טענה: ~ הוא יחס שקילות.

הוכחה: הרפלקסיביות והסמטריות של ~ נובעותמיידית מן

ההגדרה.

נוכיח את הטרנזיטיביות.

נתון (a,b) ~ (c,d) ו- (c,d) ~ (e,f), וצריך להוכיח כי

.(a,b) ~ (e,f)

slide42
(c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (c,d)

 

cf = de ad = bc

נבדיל בין המקרים c = 0 ו- c  0:

:c = 0 אזי a = e =0ולכן (= 0) af = be.

:c  0אזי adcf = bcde. משום ש- d  0 ו- c  0,

מתקיים af = be.

כלומר, .(a,b) ~ (e,f)

slide43
התאמה חד-חד ערכית

הגדרה: יחס R  A  A הוא התאמה חד-חדערכית אם לכל

a  A קיים bB יחיד כך ש- (a,b)  R ולכל b  B קיים

a  A יחיד כך ש- (a,b)  R.

slide44
דוגמא

נגדיר .2N = {0,2,4,…}

אזי היחס

{(i,2i) : I = 0,1,… }  N  2N

הוא התאמה חד-חד ערכית.

slide45
דוגמא נוספת

נגדיר .N' = {0,1,4,9,…}

אזי היחס

{(i, i2) : I = 0,1,… }  N  N'

הוא התאמה חד-חד ערכית.

slide46
דוגמא נוספת

היחס

{ ((i,j), 2i(2j+1) – 1) : i,j = 0,1,2,… }  (N  N)  N

הוא התאמה חד-חד ערכית.

slide47
טענה: אם יש התאמה חד-חד ערכית בין A ו- B והתאמה

חד חד ערכית בין B ו- C, אזי יש התאמה חד-חד ערכית בין

A ו- C.

הוכחה: תהיינהR1 A  B ו- R2 B  C התאמות

חד-חד ערכיות. נגדיר R3 A  Cע"י

.R3 = { (a,c) : b((a,b)  R1  (b,c)  R2 }

slide48
הגדרות

נגדיר את הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים:

[a,b] = { x : a  x  b }

(a,b) = { x : a <x < b }

[a,b) = { x : a  x < b }

(a,b] = { x : a <x  b }

a ו- b יכולים להיות  (ואז הסוגר הוא '(' או ')' בהתאמה).

slide49
דוגמאות

(-,) = R(קבוצת המספרים הממשיים)

[a,a] = {a}

[2,1) = 

slide50
דוגמאות

{ (x,2x) : x  [0,1] }  [0,1]  [0,2]

הוא התאמה חד-חד ערכית.

{ (x,tg x) : x  (-/2,/2) }  (-/2,/2)  R

הוא התאמה חד-חד ערכית.

slide51
דוגמא

נסמן ע"י {0,1} את קבוצת כל הסדרות האינסופיותשל '0‘ו- '1'.

קיימת כהתאמה חד-חד ערכית בין {0,1} לבין 2N:

תהי}  N…I = {i1,i2, ותהי {0,1} = a1,a2,….

נגדיר את ההתאמה {0,1}f  2N  באופן הבא:

(I,)  f אם ורק אם מתקיים התנאי

i  I  ai = 1, i = 0,1,…

slide52
דוגמא

נבנה התאמה חד-חד ערכית בין [0,1] לבין {0,1}

שים לב: למספר 0.1 יש שתי הצגות: 0.1 ו-

...0.0111111. אם הסדרה α אינה מסתיימת

בסדרת אפסים או אחדות, אזי ל- α מתאים מספר

α.0, ל- 1 מתאים 1 ול- 0מתאים 0. נשאר למצא

התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות {0,1}*10

שאיבריה מתאימים לאחת מן ההצגות של מספרים

שמסתיימים בסדרת האפסים ו-

{0,1}*10 {0,1}*01.

slide53

{0,1}*10 {0,1}*01 {0,1}*10

נגדיר התאמות:

{0,1}*1  N ע"י a1a2an  ai2i - 1

ו-

{0,1}*1  {0,1}*0 ע"י

- 1)a1a2an  (a1 - 1)(a2 - 1)(an

{0,1}*1  {0,1}*0{0,1}*1

n

i = 1

slide54

{0,1}*10 {0,1}*01 {0,1}*10

N N N

N {1} N  {0}

(n,1)  2n – 1 (n,0)  2n