1 / 54

לוגיקה למדעי המחשב 1

לוגיקה למדעי המחשב 1. תורת הקבוצות. חלק א'. קבוצות - דוגמאות. B = {4,6,8} } טכניון, אוניברסיטת חיפה} = C N = {0,1,2,…} קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים. איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות ! המספרים 4,6,8 הם איברים של הקבוצה B . נסמן: 8 B, 6B, 4B. שייכות.

dreama
Download Presentation

לוגיקה למדעי המחשב 1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. לוגיקה למדעי המחשב1

  2. תורת הקבוצות חלק א'

  3. קבוצות - דוגמאות B = {4,6,8} }טכניון, אוניברסיטת חיפה} = C N = {0,1,2,…} קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים. איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות ! המספרים 4,6,8 הם איברים של הקבוצה B. נסמן: 8B, 6B, 4B

  4. שייכות באופן כללי נכתוב: aA. "aשייך ל- A" כדי לציין את העובדה ש- a הוא איבר בקבוצה A. אם a אינו איבר של A נרשום: aA, או: (aA) לדוגמא: 3  {4,6,8} = B

  5. קבוצות - סימונים אם P(x) פרדיקט (תכונה) כלשהו, אזי:{x : P(x)} מסמן קבוצה. איבר a שייך לקבוצה זו אם ורק אם P(a), כלומר a מקיים את התכונה P. a  {x : P(x)}  P(a) B = {x : x =4  x = 6  x = 8}

  6. בקבוצה כל איבר מופיע פעם אחת בלבד. {a,a,b,2,2,3,3,3,} = {a,b,b,2,2,2,3,3} = {a,b,2,3} מספר האיברים השונים בקבוצה יכול להיות סופי או אינסופי, ובהתאם הקבוצה נקראת סופית או אינסופית. B = {4,6,8} היא קבוצה סופית. N = {0,1,2,… } היא קבוצה אינסופית.

  7. D = {a,{1,2},b,{5}} שים לב: {5}  D אך: 5  D דוגמא

  8. הכלה הגדרה: קבוצה A היא קבוצה חלקית או תת-קבוצה של הקבוצה B אם כל איבר של A הוא איבר של B. מסמנים: A  B {{5}}  D = {a,{1,2},b,{5}}אך{{5}}  D {1,2}  {1,2,3}  N {{1,2}}  {{1,2},{2,3}} {1,2}  {{1,2},{2,3}}

  9. הכלה - תכונות תמיד מתקיים: A  A אם A  B וגם B  C , אזי A  C

  10. קבוצות שוות הגדרה: שתי קבוצות נקראות שוות אם הן מכילות אותם איברים A = Bאם ורק אםA  B וגםB  A

  11. הכלה ממש הגדרה: הקבוצה A היא קבוצה חלקית ממש שלהקבוצה B אם A  B אך A  B .מסמנים: .A  B {2} {2}  {1,2} {1,2,3}  

  12. הכלה - תכונות אםB ,A אזי A  B . אם A  B ו- ,B  C אזיA  C . אם A  B ו- ,B  C אזיA  C .

  13. הקבוצה הריקה הגדרה: הקבוצה שלא מכילה אף איבר נקראת קבוצה ריקה ומסומנת .  = { x : x  x} עבור כל קבוצה A מתקיים   A .   {}

  14. קבוצת החזקה הגדרה: תהי A קבוצה. קבוצת כל הקבוצות החלקיותשל A נקראת קבוצת החזקה של A וסימונה P(A) או 2A: P(A) = { x : x  A } P() = {} P({}) = {,{}} P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}} P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

  15. עוצמה של קבוצה תהי A קבוצה סופית. נסמן ע"י |A| את מספר האיברים של A. || = 0 |{}| = 1 |{1,2,…,n}| = n טענה: .|2A| = 2|A|

  16. פעולות על קבוצות

  17. חתוך הגדרה: החתוך של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצההמכילה את כל האיברים השייכים לכל אחת משתיהקבוצות.נסמן קבוצה זו ע"י A B. A  B = {x | xA  xB}

  18. חתוך - תכונות מתקיים: A  B = B  A A   =  A  A = A (A  B)  C = A  (B  C) A  BA  B = A .

  19. איחוד הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A ו- B היא הקבוצההמכילה את כל האיברים השייכים לאחת משתיהקבוצות.נסמן קבוצה זו ע"י A  B. A  B = {x | xA  xB}

  20. איחוד - תכונות מתקיים: A  B = B  A A   = A A  A = A (A  B)  C = A  (B  C) A  BA  B = B.

  21. דוגמא אם A = {1,2,4,{1,2}} ו- B = {,2,{1,2}}, אזי A  B = {2,{1,2}} ו- A  B = {,1,2,4,{1,2}}.

  22. תכונות חוקי הדיסטריביוטיביות: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

  23. יחס ההכלה

  24. הפרש הגדרה: מהשלים היחסי (הפרש) של B ב- A היאהקבוצה המכילה את כל האיברים ששיכים ל- A ולאשייכים ל- B. נסמן קבוצהזו ע"י A \ B. A \ B = { x : x  A  x  B } מתקיים A \ B= A \ (A  B)

  25. הפרש סימטרי הגדרה: ההפרש הסימטרי של A ו- B מסומן ע"י A  B ומוגדר ע"י A B = (A \ B)(B \ A) ={x|xA  xB} נחזור לדוגמא הקודמת: ,A = {1,2,4,{1,2}}B = {,2,{1,2}}. A \ B = {1,4} B \ A = {} A  B={,1,4}

  26. תכונות של הפרש סימטרי מתקיים A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) A  = A A  A =  A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  B  (A  B) = A  B

  27. משלים הסכם: נניח שכל הקבוצות הנידונות הן קבוצותחלקיות של קבוצה E (קבוצה אוניברסלית). עבור הקבוצה A(E )נגדיר את המשלים של A (ל-E ) המסומן ב- A ע"י A = E \ A מתקיים: _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _____ _ _

  28. יחסים (רלציות) סדרה של שתי קבוצות x ו- y נקראת זוג (סדור)ומסומנת ע"י (x,y). הערה: (x,y)  (y,x) (x,y)  {x,y} (x,x)  {x} ניתן להגדיר את (x,y) כ- (x,y)= {{x},{x,y}}

  29. מכפלה קרטזית הגדרה: המכפלה (הקרטזית) של שתי קבוצות A ו- B, מסומנת ע"י A  B היא קבוצה של כל הזוגות (a,b) כך ש- a  A וגם b  B. A  B = { (a,b) : a  A  b  B }

  30. דוגמא A   =  A  B  B  A (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C = (A  C)  (B  C)

  31. יחסים הגדרה: יחס (בינארי) בין הקבוצות A ו- B הוא קבוצה חלקית של .A  B עבור יחס R  A  B נכתוב aRb אם.(a,b)  R

  32. דוגמא < = { (i,j) : i< j }  N  N (2,11)  < או 2 < 11 <הוא יחס בינארי מעל N. הגדרה: יחס בינרי על קבוצה A הוא קבוצה חלקיתשל .A  A

  33. יחסים בקבוצות הגדרות: יהי R יחס על A, כלומר R  A  A R יקרא רפלקסיבי אם עבור כל x  A מתקיים xRx R יקרא סימטרי אם עבור כל x,y  A xRyגורר yRx R יקרא טרנזיטיבי אם עבור כל x,y,z  AxRy ו- xRz גוררים xRz

  34. יחס שקילות הגדרה: יחס בינרי יקרא יחס שקילות אם הוארפלסקיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. יהי ~ יחס שקילות מעל קבוצה X ויהי x איבר של X. מחלקת השקילותשל x, מסומנת ע"י [x] היא הקבוצה [x] = { y : y ~ x}

  35. תכונות x  [x] [x]  X X =  [x] xX

  36. טענה: אם x ~ y אזי [x] = [y]. הוכחה:מספיק להוכיח כי אם z  [x] אזי z  [y]. הגדרה z ~ x z  [x]  טרנזיטיביות z ~ x  x ~ y  z ~ y הגדרה  z  [y]z ~ y

  37. / טענה: אם y ~ x ,אזי[x]  [y] = . הוכחה: נניח בשלילה כי קייםz  [x]  [y]. אזיz ~ x וגםz ~ y. x ~ z לכן, לפי טרנזיטיביות x ~ y, בסתירה עם ההנחה.  סימטריות

  38. דוגמא יהי n  0מספר שלם. נגדיר יחס n מעל המספרים השלמים ע"י x n y  n|(x – y) או { (x-y) מתחלק ב- n | (x,y)}n = nהוא יחס שקילות.

  39. סימון (תזכורת) N = {0,1,…} Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

  40. דוגמא נגדיר יחס ~ מעל הקבוצה(Z \ {0}) Z באופן הבא: (a,b)~(c,d)  ad = bc ~  (Z (Z \ {0}))  (Z  (Z \ {0}))

  41. טענה: ~ הוא יחס שקילות. הוכחה: הרפלקסיביות והסמטריות של ~ נובעותמיידית מן ההגדרה. נוכיח את הטרנזיטיביות. נתון (a,b) ~ (c,d) ו- (c,d) ~ (e,f), וצריך להוכיח כי .(a,b) ~ (e,f)

  42. (c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (c,d)   cf = de ad = bc נבדיל בין המקרים c = 0 ו- c  0: :c = 0 אזי a = e =0ולכן (= 0) af = be. :c  0אזי adcf = bcde. משום ש- d  0 ו- c  0, מתקיים af = be. כלומר, .(a,b) ~ (e,f)

  43. התאמה חד-חד ערכית הגדרה: יחס R  A  A הוא התאמה חד-חדערכית אם לכל a  A קיים bB יחיד כך ש- (a,b)  R ולכל b  B קיים a  A יחיד כך ש- (a,b)  R.

  44. דוגמא נגדיר .2N = {0,2,4,…} אזי היחס {(i,2i) : I = 0,1,… }  N  2N הוא התאמה חד-חד ערכית.

  45. דוגמא נוספת נגדיר .N' = {0,1,4,9,…} אזי היחס {(i, i2) : I = 0,1,… }  N  N' הוא התאמה חד-חד ערכית.

  46. דוגמא נוספת היחס { ((i,j), 2i(2j+1) – 1) : i,j = 0,1,2,… }  (N  N)  N הוא התאמה חד-חד ערכית.

  47. טענה: אם יש התאמה חד-חד ערכית בין A ו- B והתאמה חד חד ערכית בין B ו- C, אזי יש התאמה חד-חד ערכית בין A ו- C. הוכחה: תהיינהR1 A  B ו- R2 B  C התאמות חד-חד ערכיות. נגדיר R3 A  Cע"י .R3 = { (a,c) : b((a,b)  R1  (b,c)  R2 }

  48. הגדרות נגדיר את הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים: [a,b] = { x : a  x  b } (a,b) = { x : a <x < b } [a,b) = { x : a  x < b } (a,b] = { x : a <x  b } a ו- b יכולים להיות  (ואז הסוגר הוא '(' או ')' בהתאמה).

  49. דוגמאות (-,) = R(קבוצת המספרים הממשיים) [a,a] = {a} [2,1) = 

  50. דוגמאות { (x,2x) : x  [0,1] }  [0,1]  [0,2] הוא התאמה חד-חד ערכית. { (x,tg x) : x  (-/2,/2) }  (-/2,/2)  R הוא התאמה חד-חד ערכית.

More Related