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华罗庚先生在矩阵论方面的贡献. 西北 农林科技 大学 理学院 林 开亮. 丘成 桐对华先生工作的评价. 中国 近代数学 能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然我不是说其他工作不存在，主要是 讲能够 在数学历史上很出名的有三个 ： 一 个是陈省 身 （ 1911-2004 ） 教授 在示性类方面的工作； 一个是 华罗庚 （ 1910-1985 ） 在 多复变函数方面的工作 ； 一 个是 冯康 （ 1920-1993 ） 在 有限元计算方面的工作 。
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华罗庚先生在矩阵论方面的贡献 西北农林科技大学 理学院 林开亮
丘成桐对华先生工作的评价 • 中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然我不是说其他工作不存在，主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个： • 一个是陈省身（1911-2004）教授在示性类方面的工作； • 一个是华罗庚（1910-1985）在多复变函数方面的工作； • 一个是冯康（1920-1993）在有限元计算方面的工作。 • 我为什么单讲华先生在多复变函数方面的工作，这是我个人的偏见。华先生在数论方面的贡献是大的，可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界在数论方面的发展，他在这方面的工作基本上是从外面（苏联、英国、德国）引进的观点和方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年，海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。
华罗庚跟徐利治谈“看家功夫” • 华先生很重视做学问需要有“看家功夫”。所谓看家功夫指的是做科研时必不可少的最基本而有用的本事。据他所说，他扎实的看家功夫主要来源于三部经典著作。 • 一是 G. Chrystal 的《代数学》（两卷，1886年，1889年，多次重版） • 二是 E. Landau 的《数论教程》（三大卷，1927年）， • 三是 W. H. Turnbull 与 A. C. Aitken 合著的《矩阵标准型理论导引》（1931年出版，1944年再版）。 • 他说，《代数学》使他学会了计算技巧，《数论教程》使他获得了从事数学研究的分析功底，而《矩阵标准型理论导引》虽是一本薄薄的书，却是帮助他后来完成矩阵几何和复分析巨大研究成果的基本工具。
转行：从数论到分析与代数 • 在1940年以前，华罗庚的数学研究主要是 受到Landau《数论教程》的影响，其成果汇集成专著《堆垒素数论》；在1940年以后，对华罗庚影响越来越深的是Turnbull与Aitken的《矩阵标准型理论导引》，其影响见于华罗庚1940年代关于多复变函数与矩阵几何的多篇论文。
万哲先对华罗庚矩阵论工作的概括： • 华罗庚关于矩阵几何和多元复变函数论的研究，还促使他研究矩阵的分类问题，例如，复对称矩阵和斜对称矩阵在酉群相合下的分类，一对Hermite矩阵在同时相合下的分类，以及Hermite矩阵在正交群相合下的分类。 • 应该指出，这个概括并不全面，华罗庚在1962年还发表了两篇中文文章《辛方阵的辛相似》与《方阵的实相合》，这两篇文章考虑的也是矩阵分类问题（即标准型问题），而这些结果华罗庚早在1944-1945年就已经得到。
一个被忽略的贡献：华罗庚链（1947） • 定理：设 P(n),R(n) 分别表示使得方程 A_i^2=-I ，A_iA_j=-A_jA_i, (i=1,…,r) 在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数 r， Q(n),S(n)分别表示使得方程 B_i^2=I, B_iB_j=-B_jB_i, (i=1,…,r) 在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数r。 • 则有以下循环递推关系 • P(2n)=S(n)+2, • S(2n)=R(n)+2, • R(2n)=Q(n)+2, • Q(2n)=P(n)+2. 并且对奇数奇数n_0，我们有以下初始值： • S(n_0)=1, • R(n_0)=0, • R(2n_0)=1, • Q(2n_0)=1. 【华罗庚原文：L. K. Hua, Geometries of Matrices II. Study of involutions in the geometry of symmetric matrices, Trans. A. M. S. 61 (1947), 193--228. 】
Hurwitz-Radon 矩阵方程的两种解法：Huavs Radon • 值得注意的是，奥地利数学家J. Radon(1887-1956)在1920年曾提出一种类似的方案求解A. Hurwitz（1859-1919）的矩阵问题，但他所给出的是8个方程构成的链，一个中文介绍见： • 江上鷗，Hurwitz-Radon问题——等价和约化是处理数学问题的一种基本方法，《数学通报》，1964年04期。
辛矩阵在辛相似下的标准型（1945） • 在复数域内, 大家知有四个主要类型的连续单群：射影群, 奇数维或偶数维的正交群及偶数维的辛群。射影群下的相似问题见于任何的矩阵论教科书上（Jordan标准型理论）。正交群下的相似问题已为Hilton所解决。本文的目的在于解决辛群下辛方阵的相似问题。用几何术语来讲，以下的结果寻求使基本线丛不变的条件下求出辛变换的标准型来。
20世纪矩阵标准型理论的两位先驱：Huavs Williamson • 华罗庚之所以迟至1962年才发表他1944-1945年完成的旧稿，可能是因为，他曾被身为审稿人的 H. Weyl（1885-1955）告知，他的部分工作与 J. Williamson的工作重合。 • 例如，关于辛矩阵（正则矩阵）的标准型工作。Williamson的工作在1937年就完成：见 J. Williamson, On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics, Amer. J. Math., 59 (1937), 599-617.
Williamson • John Williamson（1901—1949），苏格兰数学家。 1927年，Williamson 在芝加哥大学 L. E. Dickson （1874-1954）的指导下获得博士学位（而杨武之则在1928年得博士学位，可以说 Williamson是华罗庚的师伯）。 得到学位之后，Williamson 在霍普金斯大学找到了职位，当时的数学系主任是F. D. Murnaghan(1873-1976)。Murnaghan对数学物理很有兴趣，他在1930年与1931年又聘来与他趣味相投的A. Wintner(1903-1958)与 R. E. van Kampen(1908-1942)。这些人的工作特别是Wintner关于 Hamilton 系统与微分方程的工作，推动了 Williamson去研究动力系统中的代数问题，其中有一些可以归结为矩阵的标准型问题。 从1935年开始，Williamson 考虑了各种类型的矩阵标准型问题，在1935-1940年间，他平均每年要发表两篇关于这个主题的论文，这是他的主要数学贡献。
风格之评价 • Williamson受到美国近世代数先驱Dickson的影响，致力于将问题一般化，考虑的是任意域上的矩阵，因而结果的陈述及其证明都比较繁琐。因此，他的工作曾被一些后继者（甚至包括名家L. Hörmander(1931-1012)）改进。 • 华罗庚考虑的仅仅是复数域（偶尔限制于实数域）上的矩阵，由于代数基本定理成立，保证结果呈现出简洁明了的形式。华罗庚的相关工作后来在《中山大学学报》重新发表，也是因为他的表述便于应用，特别是对于中山大学研究动力系统的胡金昌教授（1906-1976）。但因为是用中文发表，不为西方所知，甚至国内研究辛几何的专家（如龙以明教授）也不知道华先生的这一工作。 • Williamson与华罗庚都受到了Turnbull 与 Aitken的《矩阵标准型理论导引》的强烈影响。事实上， Turnbull 是Williamson在爱丁堡大学的老师。他们靠的是代数计算。
矩阵标准型理论的两种研究方法：几何 vs代数 • 华罗庚与Williamson所采取的是深受Turnbull 与 A. C. Aitken《矩阵标准型理论导引》影响的代数方法。 • 存在与之平行的一种几何方法，即将矩阵视为线性变换，采取这个观点研究线性代数的同期代表人物是E. Artin(1898-1962)与J. Dieudonné(1906-1992). 后者是华罗庚在典型群方面的主要竞争对手。他们的差别主要体现在研究手法上：代数 vs几何。另一个支持几何方法的代表人物是周炜良（1911-1995），他1949年关于代数齐性空间的论文将华罗庚矩阵几何的工作真正几何化。
两个评论 • E. Artin: 我的经验是，一个用矩阵进行的证明，如果你抛开矩阵的话，往往可以使这个证明缩短一半。有时，这一点是办不到的，你需要计算一个行列式。 • J. Dieudonné: 数学家希望因为他们最难的定理而被人们记住，但是大多数时候，正是他们最简单的结果在后人中流传。
一个疑问 • 华罗庚1940年代在与世隔绝的西南联大另起炉灶，独立于C. L. Siegel（1896-1981）石破天惊地开创了多复变函数论的研究，有何契机？ • Siegel 1943年的经典论文《辛几何》曾受到E. Cartan 1935年论文的启发。注意到，E. Cartan（1869-1951）是陈省身的老师，是否存在这样的可能：陈省身曾在某个场合，向华罗庚提起 E. Cartan的相关工作，引发了华罗庚研究多复变？ 【一个支撑材料是：华罗庚在1944年发表的第一篇多复变论文中曾感谢陈省身向他提供了E. Cartan的论文。华罗庚还提到唐培经向他提供了Georges Giraud的论文，Weyl向他提供了Siegel的论文。】
参考文献 [1]丘成桐，数学及其在中国的发展，1997年在清华大学高等研究中心开幕上的讲话，《数学译林》第20卷（1999年），194--201. 收入王元、杨德庄《华罗庚的数学生涯》附录一。 [2]徐利治，回忆我的老师华罗庚先生——纪念华老诞辰90周年，《数学通报》，2000. [3] 王元，《华罗庚》，开明出版社，1994。 [4]林开亮， 华罗庚关于矩阵标准型的工作介绍， 将刊登于台湾《数学传播》。 [5] K. L. Lin, Hurwitz-Radon‘s symplectic analogy and Hua’scyclic recurrence relation, Electronic Journal of Linear Algebra, 26 (2013), 858—872.
