Significato della somma di una serie infinita

1. Significato della somma di una serie infinita Liberamente tratto da: “«GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti » di Rózsa Péter” 27/12/2005 A cura di Ivana Niccolai

2. Esempio della cioccolata 1/6 Consideriamo un tipo di cioccolata che gli industriali cercano di lanciare sul mercato, mettendo un buono nella confezione; chi presenta 10 buoni ottiene in cambio un’altra tavoletta di cioccolata. Se abbiamo una di queste tavolette, qual è il suo effettivo valore? Vale di più di una semplice tavoletta, perché in essa vi è un buono e per ogni buono si può ottenere 1/10 di un’altra tavoletta di cioccolata. A cura di Ivana Niccolai

3. Esempio della cioccolata 2/6 Con 10 buoni si può ottenere una tavoletta intera. Ma con questo 1/10 di tavoletta si avrà 1/10 di buono e se per un buono otteniamo 1/10 di una tavoletta di cioccolata, per 1/10 di buono otteniamo 1/100 di una tavoletta di cioccolata. A cura di Ivana Niccolai

4. Esempio della cioccolata 3/6 Quindi 1/100 di una tavoletta di cioccolata corrisponde a 1/100 di buono e con questo otteniamo ancora 1/10 di 1/100, cioè 1/1000 di una tavoletta di cioccolata, e così via, all’infinito. Quindi la mia tavoletta di cioccolata insieme con il suo buono vale in realtà: 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … tavolette di cioccolata A cura di Ivana Niccolai

5. Esempio della cioccolata 4/6 Possiamo mostrare che: 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … tavolette di cioccolata vale esattamente 1 + 1/9 di una tavoletta di cioccolata L’1 rappresenta la tavoletta che ho effettivamente e si deve mostrare che il buono che l’accompagna vale 1/9 della tavoletta di cioccolata. È sufficiente dimostrare che 9 buoni valgono una tavoletta di cioccolata, dato che allora è certo che un buono vale 1/9 della tavoletta. A cura di Ivana Niccolai

6. Esempio della cioccolata 5/6 Poniamo che io abbia raccolto 9 buoni, allora posso entrare nel negozio e dire: “Mi dia una tavoletta di cioccolata, la mangio qui adesso e la pago dopo”. Mangio la cioccolata, tolgo il buono che l’accompagna e così ho 10 buoni con cui posso effettivamente pagare. Quindi l’esatto valore di 9 buoni è in realtà una tavoletta di cioccolata; il valore di un buono è 1/9 di una tavoletta di cioccolata. Una tavoletta di cioccolata con un buono vale 1 + 1/9 tavolette di cioccolata, così la somma della serie infinita 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … è esattamente 1 + 1/9 A cura di Ivana Niccolai

7. Esempio della cioccolata 6/6 1 + 1/9 = 9/9 + 1/9 = 10/9 = 1,1111111111111… all’infinito La successione delle somme parziali: 1,11…= 1 + 1/10 + 1/100 + … ha come limite 1 + 1/9 Si può dire anche che la serie 1 + 1/10 + 1/100 + … è convergente e che la sua somma è 1 + 1/9 A cura di Ivana Niccolai

8. Illustrazione animata A cura di Ivana Niccolai

9. Serie geometrica 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +… 1/(1/10) = 10 (1/10)/(1/100) = 10 (1/100)/(1/1000) = 10 Il quoziente di due termini contigui è 10 Il tipo di serie in cui il quoziente di due qualsiasi termini contigui resta sempre il medesimo, si chiama serie geometrica A cura di Ivana Niccolai

10. Riflessioni 1/2 Se da 1,111111… = 1 + 1/9 Sottraiamo 1, otteniamo: 0,111111… = 1/9 E moltiplicando per 9 abbiamo: 0,999999… = 9/9 = 1 Dividendo per 10, abbiamo: 0,0999… = 0,1 A cura di Ivana Niccolai

11. Riflessioni 2/2 Dividendo ancora per 10 abbiamo: 0,00999… = 0,01 Quindi i decimali finiti 1; 0,1; 0,01; … si possono anche scrivere come decimali infiniti in cui dopo lo zero non ci sono che 9 A cura di Ivana Niccolai

12. Conclusione: ogni decimale finito si può scrivere come decimale infinito Ogni decimale finito si può scrivere, dunque, come decimale infinito. Prendiamo per esempio 0,3 come decimale finito. Possiamo scriverlo come decimale infinito: 0,2999999999999… A cura di Ivana Niccolai