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P r o j e c t i o n , c o s i n u s et t r i g o n o m é t r i e .

P r o j e c t i o n , c o s i n u s et t r i g o n o m é t r i e. Une initiation pour petits et grands. Lumière et ombre. Comment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible?. Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol.

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Presentation Transcript

  1. Projection, cosinus et trigonométrie. Une initiation pour petits et grands.

  2. Lumière et ombre Comment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible? Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol

  3. Un bâton planté dans le sol Fait apparaître aussi une ombre

  4. On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre

  5. Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre.

  6. On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre. Pour l’appliquer ensuite à la pyramide.

  7. Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide.

  8. Projeter Le sol

  9. Différents points projettent leur ombre sur le sol.

  10. Projeter, c’est envoyer les points sur une droite en suivant une direction.

  11. On peut modifier la direction de cette projection.

  12. On peut modifier la droite sur laquelle on projette

  13. On peut modifier la droite sur laquelle on projette

  14. () (D) Pour projeter, il faut Une droite sur laquelle on projette, Une direction pour la projection.

  15. A () (D) A’ Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à () passant par A et de la droite (D).

  16. A () (D) A’ A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à ().

  17. A B C E () (D) A’ B’ C’ E’

  18. B A () (D) A’ B’ Effet d’une projection sur les formes Un segment [AB] On projette A en A ’. On projette B en B ’.

  19. B A A’ () (D) B’ M M ’ Un point de [AB] M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’.

  20. B A A’ () (D) B’

  21. B A A’ () (D) B’ Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’]

  22. B A A’ () (D) C B’ Un triangle

  23. B A A’ () (D) C B’ L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’]

  24. () (D) A’ B’ Un disque On projette des points du cercle. L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’]

  25. A’ () (D) B’ En général, on obtient toujours un segment.

  26. A’ () (D) B’ En général, on obtient toujours un segment.

  27. Effet d’une projection sur les longueurs La longueur est conservée.

  28. La longueur est agrandie.

  29. La longueur est diminuée.

  30. Effet d’une projection sur les longueurs • En général, la projection modifie les longueurs. • Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette. • Elle augmente ou diminue les autres. • De même, elle modifie la nature des figures géométriques. • Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations)

  31. Projection et milieu. On projette un segment. On projette son milieu. On obtient le milieu du projeté.

  32. Projection et milieu Donc la projection conserve le milieu. C’est à dire que le projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté.

  33. Milieu sur un quadrillage. 6 carreaux 8 carreaux

  34. 3 carreaux 3 carreaux On obtient ici le milieu

  35. 4 carreaux 4 carreaux On obtient ici le milieu

  36. 1 2 3 4 5 6 7 Projection de longueurs égales. On obtient 7 parties de longueurs égales.

  37. On obtient 7 parties, de longueurs égales, limitées par les bandes horizontales.

  38. 1 2 3 4 5 On obtient 5 parties, de longueurs égales, limitées par des bandes verticales de deux carreaux de largeur.

  39. 9 carreaux 8 carreaux On veut partager un segment en 5 parties égales. Mais, oh quel dommage! Ce segment n’est pas directement partageable en cinq parties ….

  40. 1 2 3 4 5 Alors, comment qu’on va faire?. On reproduit le segment en quession. Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales.

  41. 1 2 3 4 5

  42. Milieux dans le triangle Par le milieu d’un côté On trace la parallèle au deuxième côté. Elle coupe le troisième côté en son milieu

  43. Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés Elle se trouve être parallèle au troisième côté.

  44. // //

  45. Les milieux font apparaître quatre triangles superposables.

  46. Les milieux font apparaître trois parallélogrammes.

  47. Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle.

  48. Projection orthogonale Dans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette.

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