５．いろいろな確率分布

1. ５．いろいろな確率分布 • χ２乗分布（chi-square distribution） • ｔ- 分布（t distribution） • F分布（F distribution） • 2項分布（binominal distribution） • ポアソン分布（Poisson distribution

2. χ２　分布 (chi-square) • 確率変数Ｘ１，Ｘ２，・・・・ Ｘｎ が互いに独立で同一の正規分布 N(μ, σ) に従うとき、統計量の分布は、自由度 n－ 1 のχ２　分布に従う。 • χ２　分布は母集団の分散の推定・検定に用いる。

3. χ２　分布

4. ｔ – 分布(t distribution) • 確率変数Ｘ１，Ｘ２，・・・・ Ｘｎ が互いに独立で同一の正規分布 N(μ, σ) に従うとき、とおくとき、統計量の分布は自由度 n – 1 の t 分布に従う。

5. t 分布は　母集団の平均の推定・検定に用いる。

6. 自由度ｎが大きいと正規分布に近くなる

7. ｔ – 分布（別の表現） • 確率変数Ｘが N(0, σ) に従い、確率変数Ｙが自由度n-1のχ２分布に従うとき、統計量の分布は自由度 n – 1 の t 分布に従う。

8. Ｆ分布(F distribution） • 確率変数Ｘ, Yが独立で、各々自由度n1, n2のχ２分布に従うとき、統計量は、自由度（n1, n2）のＦ分布に従う。 • Ｆ分布は２つの母集団の分散比の推定・検定のときに利用される。

10. ガンマ関数（Gamma function）

11. 2項分布（binominal distribution） • 確率ｐで存在する当たりくじから、復元抽出でｎ個とりだしたとき、ｘ個当たる確率。B(n,p)Ｘ=0, 1, 2, …….,nf(x)=nCx px (1-p) n-x • E(X)=np, V(X)=np(1-p) • B(n,p) は、n∞で、N(np, np(1-p)) となる。

13. ポアソン分布 (Poisson)：rare probability • 2項分布において、npを一定値λに固定して、ｎ→∞ としたものが ポアソン分布めったに起こらない事象が起こる確率分布λ＝１だと、　　　　　　　　Ｐ(X=x) = 0.36788/x!例：馬に蹴られて死ぬ人数、交通事故死亡者数

15. ６．統計的推定（statistical estimation） 母集団 Population 母数 Parameterθ 例：平均μ 標本 Sample 推定値 Estimateθ* 例：Xbar ランダム抽出 • 不偏推定値（unbiased estimate）E(f(X1,X2,…….,Xn))=θとなるf(X1, X2,…..Xn) を不偏推定量という。 推定

16. 不偏推定値（unbiased estimate） ＊母平均（mean) μの不偏推定値(unbiased estimate） ＊母分散σ２の不偏推定値（μ既知） ＊母分散σ２の不偏推定値（μ未知）

17. 区間推定母分散（σ２）が未知で平均を推定 標準誤差（standard error）

18. もし、データ数が21だったら、自由度は20。両側で５％危険率で推定するとする。もし、データ数が21だったら、自由度は20。両側で５％危険率で推定するとする。 t(α）＝２．０８６ 標準誤差(SE)を計算して、　誤差範囲は、 t(α)・ＳＥ

19. 自由度10、95％信頼区間なら　　Ｘ　＋－　2.228 S.E. • 自由度60、95％信頼区間なら　　Ｘ　＋－　2.000 S.E.無限大なら　1.96 S.E.

20. 母平均が未知な場合の母分散の推定

21. ７．統計的検定（statistical testing）７．１　考え方（method） • 　帰無仮説H0　検定統計量　 　棄却（裏に対立仮説）nil hypothesis  statistical variable  reject 　　ランダムである。　＝　　確率は小さい∴　ランダムではない！　　有意水準 　　　　　　　　　　　　　　　　　５％、１％の　　　　　　　　　　　　　　　　　危険率　　

23. ７．２　母平均の検定 • 正規母集団 N(μ，σ) とする。母分散が既知（σ2）、平均μ0（既知） • 帰無仮説H0：母集団の平均μはμ0である。対立仮説H1：母集団の平均μはμ0でない。　　　　　　　　（本当は対立仮説を示したい） • 検定統計量　

24. ７．２　母平均の検定 • 正規母集団 N(μ，σ) とする。母分散が未知、平均μ0（既知） • 帰無仮説H0：母集団の平均μはμ0である。対立仮説H1：母集団の平均μはμ0でない。　　　　　　　　（本当は対立仮説を示したい） • 検定統計量　

25. ７．３　平均の差の検定 • ２つの正規母集団とする。N(μ1,σ1), N(μ2,σ2)μ1とμ2が違うことを示したい。 • σ1,σ2既知 • σ1,σ2未知だが等しい。

27. ７．４　母相関係数の検定　－ t 分布　ー無相関が帰無仮説大きさＮの標本の相関係数が ｒ のとき

28. QBOの西風シアの5年と東風シアの5年の1月の帯状平均オゾン混合比の差（実線）。QBOの西風シアの5年と東風シアの5年の1月の帯状平均オゾン混合比の差（実線）。 単位はppmv。 有意性で差が有意な領域を影で示す。 影が90, 95, 99％で有意な差。ｔ検定

29. 図２ 1月の50 hPaにおけるオゾン混合比。等値線の単位はppmv。 （a）QBOの西風シアの5年平均。 （b）QBOの東風シアの5年平均。 （c）差（西風－東風）。 　影は有意性を表し図１と同じ。

31. 7.5 ノンパラメトリック検定non-parametric test • 母集団の分布の型に関する情報を仮定せずに検定する手法。これまで述べた検定は母集団が正規分布をすると仮定したが、その仮定を行わない。 • それぞれの検定の名前がある。Wilcoxen’s rank sum test

32. ウィルコクスン検定Wilcoxen’s rank sum test • ２つの分布型は同じだが、位置がずれている。これを検定する順位和検定。 ２つのグループの標本を１つにまとめて、Xij の小さいほうから順位を付けたときの順位を rij とする。

33. 帰無仮説：２つのグループの分布の中央値は同じである。帰無仮説：２つのグループの分布の中央値は同じである。 （グループG1の順位の総和） • 検定量Wは （N1,N2)が小さいときは、ウィルコクスン検定の数表で決める。 大きいときは、Wは以下の正規分布に近似されることを使う。

35. ウィルコクスン検定（中央値の差）Wilcoxen’s test • アンサリー・ブラッドレィ検定（分布の広がり）Ansari-Bradley test • ラページ検定（上記を同時に検定）Lepage test • モンテカルロ法（いろいろ場合によって統計量を考える。サンプルを乱数で発生させ、確率を求める。コンピュータ向き）

36. ８．重回帰分析（Multiple Regression Analysis） • P個の説明変数 x1, x2,….,xpから目的変数y を予測する。y = f( x1, x2, … , xp) + e • 線形重回帰モデルY = a0 + a1x1 + a2X2 + ….. + apxp + e

37. データ Ｘ３５ 変数番号 データ番号

38. データのｎ組（ｎ＞＝ｐ＋１）から最小２乗法により係数の最良不偏推定値を求める。ai : y の xiに関する偏回帰係数。以下の仮定をおく • eαの期待値はゼロ：E[eα]=0: 不偏性 • eαと eα’ は互いに独立：E[eαeα’]=0: 独立性 • eαの分散はすべて等しい：E[eα2]=σ2: 等分散性 • Eαは N(0, σ2) に従う。：　正規性予測誤差の平方和を最小にするように、係数を求める。係数に関する連立方程式を正規方程式という。

39. 分散・共分散行列

40. ８．３　分散分析　－回帰の有意性 全変動（分散）＝残差変動　＋　回帰による変動

41. 重回帰の分散分析表 F は a1=a2=….=0 の帰無仮説のもとで、自由度(p, n-p-1) の F 分布となる。（全体として回帰式が意味があるかどうかの検定となる）

42. ８．４　重相関係数と決定係数

43. Ｒ2を寄与率または決定係数という回帰で全分散が説明できる割合。Ｒ2を寄与率または決定係数という回帰で全分散が説明できる割合。 Ｆ検定が　Ｒ2の有意性検定と一致。 • 重回帰の注意点 • ai の値そのもので寄与は決まらない。 • Xiと Xjに相関があるとき、注意。単回帰と符号さえ変わる。