1 / 21

Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения"

Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения" Мехмат МГУ, 4 февраля , 20 10 г. Новый правильный многогранник Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.) lawrencenko.ru.

dore
Download Presentation

Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения"

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения" Мехмат МГУ, 4 февраля, 2010 г. Новый правильный многогранник Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.) lawrencenko.ru

  2. L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow problems and tangled tale (4 ed.), Mineola: Dover, 2003. Еще в XIX-м веке Льюис Кэрролл писал: «Правильные многогранники вызывающе малочисленны, и было бы безнадежным делом искать какие-либо связанные с ними вопросы, которые не были бы уже исчерпывающе проанализированы…» Однако при этом он добавлял: « Но, кажется, еще есть возможность изобрести другие такие многогранники…» Один такой многогранник удалось построить.

  3. Итак, что же такое правильный многогранник? Что касается 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, примем такое определение. Определение.Правильным многогранником будем называть многогранник, полная группа симметрий которого вершинно-, реберно-, гранево- или флагово-транзитивна. В зависимости от степени транзитивности, многогранник будет называться, соответственно, вершинно-правильным, реберно-правильным, гранево-правильным или флагово-правильным.

  4. Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal Hexadecahedron) — комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция тора с 8 вершинами и 16 гранями. Свойства: ■ Каждая грань ATH — треугольник и степень каждой вершины равна 6. ■ Граф G (ATH) изоморфен 1-скелету 4-мерного гипероктаэдра, т.е. полному  4-дольному графу K_{2,2,2,2}.

  5. K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра. K_{2,2,2,2} — граф 4-мерного гипероктаэдра. K_{2,2,2,…,2} — граф n-мерного гипероктаэдра. n раз 4-мерный гипероктаэдр, также называемый гексадекахороном, ограничен 16-ю правильными тетраэдрами. У него 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин. Его 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Его восемь вершин следующие: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме противолежащих пар.

  6. Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А. Л., Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.87, № 2779 – Ук87. α_1 = id (тождественный) α_2 = (35) (47) α_3 = (28) (34) (57) α_4 = (28) (37) (45) α_5 = (12) (47) (68) α_6 = (12) (35) (68) α_7 = (1268) (3457) α_8 = (1268) (3754) α_9 = (13246587) α_10 = (13876524) α_11 = (13) (27) (48) (56) α_12 = (1365) (2784) α_13 = (14) (23) (58) (67) α_14 = (1467) (2385) α_15 = (14256783) α_16 = (14836725) α_17 = (1563) (2487) α_18 = (15) (24) (36) (78) α_19 = (15846327) α_20 = (15276384) α_21 = (16) (34) (57) α_22 = (16) (37) (45) α_23 = (16) (28) α_24 = (16) (28) (35) (47) α_25 = (17856423) α_26 = (17236485) α_27 = (1764) (2583) α_28 = (17) (25) (38) (46) α_29 = (1862) (3457) α_30 = (1862) (3754) α_31 = (18) (26) (47) α_32 = (18) (26) (35)

  7. Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера. Эта группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый циклический сдвиг всех вершин: α_20 = (15276384). Подгруппа Shift = <α_20> ≈ Z_8. С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 × Z_2. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа Stab=<α_2, α_22> ≈ Z_2 × Z_2, порожденная 2-мя инволюциями α_2 = (35)(47) и α_22 = (16)(37)(45).

  8. Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) = <α_2, α_22, α_20> = (Z_2 × Z_2) Z_8, где Z_2 × Z_2 и Z_8 —как указаны на предыдущем слайде, причем произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, |Aut (АТH)| = |Shift| ∙ |Stab| : |Shift ∩ Stab| = 8 ∙ 4 : 1 = 32.

  9. БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH — геометрическая модель ATH в E³ С. А. Л., Все неприводимые триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогранников, манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в конкурсе научных студенческих работ за 1983 год,Мехмат МГУ.  Экватору BTH

  10. Лавренченко Lawrencenko 労 Rou (по-японски, читается «Ло») Lao (по-китайски, читается «Лао»)

  11. Теорема (С. А. Л.): В евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными гранями без самопересечений, который одновременно вершинно-правильный и гранево-правильный. Этот многогранник будет называться правильным тороидальным гексадекаэдром Иобозначаться RTH (Regular Toroidal Hexadecahedron).

  12. Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была показана выше. Чтобы показать ее транзитивность на гранях, достаточно ограничиться гранями, инцидентными какой-нибудь одной вершине, скажем, вершине 8. Непосредственной проверкой можно убедиться, что любую грань, инцидентную вершине 8, можно перевести в любую такую грань комбинациями автоморфизмов α_2, α_22, α_20 (образующих группы). Реализуем теперь триангуляцию ATH в E^4 геометрически (без самопересечений).

  13. На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6, располагаются на четвертой координатной оси Owи имеют координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.

  14. 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс ATH реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета 4-мерного гипероктаэдрав 4-мерном евклидовом пространстве. Его восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).

  15. Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: α_2 = (35) (47), α_22 = (16) (37) (45), α_20 = (15276384) и соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 = A_22 = A_20 = ║ 1 0 0 0║ ║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 1 0║ ║ 0 -1 0 0║ ║ 0 0 -1 0║ ║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 -1 0║ ║ 0 -1 0 0║ ║ 0 0 0 1║ ║ 0 0 0 1║ ║ 0 0 0 -1║ ║ 0 -1 0 0║ 1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1)

  16. Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном пространстве дискретной группой движений, порожденной этими тремя ортогональными матрицами, т.е. группой Sym(RTH). Таким образом, группа Sym(RTH) вершинно- и гранево-транзитивна, как и группа Aut (ATH). Теорема доказана.

  17. Открытые вопросы ■ Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в (евклидовом) пространстве размерности 4 ? ■ А в пространствах высших размерностей? ■ Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.

  18. Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в пространствах размерностей ≥ 4 ? В частности, реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве высшей размерности? «В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе повкусу.» (Давид Гильберт)

  19. Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный. Таким образом, он более правильный, чем полуправильные многогранники. Потому что у полуправильных многогранников уже два или более классов конгруэнтности граней. Например, у Архимедовых многогранников два таких класса. RTH же имеет только один такой класс. Однако RTH менее правильный, чем флагово-правильные Платоновы многогранники, потому что группа Aut (ATH) не является реберно-транзитивной.

  20. Спасибо за внимание.

More Related