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第八章第 1 课时： 圆的有关性质

第八章第 1 课时： 圆的有关性质. 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练. 要点、考点聚焦. 1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、 圆周角、弦心距、弧之间的关系. 2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等于定长的点的集合. 3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为 d) (1) 点在圆上 d=r. (2) 点在圆内 d＜r. (3) 点在圆外 d＞r. 4.与圆有关的概念 (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆.

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第八章第 1 课时： 圆的有关性质

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  1. 第八章第1课时： 圆的有关性质 • 要点、考点聚焦 • 课前热身 • 典型例题解析 • 课时训练

  2. 要点、考点聚焦 1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、 圆周角、弦心距、弧之间的关系. 2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等于定长的点的集合. 3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为d) (1)点在圆上d=r. (2)点在圆内d＜r. (3)点在圆外d＞r.

  3. 4.与圆有关的概念 (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质. 5.有关定理及推论 (1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)垂径定理及其推论.

  4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧. 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧. 推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧. (3)圆心角、弧、弦、弦心距. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.

  5. (4)圆周角 定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形. (5)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

  6. 6.中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合.6.中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合.

  7. 课前热身 1. 如图8-1-1，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上 ，若∠A=50°，则∠DCE等于 ( ) A.40° B.50° C.70° D.130° 图8-1-1 (2003年·北京市海淀区) B 2.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为 ( ) A.30° B.150° C.60° D.120° A

  8. 3. 如图8-1-2已知圆心角∠BOC=１００°，则圆周角∠BAC的度数为( ) A.100° B.130° C.50° D.80° (2003年·武汉市) C 图8-1-2 4. 如图8-1-3，已知，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=( ) 图8-1-3 A.９０° B.４５° C.６０° D.３０° (2003年·陕西省) A

  9. 5.下列说法中，正确的是( ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆 C

  10. 图(1)中 OC= =120(mm) ∴CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) ∴CD=OC+OD=320(mm) • 典型例题解析 【例1】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图8-1-4(1)图(2) 图8-1-4

  11. 【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OA的弦长BC=2 =8即过A点最短的弦长为8，故没有弦长 小于8的弦，∴选(A) 【例2】如图8-1-5，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有( ) 图8-1-5 A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 (2003年·广州市) A

  12. 变形，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A的变形，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A的 弦，其中弦长为整数的弦有( ) A.0条 B.2条 C.4条 D.无数条 C 【解析】过A点的最短弦长为8，则还有9、10故选C.

  13. 【例3】如图8-1-6，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.【例3】如图8-1-6，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE. 求证： (1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB∥CE. 图8-1-6

  14. 【解析】 (1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等， 又已知OA是∠CAE的平分线，联想到角平分线性质， 故过O分别作OG⊥AC于G， OH⊥AE于H， ∴OG=OH ∴BC=DE (2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点. 再由△AOG≌△AOH AG=AHAB=AD AC=AE. (3)AC=AE∠C=∠E，再根据圆的内接四边形的 性质定理知∠C=∠ADB∠E=∠ADBBD∥CE.

  15. 【例4】一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口?【例4】一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口? 【解析】在农村、城镇上这是一个狸猫捉老鼠会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物设计或计算出来.这个问题应考虑两种情况：设三个洞口分别为A、B、C三点，又设A、C相距最远 ①当△ABC为钝角三角形或直角三角形时，AC的中点即为所求. ②当△ABC为锐角三角形时，△ABC的外心即为所求.

  16. 课时训练 1.如图8-1-7，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距 OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式： ①r=d+h ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( ) 图8-1-7 A.① B.①② C.①②③ D.②③ C

  17. 2. 如图8-1-8，AB是AB所对的弦，AB的中垂线CD分别 交AB于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交AB于E，交 AB于F，DB的中垂线GH分别交AB于G，交AB于H， 下面结论不正确的是( ) A.AC=CB B.EC=CG C.EF=GH D.AE=EC 图8-1-8 (2003年·江苏省) D

  18. 3. 图8-1-9中每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( ) 图8-1-9 A

  19. 4. 如图8-1-10，⊙O的弦AB垂直于直径MN，点C为垂足 ，若OA=5 cm，下面四个结论中可能成立的是( ) A.AB=12 cm B.OC=6 cm 图8-1-10 C.MN=8 cm D.AC= cm (2003年·吉林省) D

  20. 5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角为( )5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角为( ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° D 6. 如图8-1-11，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) 图8-1-11 A．35° B.70° C．110° D.140° (2003年·江苏苏州市) D

  21. 1.已知：如图8-1-1２，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，弦CD⊥AB于E，CF是⊙O的直径，连结FE、FD，又知AC=2 ，BE=4. (1)求证：DF=2EO. (2)求⊙O的半径和tan ∠EFD的值. 图8-1-12

  22. 证明：(1)∵CF为⊙O的直径 ∴∠CDF=90°即DF⊥CD 又∵CD⊥ED ∴OE∥DF又∵CO=FO ∴CE=ED ∴EO为△CDF的中位线 ∴DF=2EO

  23. 解：(2)设AE=x ∵∠ACB=90°∠AEC=90° ∴△ACB∽△ABC ∴AC/AB=AE/AC ∴AC2=AE·AB 即(2 )2=x·(x+4) 12=x2+4x x=2 ∴AB=6 ∴半径为3 ∴OA=3AE=2 ∴OE=1DF=2 又∵OE⊥CD ∴CE=ED 在Rt△COE中 CO=3OE=1 ∴CE=2 =ED tan ∠EFD= =222=2

  24. 2.已知：如图8-1-13(1)，AB为⊙O的直径，AE、BF分别垂直于直线CD.2.已知：如图8-1-13(1)，AB为⊙O的直径，AE、BF分别垂直于直线CD. 图8-1-13(1) 求证：(1)ED=CF (2)AC=DG (3)OE=OF(4)AE·BF=EC·ED 图8-1-13(2) 变形：若将直线CD向上平移与直径AB交于点P，如图8-1-13(2)，其他条件不变，则判断上述结论是否成立，说明理由.

  25. 证明：(1)过点O作OM⊥EF ∵OM⊥EF，OM过圆心 ∴MC=MD① ∵OM⊥EFAE⊥EFBF⊥EF ∴AE∥OM∥BF又∵O为AB中点 ∴M为EF中点即EM=MF② 由①②可知EC=DF ∴ED=CF (2)连接AG∵AB为⊙O的直径 ∴∠AGB=90° 又∵BF⊥EF∴∠BFE=90° ∴∠AGB=∠BFE ∴AG∥EF ∴AC=DG

  26. (4)连结AD、BD ∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB=90° ∴∠ADE+∠BDF=90°① 又∵BF⊥EFAE⊥EF ∴∠AEC=90°=∠BFD=90°③ ∠BDF+∠DBF=90°② 由①、②可知∠ADE=∠DBF④ 由③、④可知△AED∽△DFB ∴ ∴AE·BF=DE·DF 又∵EC=DF ∴AE·BF=EC·ED (3)在Rt△OME和Rt△OMF中 EM=MFOM=OM∠OME=∠OMF ∴△OME≌△OMF ∴OE=OF

  27. 变形： 证明：(1)ED=CF成立 过O作OM⊥CD 由题意知OM∥AE∥BF 又∵O为AB中点 ∴M为EF中点即EM=MF① 又∵OM⊥CD ∴CM=DM② 由①、②可知CE=DF ∴ED=CF (2)AC=DG成立连结AG ∵AB为⊙O直径 ∴∠AGB=90° 又∵BF⊥CD ∴∠BFC=90° ∴∠BFC=∠AGB ∴AG∥CD ∴AC=DG

  28. (4)AE.BF=EC.ED成立 连结AD、BD ∵AC=DG ∴∠FBD=∠CDA 又∵AE⊥CDBF⊥CD ∴∠AED=∠BFD=90° ∴△AED∽△DFB ∴ ∴AE·BF=DF·DE 又∵DF=EC ∴AE·BF=EC·ED (3)OE=OF成立 在Rt△OME和Rt△OMF中 EM=MFOM=OM∠OME=∠OMF ∴△OME≌△OMF ∴OE=OF

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