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Simulación estocástica

Simulación estocástica. Modelos descriptivos Estudio de un sistema bajo unas condiciones inciertas Objetivo: generar información estocástica Estimación de valores deseados Valor medio, varianza, percentiles Estimación del error cometido.

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Simulación estocástica

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  1. Simulación estocástica • Modelos descriptivos • Estudio de un sistema bajo unas condiciones inciertas • Objetivo: generar información estocástica • Estimación de valores deseados • Valor medio, varianza, percentiles • Estimación del error cometido Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  2. Simulación estocástica • Ejemplo: • Generación eléctrica para mercados • 5 generadores • Coste de generación: C (Kpta) = 8E - E2/200 • Límites: 0 - 400 MWh • Demanda: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  3. Simulación estocástica • Ejemplo: • Otros datos • Datos de competidores: • Costes uniformes dentro del margen Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  4. Simulación estocástica • Ejemplo • Mecanismo de aceptación de ofertas: • Casación de oferta con demanda • Remuneración al coste marginal • Objetivo • Maximizar beneficio, sujeto a acciones de competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  5. Simulación estocástica • Ejemplo: Resultados deseados • Beneficio esperado para patrón de ofertas • Estudio comparativo de beneficios entre distintos patrones de ofertas • Análisis de riesgo: probabilidad de que el beneficio sea inferior a una cierta cantidad • Supondremos: • Competidores ofertan cantidad máxima Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  6. Simulación estocástica • Ejemplo • Se ofertan 400 Mwh a 7 Pta/Kwh • Si se conociese el precio de mercado, max pE - 8E + E2/200 s.a 0  E  400 • Precio depende de acciones inciertas de competidores • Cantidad aceptada también depende de estas acciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  7. Simulación estocástica • Ejemplo • Si competidores ofertan a su precio medio A 450/7.5 B 300/6.5 C 500/7.25 D 350/6.75 • Ordenar ofertas por precio, y asignar hasta cubrir demanda (1150 Mwh) • Se aceptan: B 300, D 350, X 400, C 100 • Precio de mercado: 7.25 • Beneficios propios (X): 7.25400 - 8400 + 4002/200 = 500 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  8. Simulación estocástica • Ejemplo • Es fácil calcular el beneficio dados precios • Pero beneficio para precios medios no sirve de mucho • No es el beneficio medio • No da información sobre variabilidad (riesgos) • Es fácil calcular un valor del beneficio, pero no es fácil calcular el beneficio medio Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  9. Simulación estocástica • Procedimiento propuesto • Generar muchos valores del beneficio • De muchos valores de precios de competidores • Estimar valor esperado a partir de muestra • Los valores de la muestra deben ser i.i.d. • Los valores de los precios empleados también deben ser i.i.d. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  10. Simulación estocástica • Formalización del proceso • Planteamiento del problema • Identificación de variables de entrada • Condiciones para la medida • Especialmente, aquellas aleatorias • Valores de variables deterministas • Propiedades de variables aleatorias • Identificación de variables de salida • Lo que se desea medir del sistema Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  11. Simulación estocástica • Planteamiento del problema • Relación variables de entrada y salida: • Dados valores de variables de entrada, cómo calcular valor de las variables de salida • Tratamiento de la salida • De una muestra de valores de las variables de salida, obtener la información deseada Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  12. Simulación estocástica • Ejemplo: • Variables de salida: • beneficio esperado • probabilidades • Variables de entrada: • Oferta a realizar (precios en cada periodo) • Comportamiento de los competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  13. Simulación estocástica • Ejemplo: • Relación entre variables de entrada y salida: • Cierre del mercado: cantidades y precios aceptados de cada oferta • Ingresos de las ofertas propias aceptadas • Coste de las ofertas propias aceptadas • Beneficios asociados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  14. Simulación estocástica • Procedimiento de simulación: • Definir variables: entrada/salida • Definir relaciones • Generar valores variables de entrada • Obtener valores variables de salida • Repetir un número suficiente de veces • Estimar valores deseados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  15. Simulación estocástica • Aspectos del procedimiento • Generación de datos de entrada • Muestra de datos i.i.d. • Que sigan la distribución supuesta: • Normal • Uniforme • Exponencial, etc. • Que sean independientes Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  16. Simulación estocástica • Generación de datos de entrada • Depende de distribución supuesta • Datos uniformes/normales • Soportados por software • Otros datos: • Programas especiales • Técnicas matemáticas a estudiar más adelante • Por ejemplo, para la distribución exponencial: - log U / , U  Unif [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  17. Simulación estocástica • Variables de salida • Repetir distintos valores de variables de entrada • Muestra de valores de variables de salida • Obtención de resultados • Valores medios e intervalos de confianza m = (1/n) ixi , s2 = 1/(n - 1) i (xi - m)2 [ m - zs/n, m + zs/n ] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  18. Simulación estocástica • ¿Cuántas repeticiones? • Error decrece con el número de repeticiones • Parar cuando error estimado sea suficientemente pequeño • Procedimiento habitual: parar cuando zs/n < m  err • Error 10 veces menor, 100 veces más repeticiones. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  19. Simulación estocástica • Ejemplo mercados eléctricos • Valores obtenidos • Ordenar precios y cantidades Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  20. Simulación estocástica • Ejemplo • Acumular ofertas • Comparar con la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  21. Simulación estocástica • Ejemplo • Cálculo del valor de interés • Repetición del proceso • Estimación a partir de la muestra Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  22. Simulación estocástica • Ejemplo • Hemos generado la muestra 569 2047 569 0 2998 2369 2629 0 1677 2608 • Estimaciones: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  23. Simulación estocástica • Ejemplo • Resultados con precio 7 • Variabilidad con el número de muestras • Errores en la estimación Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  24. Simulación estocástica • Ejemplo. Resultados • Estudio paramétrico (n = 1000) Precio 5.5 6.0 6.57.0 7.5 Beneficio 1760 1807 1785 1249 671 Error 35.1 35.2 35.2 63.2 70.1 • Dificultades para discriminar (n = 10000) Precio 5.5 6.0 6.5 Beneficio 1767 1777 1767 Error 11.1 11.2 11.1 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  25. Simulación estocástica • Ejemplo. Otros resultados • Para precio igual a 7, se obtienen beneficios con probabilidad del 25% • De la muestra generada se selecciona no la media sino el cuantil correspondiente n Beneficio 100 568.8 1000 15.6 10000 15.6 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  26. Simulación estocástica • Problemas pendientes: • Generación de números aleatorios • Números uniformes • Otras distribuciones • Obtención de resultados con muestras no independientes • Reducción de sesgos • Con bajo coste computacional Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  27. Simulación estocástica • Generación de n. aleatorios uniformes • Otras distribuciones: a partir de estos números • Generación de números seudo-aleatorios • A partir de fórmulas deterministas • Más eficientes computacionalmente • Deben parecer aleatorios • Distribución uniforme e independencia Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  28. Simulación estocástica • Números seudo-aleatorios • Ejemplo: • Ultimos 5 dígitos de DNI parecen aleatorios • Dividir por 105 los valores resultantes • Sistematización: • Generar números grandes • A partir de los anteriores • Multiplicando por algún valor • Empleamos los últimos dígitos de los restos Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  29. Simulación estocástica • Procedimiento habitual • Generador congruente uk = (auk-1 + b ) mod c , xk = uk /c • Valores de a , b y c • Propiedades: • Apariencia de uniformidad • Independencia • Valor de c suficientemente grande • Número máximo de valores diferentes = c • Si c es pequeño, no hay apariencia de uniformidad Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  30. Simulación estocástica • Selección de parámetros • Importante la facilidad de cálculo • Selección habitual: c = 232 ó c = 232 - 1 • Selección de b • Selección habitual: b = 0 • Facilidad de cálculo • Selección de a • El problema más difícil Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  31. Simulación estocástica • Selección de parámetros • Obtener los ciclos más largos posibles • La sucesión { xk } tiene periodo igual a c si y solo si se cumple: • b y c son primos entre sí • a - 1 múltiplo de p para todo p primo divisor de c • a - 1 múltiplo de 4 si c es múltiplo de 4 • Condiciones no muy útiles • Valores escogidos por prueba y error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  32. Simulación estocástica • Ejemplo de simulador congruente: uk = 75uk-1 mod (231 - 1) , xk = uk /(231 - 1) • ¿Independencia? • Se comprueba a posteriori • Comprobaciones • Distribución uniforme • Tests tipo Kolmogorov-Smirnov • Independencia • Rachas, Komogorov-Smirnov sobre n -uplas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  33. Simulación estocástica • Comprobación de uniformidad • Se divide el intervalo [0,1] en subintervalos  • Número observaciones en cada subintervalo, i • Tests 2 • Unidimensionales y multidimensionales • Se calcula  (i - N)2/(N)2 • Se contrasta con una p-12 • Kolmogorov-Smirnov • Se calcula max (i /n - ) • Se contrasta con las tablas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  34. Simulación estocástica • Comprobación de independencia • Tests de rachas • Para rachas de longitud d , asintóticamente (N - E[N ])/Var(N )½ N(0,1) • Valores de los momentos E[N ] = 2(n - d - 2)(d 2 + 3d + 1)/(d + 3)! • Tests individuales • Tests tipo 2 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  35. Simulación estocástica • Generación de números no uniformes • A partir de números uniformes • Método general: • Transformación inversa U  Unif [0,1] , X = F -1 (U ) , X  F • Justificación: sea G la función de distribución de X G (x ) = P(X  x ) = P(F -1 (U )  x ) = P(U  F (x )) = F (x ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  36. Simulación estocástica • Ejemplos • Variable exponencial con parámetro  F (x ) = 1 - e -x , F (x ) = u  1 - e -x = u  x = -(1/) log(1 - u ) • Variables discretas X = xi c.p. pi X = xk si 1k-1pi  u < 1kpi Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  37. Simulación estocástica • Otros ejemplos • Uniforme en [a , b ] F (x ) = (x - a )/(b - a ) , X = a + (b - a )U • Triangular con parámetros a , b , c (x - a )2/(c - a )(b - a ) F (x ) = (b - a )/(c - a ) + ((c - b )2 - (c - b )2)/(c - a )(c - b ) a + (c - a )(b - a )U X = c - (c - b )2 - (c - a )(b - a )(U - (b - a )/(c - a )) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  38. Simulación estocástica • Métodos especiales • Métodos de composición • Métodos de aceptación-rechazo • Generación de normales • Métodos de alias • Variables discretas • Métodos de caracterización Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  39. Simulación estocástica • Métodos de composición • Variable como suma de otras variables • Generación de p2 (p par) • Generar p/2 exponenciales con parámetro ½ • Generación de Gamma(k ,  ) • Generar k exponenciales con parámetro  • Generación de binomiales (n , p ) • Se generan n Bernouillis con parámetro p • Generación de normales • Se generan 12 uniformes [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  40. Simulación estocástica • Métodos de aceptación-rechazo • Generar valores de distribución a partir de otra • Cuya densidad es mayorante de la de interés • Procedimiento • Se tiene función g 0 , mayorante de f • Generar Y con densidad h = g /c • Generar U uniforme en [0,1] • Si U  f (Y )/g (Y ) , hacer X = Y • Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  41. Simulación estocástica • Aceptación-rechazo • Justificación • Si calculamos la función de distribución de X , P(X x ) = P(Y x | U  f (Y )/g (Y )) = x(g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy / (g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy = x f (y ) dy • La variable X resultante tiene densidad f Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  42. Simulación estocástica • Aceptación-rechazo • Ejemplo: normal a partir de exponencial • Densidad de normal estándar mayorada por eexp(-x ) • Procedimiento • Generar dos uniformes [0,1] • Definir Y = -logU1 • Si U2 exp(-½ (Y - 1)2) , aceptar X = Y • Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  43. Simulación estocástica • Método de alias • Para variables discretas • Se generan dos tablas de valores • Cortes fi • Alias ai • Procedimiento • Se genera U uniforme en [0,1]. i = nU  + 1 • Se genera V uniforme en [0,1] • Si V fi se devuelve i • Si no, se devuelve ai Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  44. Simulación estocástica • Métodos de caracterización • Generación de normales • Basada en la propiedad X1 , X2  N (0,1) independientes  (X1, X2 ) = (R, ), R2  exp(½),   Unif [0,2] indep. • Se generan • una uniforme en [0,2],  • y una exponencial con parámetro ½, R2 • Se calculan X1 = Rcos y X2 = Rsin Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  45. Simulación estocástica • Caracterización • Funciones trigonométricas costosas • Aceptación-rechazo + caracterización • Generar U1 y U2 independientes y uniformes • Vi = 2Ui - 1 , S = V12 + V22 • Si S 1 , rechazar y repetir • Si no, X1 = (V1/S )(-2logS ) , X2 = (V2/S )(-2logS ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  46. Simulación estocástica • Dependencias en la muestra • Ejemplo 2. Gestión de inventarios • Venta/distribución de un producto • Demanda muy variable • Costes: • Costes de pedido - fijos: 200 - variables: 10 • Costes de inventario: 2 • Costes de rotura de stock: 25 • Precio de venta: 20 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  47. Simulación estocástica • Ejemplo 2 • Demanda variable: • Distribución exponencial • Media: 250 • Variables de salida: • Beneficio esperado • Nivel de inventario Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  48. Simulación estocástica • Ejemplo 2 • Variables de entrada: • Demanda • Nivel de pedido • Cantidad de pedido • Datos anteriores (costes, precio) • Tiempo de servicio igual a un periodo Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  49. Simulación estocástica • Ejemplo 2 • Estudiaremos políticas (s ,S ) • Se fija un nivel s tal que cuando el inventario queda por debajo, se realiza un pedido • El tamaño del pedido es fijo, S • Estas políticas son óptimas bajo condiciones muy amplias sobre la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

  50. Simulación estocástica • Relación entre entrada y salida: • Inventario disponible menos demanda da inventario final y realización de pedidos It - Dt + Pt si It + PtDt It+1 = 0 en otro caso si It < s, Pt+1 = S • Se parte de un valor inicial de I Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

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