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数 学 分 析

§5.4 函数的单调性与. 数 学 分 析. 曲线的凹凸性. 教学目标：. 1° 使学生深刻理解 函数 单调性 的判定法 、函 数的凹凸性及拐点；在微分中值定理中地位。 2° 通过知识学习，使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力，能用以证明某 些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。. 则 在 I 内单调递增. 这说明 在 I 内单调递增. 一、 函数单调性的判定法. 若. 在开区间 I 内可导 ,. 定理 1. 设函数. ( 递减 ). 任取. 证 : 无妨设.

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  1. §5.4 函数的单调性与 数 学 分 析 曲线的凹凸性 教学目标： 1°使学生深刻理解函数单调性的判定法、函 数的凹凸性及拐点；在微分中值定理中地位。 2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力，能用以证明某 些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。

  2. 则 在 I内单调递增 这说明 在 I内单调递增. 一、 函数单调性的判定法 若 在开区间 I内可导, 定理 1.设函数 (递减) . 任取 证:无妨设 由拉格朗日中值定理得 故 证毕

  3. 的单调区间. 例1.确定函数 解: 令 得 的单调增区间为 故 的单调减区间为

  4. 说明: • 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,

  5. 时, 成立不等式 例2.证明 证: 令 且 证 因此 从而

  6. y L1 B L2 L3 A o x 二. 曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 如右图所示L1，L2 ，L3虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧 ，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸 的称呼是一致的。

  7. 1.曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方

  8. 2.曲线凹凸的判定 定理1

  9. 由假设 证明 分别应用L—定理，得 两式相减，得

  10. 这就证明了 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 解 注意到,

  11. 3.曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证

  12. 方法1:

  13. 例2 解 拐点 拐点 凹的 凸的 凹的

  14. 方法2: 例3 解

  15. 注意:

  16. 二阶导数变号， 例5 解

  17. 求曲线 的拐点 例6 解

  18. 是拐点 例7 ——Jensen不等式 证 由Taylor公式，得

  19. 各式乘以 再相加，得 =1 =1

  20. 的拐点. 例8. 求曲线 解: 不存在 凹 凸 的拐点 . 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线

  21. 的凹凸区间及拐点. 例9.求曲线 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 得 对应 令 3) 列表判别 凹 凸 凹 上向上凹, 故该曲线在 及 均为拐点. 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 ,

  22. 例10. 求函数 3 2 = - + - f ( x ) 2 x 9 x 12 x 3 的单调区间。 f='2*x^3 - 9*x^2+12*x - 3'; dfdx=diff(f,'x') dfdx = 6*x^2 - 18*x+12 s='6*x^2 - 18*x+ 12' ， x0=solve(s) s =6*x^2 - 18*x+12 x0 = 1, 2 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -1 0 1 2 3 5 4 2 1

  23. + – 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I上单调递增 在 I上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 拐点

  24. 思考与练习 则 上 1. 设在 或 的大小顺序是 ( ) B 单调增加 , 及 提示:利用

  25. 2.曲线 的凹区间是 ; 及 凸区间是 ; 拐点为 . 提示:

  26. 备用题 有位于一直线的三个拐点. 1.求证曲线 证明：

  27. 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线.

  28. 数学是自然的语言 ——伽里略 The Class is over. Goodbye!

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