离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 26

2. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 一、欧拉图 1. 哥尼斯堡七桥问题 2. 欧拉图的定义

3. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 2. 欧拉图的定义 定义：在无孤立顶点的图 G（有向图或 无向图）中，若存在一条途径经过图中每一 条边一次且仅一次，则称该途径为欧拉迹； 如果存在一条闭途径经过每一条边一次且仅 一次，则称该闭途径为欧拉闭迹或欧拉环 游；具有欧拉闭迹的图称为欧拉图，将只具有欧拉迹的图称为半欧拉图。

4. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 2. 欧拉图的定义 显然，每个欧拉图必然是连通图。规定平 凡图为欧拉图。 欧拉迹是经过图中所有边的长度最短的途 径；欧拉闭迹是经过图中所有边长度最短的 闭途径。易见，欧拉闭迹就是欧拉环游。 一个有欧拉迹或欧拉环游的图都是俗称可 “一笔画成”的图。 例：

5. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 一、欧拉图 3. 欧拉迹、欧拉图的判定定理 定理：连通图 G 是欧拉图，当且仅当 G 不含奇度顶点。 证明：

6. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 一、欧拉图 3. 欧拉迹、欧拉图的判定定理 推论：非平凡连通图 G 含有欧拉迹（即 为半欧拉图）当且仅当 G 最多有两个奇度的 顶点。 证明：

7. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 3. 欧拉迹、欧拉图的判定定理 对于“一笔画”游戏，由判定定理和推论可 知，有两种情况可以一笔画： （1）如果图中所有顶点是偶数度顶点， 则可以任选一点作为始点一笔画完。 （2）如果图中只有两个奇数度顶点，则 可以选择其中一个奇度顶点作为始点一笔画 完。 例：

8. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 一、欧拉图 4. 有向欧拉迹和有向欧拉闭迹 定理 1：有向图 G 是欧拉图，当且仅当 G 强连通，且每个顶点的入度都等于出度。 证明（略）

9. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 一、欧拉图 4. 有向欧拉迹和有向欧拉闭迹 定理 2：有向图 G 含有有向欧拉迹，当 且仅当有向图 G 是单向连通的，且 G 中恰有 两个奇度顶点，其中一个顶点的入度比其出 度多 1 ，另一顶点的入度比其出度少 1 ，而 其余每个顶点的入度等于其出度。 证明：（略）

10. 第九章 特殊图 9.1 欧拉图 二、欧拉图的应用 1. 模数转换问题 2. 中国邮递员问题 9.2 哈密顿图简介

11. 第九章 特殊图 作业：P280 , 习题九 9.1 、9.2、9.3

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