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概率论与数理统计复习提纲

概率论与数理统计复习提纲. 第一章. 1, 搞清楚事件的各种关系和运算的意思 思考题 : 已知 A , B 都是随机事件 , A  B , A = B , A  B , AB ( 或 A  B ),  A 的意思是什么 ? A 和 B 互斥或者互不相容是什么意思 ? A 和 B 对立是什么意思 ? 对立事件的定义. 随机事件 A , B 互不相容 , 是指 AB = , 这时 P ( A  B )= P ( A )+ P ( B ). 随机事件 A 与 B 相互独立 , 是指 P ( AB )= P ( A ) P ( B ).

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Presentation Transcript

  1. 概率论与数理统计复习提纲

  2. 第一章

  3. 1, 搞清楚事件的各种关系和运算的意思思考题: 已知A,B都是随机事件, AB, A=B, AB, AB(或AB), A的意思是什么?A和B互斥或者互不相容是什么意思?A和B对立是什么意思? 对立事件的定义.

  4. 随机事件A,B互不相容, 是指AB=, 这时P(AB)=P(A)+P(B)

  5. 随机事件A与B相互独立, 是指P(AB)=P(A)P(B)

  6. 对随机事件A与B, 如果AB, 则有P(A-B)=P(A)-P(B)

  7. 古典概型的试验中, 基本事件总数为n, 有利于事件A的基本事件总数为m, 则P(A)=m/n思考题: 一张圆桌有3个座位围绕, 3个人随机去坐, 其中指定的二人相邻而坐的概率是多大?

  8. 全概率公式:设W为试验E的样本空间, B1,B2,…,Bn为E的一组事件, 在每次试验中必有且仅有其中的一个事件发生, 则称这组事件为样本空间的一个划分.对于W中的一个划分B1,B2,…,Bn, 任给一个事件A都有 最常见的倒是n=2的情况, 这时B1,B2互为对立事件.

  9. 思考题已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%是色盲患者, 从人群中任取一人, 取到的是色盲患者的概率是多少?

  10. 第二章

  11. 随机变量X的分布函数的定义是F(x)=P{Xx}已知X的分布函数, 就有P{a<Xb}=F(b)-F(a)

  12. 概率密度函数设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x), 则 上式中的不等式, 将<改为或将改为<结果都一样. 思考题: 设X的概率密度函数为 P{X<0.6}=?

  13. 连续型随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)的关系:连续型随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)的关系: f(x)既然是F(x)的导数, 则F(x)也就是f(x)的原函数之一. 但是f(x)的原函数有无穷多个, 假设G(x)是f(x)中的一个原函数, 则必有F(x)=G(x)+c, 但是为了满足分布函数的需要, c不能够随意取, 而是必须满足分布函数的连续性要求.

  14. 例如, 设 则必有当x<1时F(x)=0, 及x>2时F(x)=1. 当1x2时, 2(1-1/x2)的原函数是 则c必须满足F(1)=0, F(2)=1, 因此c=-4, 最后F(x)写出为:

  15. 1, 记住0-1分布, 二项分布, 泊松分布的分布率,记住均匀分布, 指数分布, 正态分布的概率密度函数.

  16. 0-1分布:X服从0-1分布(X~b(1,p)),P{X=0}=1-p, P{X=1}=p,P{X=k}=(1-p)1-kpk, k=0,1E(X)=p, D(X)=p(1-p).

  17. 二项分布X~b(n,p) E(X)=np, D(X)=np(1-p), X可视为n个相互独立的服从0-1分布的随机变量的和, 两个相互独立的服从二项分布的随机变量的和仍然服从二项分布.

  18. 泊松分布:X~p(l) E(X)=D(X)=l, 两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和仍然服从泊松分布. 如果X~b(n,p), 但是n特别大p特别小, 则近似有X~p(np).

  19. 均匀分布:X~U(a,b), (a<b) 如果X服从均匀分布, 则kX+c也服从均匀分布, k,c为任意数且k0.

  20. 指数分布:X~E(l),

  21. 正态分布:X~N(m,s2),E(X)=m, D(X)=s2, aX+b(a0)仍然服从正态分布, 两个相互独立的服从正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布.

  22. 定理 设随机变量X的概率密度fX(x)只是在区间[a,b]内不等于0, 而另有一实函数g(x)在区间[a,b]内可导, 单调升, g'(x)>0, 当自变量从a变到b的时候, g(x)的函数值从a=g(a)上升到b=g(b), 在此区间内g(x)的反函数h(x)存在且可导, 令Y=g(X), 则Y的概率密度为

  23. 第三章

  24. 设离散性随机变量(X,Y)的分布率为pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m则X的边缘分布率pi和Y的边缘分布率pj为:

  25. 假设随机变量X,Y的概率密度函数分别为fX(x), fY(y), X,Y相互独立, 则X,Y的联合概率密度函数为f(x,y)=fX(x)fY(y)且有

  26. 思考题:设X和Y都服从参数为2的指数分布, 它们相互独立, 则P{X<1/2, Y<1/2}=?

  27. 第四章

  28. 数学期望和方差的计算:设X是离散型随机变量, 其分布律为pi=P{X=xi}, i=1,2,…,n.则

  29. 设X是连续性随机变量, 概率密度为f(x)则

  30. 设离散性随机变量(X,Y)的分布率为pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m

  31. 数学期望的性质:任给随机变量X,Y,常数a,bE(aX+b)=aE(X)+bE(aX+bY)=aE(X)+b(Y)尤其有E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X-Y)=E(X)-E(Y)任何随机变量的数学期望也是常数, 因此E[E(X)]=E(X)

  32. 方差的性质:设随机变量X,Y的相互独立, 方差存在, a,b为任意常数, 则D(aX)=a2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)

  33. 第五章

  34. 第六章

  35. 假设X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(m,s2), 则

  36. 假设X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(m,s2), 则 或 思考题: 假设X1,X2,X3相互独立且都服从N(0,1), 则 服从什么分布?自由度是多少?

  37. 第七章

  38. 极大似然估计法:设总体为X, 要估计的参数为q, 如果X为离散型随机变量, 分布率函数为p(x;q)=P{X=x}这时似然函数为L(q)=p(x1;q)p(x2;q)…p(xn;q)如果X为连续型随机变量, 概率密度函数为f(x;q), 这时似然函数为L(q)=f(x1;q)f(x2;q)…f(xn;q)然后求似然函数L关于q的最大值

  39. 可令 解出极大似然估计值为 则极大似然估计量为

  40. 对一个正态总体的均值的区间估计方差已知: 方差未知:

  41. 对一个正态总体的方差的区间估计:首先用样本算出样本方差s2或者样本标准差s(也有可能题目就给出这二者之一), 根据样本容量n及置信概率1-a, 查c2分布表获得上a/2分位点和上1-a/2分位点, 按下式给出方差s2的区间估计:

  42. 第八章

  43. 已知总体X~N(m,s2),对m进行假设检验, H0: m=m0, H1:mm0方差已知:拒绝域:

  44. 已知总体X~N(m,s2),对m进行假设检验, H0: m=m0, H1:mm0方差未知:拒绝域:

  45. 已知总体X~N(m,s2),对s2进行假设检验, H0: s2=s02, H1:s2s02令 拒绝域:

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