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XII Infinit

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¥. XII Infinit. Fast alle heute lebenden Mathematiker akzeptieren Cantors transfinite Mengenlehre als Grundlage der Mathematik. David Hilbert (1862 - 1943) Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

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Presentation Transcript
slide1

¥

XII

Infinit

slide2

Fast alle heute lebenden Mathematiker akzeptieren Cantors transfinite Mengenlehre als Grundlage der Mathematik.

David Hilbert (1862 - 1943)

Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

... seine Theorie der transfiniten Zahlen; diese erscheint mir als die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandesmäßiger menschlicher Tätigkeit.

slide3

David Hilbert (1862 - 1943): Über das Unendliche

Zu Cantors transfiniten Zahlen gelangen wir also einfach durch ein Hinüberzählen über das gewöhnliche abzählbare Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemäße und eindeutig bestimmte, konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zählens im Endlichen.

... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen.

n Þ n + 1

Zuletzt wollen wir wieder unseres eigentlichen Themas gedenken und über das Unendliche das Fazit aus allen unseren Überlegungen ziehen: Das Gesamtergebnis ist dann:

das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig -

eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken.

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Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

"... so protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Facon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen verstattet ist."

slide5

Karl Weierstraß (1815 - 1897)

Lehrer Cantors,

setzte die Veröffentlichung von Cantors Ideen durch,

sagte aber noch 1878, in einer Vorlesung:

b > a, wenn es eine Zahl c gibt, die wohl von b, nicht aber auch von a Bestandteil ist. Es ist danach unmöglich zwei unendlich große Zahlen a und b zu unterscheiden.

slide6

Leopold Kronecker (1823 - 1891)

Lehrer Cantors, bezeichnete ihn später als "Verderber der Jugend!"

Henri Poincaré (1854 - 1912)

"Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen und haben sich in Widersprüche verwickelt."

"Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat."

slide7

Luitzen E. J. Brouwer (1881 - 1966)

“De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet.“

(Dissertation, 1907)

Eine durch keinen widerlegenden Widerspruch zu hemmende

unrichtige Theorie ist darum nicht weniger unrichtig, so wie ein durch kein Gericht zu hemmendes Verbrechen darum nicht weniger verbrecherisch ist.

slide8

Hermann Weyl (1885 - 1955)

Nachfolger Hilberts in Göttingen

Die Logik wurde an endlichen Mengen ausgebildet. Ohne jede Rechtfertigung wird sie nun auf unendliche Mengen angewandt.

Das ist der Sündenfall der Mengenlehre.

No one can describe an infinite set other than by indicating properties characteristic of the elements of the set…. The notion that a set is a “gathering” brought together by infinitely many individual arbitrary acts of selection, assembled and then surveyed as a whole by consciousness, is nonsensical; “inexhaustibility” is essential to the infinite.

slide9

Ludwig Wittgenstein (1889 - 1951)

It isn't just impossible "for us men" to run through the natural numbers one by one; it's impossible, it means nothing.

You can’t talk about all numbers, because there's no such thing as all numbers.

Set theory is wrong because it apparently presupposes a symbolism which doesn't exist instead of one that does exist (is alone possible). It builds on a fictitious symbolism, therefore on nonsense.

slide10

Legen wir uns nunmehr rückblickend die Frage vor, wieso die von uns als ungereimt nachgewiesene Bildung einer Stufenfolge transfiniter Mächtigkeiten dennoch einen so hohen Grad von Scheinbarkeit besitzt …

Felix Kaufmann

(1895 – 1949)

Geht man nun – im Gegensatz zu unserer vorstehend begründeten Auffassung – von der Annahme aus, daß in den Cantorschen Thesen über das Transfinite, speziell über das unabzählbar Unendliche, mathematische Erkenntnis enthalten sei …

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Paul Lorenzen (1915 - 1994)

... entsteht die christliche Auffassung Gottes als aktualer Unendlichkeit. In der Renaissance, besonders bei Bruno, überträgt sich die aktuale Unendlichkeit von Gott auf die Welt.

Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft eines Gedankens einer aktualen Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist.

Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann.

Im geistigen Gesamtbilde unseres Jahrhunderts wirkt das aktual Unendliche geradezu anachronistisch.

slide12

Abraham Robinson (1918 - 1974), Schüler Fraenkels, Begründer der Non-Standard-Analysis: "Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e., either really or ideally). More precisely, any mention, or purported mention, of infinite totalities is, literally, meaningless."

Walter Felscher (1931 -2000), Autor eines mehrbändigen Lehrbuches zur ML: "Was hingegen die Anwendungen der transfiniten Zahlen in anderen mathematischen Disziplinen anlangt, so haben sich die Hoffnungen, welche man zunächst darauf setzte, nur in wenigen, speziellen Fällen erfüllt..."

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Solomon Feferman (*1928)

Das aktual Unendliche wird für die Mathematik der wirklichen Welt nicht gebraucht.

At least to that extent the question "Is Cantor necessary?" is answered with a resounding "no".

slide14

Edward Nelson (*1932)

Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde; wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden Kollektion.

Wenn ich die Aufgabe stelle

37460225182244100253734521345623457115604427833+ 52328763514530238412154321543225430143254061105

und Sie der erste sind, der sie löst, dann haben Sie

eine Zahl erschaffen, die vorher nicht existierte.

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Edward Nelson (*1932)

Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde; wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden Kollektion.

Wenn ich die Aufgabe stelle

37460225182244100253734521345623457115604427833+ 5232876351453023841215432154322543014325406110589788988696774338665888842888848887258858488938

Pech gehabt. Diese existierte schon.

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William Thurston (1946-2012)

Topologe, Träger der Fields-Medaille

Auf ihrem tiefsten Grunde sind die Fundamente der Mathematik viel wackliger als die Mathematik, die wir betreiben. Die meisten Mathematiker akzeptieren Prinzipien, die als Trugbilder bekannt sind. Es ist zum Beispiel bewiesen, dass es unmöglich ist, eine Wohlordnung der reellen Zahlen zu konstruieren oder auch nur zu definieren. Es gibt beträchtliche Evidenz dafür (aber keinen Beweis) dass wir mit diesen Trugbildern durchkommen, ohne uns zu verfangen, aber das macht sie nicht richtig.

Mengentheoretiker konstruieren viele verschiedene und sich gegenseitig ausschließende “mathematische Universen”. Das erweckt sehr wenig Vertrauen, dass eines von ihnen die richtige oder die natürliche Wahl wäre.

slide17

Philosophisch erfordert ZFC den vagen Glauben an ein mystisches Universum von Mengen, das unphysikalisch und zeitlos existieren müsste (und doch dürften irgendwie "nicht alle Mengen auf einmal da sein", um die klassischen Paradoxien zu vermeiden).

Nik Weaver

(*1969)

slide18

Our axioms, if interpreted as meaningful statements, necessarily presuppose a kind of Platonism, which cannot satisfy any critical mind and which does not even produce the conviction that they are consistent.

Kurt Gödel (1906 - 1978)

slide19

Doron Zeilberger (* 1950):

Herren Geheimrat Hilbert und Prof. Dr. Cantor

Your "Paradise“ is a Paradise of Fools, and besides feels more like Hell.

every statement that starts

"for every integer n "

is completely meaningless.

slide20

Es gibt überendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe.

Es gibt inkonsistente Mengen: Die Menge aller Mengen müsste ihre Potenzmenge enthalten und damit mächtiger sein als sie ist.

Bertrand Russell

(l872 - 1970)

Georg Cantor

1845 - 1918

Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten (Barbier).

slide21

Löwenheim-Skolem-Paradoxon

Leopold Löwenheim

(1878 - 1957)

Thoralf Albert Skolem

(1887 - 1963)

Jede Theorie wie die Mengenlehre besitzt ein abzählbares Modell, sofern sie überhaupt ein Modell besitzt, d.h. konsistent ist.

Skolem is arguing that all the evidence that has been given for the existence of uncountable sets is inconclusive.

slide22

Das Paradoxon von Banach-Tarski

Mit Auswahlaxiom (AC) und Wohlordnungssatz ist beweisbar:

Stefan Banach

(1892 - 1945)

Alfred Tarski

(1902 - 1983)

slide23

We are, like Poincaré and Weyl, puzzled by how mathematicians can accept and publish such results; why do they not see in this a blatant contradiction which invalidates the reasoning they are using?

Presumably, the sphere paradox and the Russell Barber paradox have similar explanations; one is trying to define weird sets with self-contradictory properties, so of course, from that mess it will be possible to deduce any absurd proposition we please.

Edwin T. Jaynes (1922 – 1998)

The Banach-Tarski paradox amounts to an inconsistency proof of the Axiom of Choice.

Émile Borel (1871 – 1956)

slide24

Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind abzählbar.

Es gibt nur abzählbar viele Namen.

0

1

00

01

10

11

000

Jede Zahl, die wir individuell bezeichnen, also identifizieren und in der Mathematik verwenden können, gehört zu einer abzählbaren Menge.

slide25

Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind abzählbar.

Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach eine endliche, d.h. sie erklärt den zu bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl bereits bekannter Begriffe.

"Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge.

Wäre der Satz, daß alle "endlich definierbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit 0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist.

Georg Cantor

(1845 - 1918)

slide26

Hermann Weyl (1885 - 1955)

Die möglichen Kombinationen endlichvieler Buchstaben bilden eine abzählbare Menge, und da jede bestimmte reelle Zahl sich durch endlichviele Worte definieren lassen muß, kann es nur abzählbar viele reelle Zahlen geben - im Widerspruch mit Cantors klassischem Theorem und dessen Beweis.

slide27

It is this absolute platonism which has been shown untenable by the antinomies.

If we pursue the thought that each real number is defined by an arithmetical law, the idea of the totality of real numbers is no longer indispensable.

Paul Bernays

(1888 - 1977)

slide28

Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in dem nur endliche Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden, so lassen sich diese reellen Zahlen gewiß abzählen, weil ja die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven Erklärungen abzählbar sind.

Kurt Schütte

(1909 - 1998)

slide29

Jede wohlgeordnete Menge besitzt eine

Normaldarstellung mit indizierten Elementen.

Es gibt nur abzählbar viele Indizes.

Es gibt überabzählbare Mengen.

Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

slide30

0,1 = 10-1

0,11 = 10-1 + 10-2

0,111 = 10-1 + 10-2 + 10-3

Diese Folge enthält als Exponenten alle natürlichen Zahlen

in endlichen Anfangsabschnitten.

{ 1 }

{ 1, 2 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3, 4 }

{ 1, 2, 3, 4, 5 }

slide31

WennÀ0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten.

SindÀ0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten.

Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält.

{ 1 }

{ 1, 2 }

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2, 3, 4 }

{ 1, 2, 3, 4, 5 }

slide33

|{2, 4, 6, …, g}|

< g

< |{2, 4, 6, …}|

= À0

slide34

|{2, 4, 6, …, g}|

< g

< |{2, 4, 6, …}|

= À0

Mengen gerader Zahlen

Jede Menge positiver gerader Zahlen enthält Zahlen, die größer als die Kardinalzahl der Menge sind.

{2}

{2, 4}

{2, 4, 6}

{2, 4,6, 8}

{2, 4,6, 8, 10}

{2, 4, 6,8, 10, 12}

...

slide35

Cantor’s "paradise" as well as all modern axiomatic set theory [AST] is based on the (self-contradictory) concept of actual infinity.

Cantor emphasized plainly and constantly that all transfinite objects of his set theory are based on the actual infinity.

Modern AST-people try to persuade us to believe that the AST does not use actual infinity.

A. Zenkin

(1937 – 2006)

It is an intentional and blatant lie, since if infinite sets are potential, then the uncountability of the continuum becomes unprovable.

slide36

n r(n)

___________________

1 0,000111199999...

2 0,123456789123...

3 0,555555555555...

4 0,789789789789...

5 0,010000000000...

... ...

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Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis

n r(n)

00000___________________

0000001 0,000...

0000002 0,1000...

0000003 0,11000...

0000004 0,111000...

0000005 0,1111000...

... ... ...

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Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis

n r(n)

00000___________________

0000001 0,000...

0000002 0,1000...

0000003 0,11000...

0000004 0,111000...

0000005 0,1111000...

... ... ...

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Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis

n r(n)

00000___________________

0000001 0,100...

0000002 0,1100...

0000003 0,11100...

0000004 0,111100...

0000005 0,1111100...

... ... ...

Ohne aktuale Vollendung der Zahl 1/9 = 0,111… ist die Diagonalzahl in der Liste.

Cantors Trick: Alle natürlichen Zahlen können angeschrieben werden.

slide40

n r(n)

0000____________

0000001 0,1

0000002 0,11

0000003 0,111

... ... ...

n r(n)

____________

1 0,1

2 0,11

000

3 0,111

... ...

Mein Trick: Ich kann jede Menge natürlicher Zahlen verdoppeln (falls “alle“ sinnvoll ist).

Cantors Trick: Alle natürlichen Zahlen können angeschrieben werden.

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n r(n)

0000____________

0000001 0,1

0000002 0,11

0000003 0,111

... ... ...

  • n r(n)
  • ____________
  • 1 0,1
  • 2 0,2
  • 0,11
  • 0,22
  • 0,111
  • 6 0,222
  • ... ...

Mein Trick: Ich kann jede Menge natürlicher Zahlen verdoppeln.

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n

0000____________

0000001

0000002

0000003

... ...

Mein Trick: Ich kann jede Menge natürlicher Zahlen verdoppeln.

Klick

Bei 0 Klicks?

slide43

Percy W. Bridgeman (1882–1961)

The ordinary diagonal Verfahren I believe to involve a patent confusion of the program and object aspects of the decimal fraction, which must be apparent to any who imagines himself actually carrying out the operations demanded in the proof.

In fact, I find it difficult to understand how such a situation should have been capable of persisting in mathematics.

slide44

Eine Liste mit allen rationalen Zahlen ist möglich:

Verdopplung der Zeilen zeigt, dass mehr natürliche als rationale Zahlen existieren.

slide45

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.3476183

slide46

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.34761831

slide47

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.347618311

slide48

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.347618311312321

slide49

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.347618311312321876760760

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Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

0.347618311312321876760760

Jede findet sich unendlich oft im Rest der Liste.

dn findet sich unendlich oft im Rest der Liste.

slide51

- + (-) + (- + -) + (- + - + - + -) + ...

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8

Bis zur n-ten Klammer werden 2nStammbrüche benötigt.

À0 Klammern, 2À0 Stammbrüche

slide52

Wohlordnung der rationalen Zahlen {q I 0 < q < 1}

-, -, -, -, -, -, -, -, ...

1 1 1 2 1 1 2 3

2 3 4 3 5 6 5 4

Enthält die Folge der rationalen Zahlen

die kleinste Zahl > 0 ?

die größte Zahl < 1 ?

die kleinste Zahl > 1/2 ?

Aktual unendlich viele Transpositionen

 Umordnung der Größe nach wäre möglich.

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The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman

Laurence Sterne

(1713-1768)

Adolf Abraham Fraenkel

(1891 – 1965)

Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa „abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine Biographie „fertig“, es würde dann nämlich jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung bekommen.

Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa „abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine Biographie „fertig“.

slide54

1

2

4

5

3

6

slide55

1

2

5

1

5

2

3

4

4

6

3

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1

8

2

7

6

3

5

4

slide57

2 1

2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

. . . . . . . . . . . .

  • 0(Mengenlehre)

 (Mathematik)

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1

8

2

7

6

3

5

4

  • (Mengenlehre)

 (Mathematik)

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Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask

0 1 2 3 4 5 6 …

ein: (0, 1] aus 1/1

ein: (1, 2] aus 1/2

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Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask

0 1 2 3 4 5 6 …

ein: (0, 1] aus 1/1

ein: (1, 2] aus 1/2

ein: (2, 3] aus 2/1

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Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask

0 1 2 3 4 5 6 …

ein: (0, 1] aus 1/1

ein: (1, 2] aus 1/2

ein: (2, 3] aus 2/1

… und so weiter

In der Urne sind immer unendlich viele Zahlen!

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Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask

0 1 2 3 4 5 6 …

ein: (0, 1] aus 1/1

ein: (1, 2] aus 1/2

ein: (2, 3] aus 2/1

… und so weiter

Sogar die Zahl der Intervalle ohne Strich wächst ständig!

slide66

0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

slide67

0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

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0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854000000000000…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt stets eine rationale.

I×I IÐI

slide69

Dezimaldarstellungen von Zahlen

742,25

7 4 2 , 2 5

102 101 100 , 10-1 10-2

Binärdarstellungen von Zahlen

22 21 20 , 2-1 2-2

1 0 1 = 4 + 0 + 1 = 5

1 1 0 , 1 = 4 + 2 + 0 + 1/2 = 6,5

0 , 1 1 = 1/2 + 1/4 = 0,75

0,111111 ... = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

0,010101... = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

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Der binäre Baum

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide71

Der binäre Baum

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

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Der binäre Baum

0,

2

0

1

1

3

4

5

6

0 1 0 1

7

8

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10

11

12

13

14

0 1 0 1 0 1 0 1

15

16

slide85

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide86

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide87

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide88

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide89

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide90

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide91

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

Jeder einzelne konstruierte Pfad bedeckt unendlich viele Knoten.

Nach jedem Konstruktionsschritt ist das Verhältnis

Anzahl der Pfade

Anzahl der Knoten

0

1

= 0

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

slide92

Wie viele natürliche Zahlen gibt es?

< 1080 Protonen im Weltall

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

10100000

Wo existieren mit 1080 Zeichen nicht darstellbare Zahlen?

slide93

Verwirklichung des aktual Unendlichen

???

  • Gott
  • Natur
  • Mathematik

Georg Cantor

1845 - 1918

slide94

Es gibt keine verschiedenen Unendlichkeiten.

Es gibt keine vollendete Unendlichkeit.

Das Unendliche ist Richtung, nicht Betrag.

¥ = ¥ + 1 = 2¥ = 2¥

À0 < 2À0 = À1?,À2, ...

À0

John Wallis

(1616 - 1703)