第 23 讲

1. 第 23 讲 三重积分坐标变换

2. 一般坐标变换 定理 1.设 为有界闭域，函数f(x, y, z) 在 上连续， 变换 具有连续偏导数，且将 一一地映成 而在 上 则 雅可比行列式

3. 柱坐标 将空间点的 x, y坐标用极坐标代替，z坐标不变。 z 从 x轴正向到 OM0的角， 称 为点 M的柱坐标。 O 空间除 x轴上的点外，每点都有 y x 有时也可规定 唯一 的柱坐标。

4. 的柱坐标表示。 其中 为 柱面坐标变换 考虑变换 对应的雅可比行列式 成立

5. 设 在 x y 面的投影区域 为 D， 由 z 例 1. 计算 其中 围成。 解： 则在柱坐标变换 O y 下， D表示为 ： x 因此

6. 例 2. 求抛物面 z 截得的有界体的体积。 被平面 解： 有界体为 其体积为 V， 在 x y 面的投影区域 为 D， O 则在柱坐标变换 y x 下， D表示为 ： 因此

7. 与 练习. 计算球面 z 围成的区域的体积 V。 2 o y x

8. z 球坐标 z轴正 向与 OM的夹角， 从 x轴正向到 OM0的角， y 称 为点 M的球坐标。 O x 空间除 x轴上的点外，每点都有 唯一 的球坐标。 有时也可规定

9. 特殊曲面 z 球面。 锥面。 半平面。 O y x

10. 的球坐标表示。 其中 为 球坐标变换 考虑变换 对应的雅可比行列式 成立

11. 表示为 由 其中 例 3. 计算 z 球面 及锥面 围成。 作球坐标变换 解： o y x 则锥面为 球面为

12. 作球坐标变换 解： z 则锥面为 球面为 表示为 o y x

13. 是由 其中 例 4. 计算 z 球面 围成的区域。 作球坐标变换 解： 1 o 则球面方程为 表示为 x y

14. z 作球坐标变换 解： 则球面方程为 表示为 1 o x y

15. 与 练习. 计算球面 z 围成的区域 W的体积 V。（用球坐标） 2 o y x

16. 围成的区域 例 5. 计算曲面 w 的体积 V. 作变换 解： 则在 u v w坐标系内，所给曲面变为 v 变换对应的雅可比行列式为 u 因此

17. 作变换 解： 则在 u v w坐标系内，所给曲面变为 w 变换对应的雅可比行列式为 因此 v u

18. 作业：P103. 2. (2) (3) (4) (6) .8.