diskreetit todenn k isyysjakaumat n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Diskreetit todennäköisyysjakaumat PowerPoint Presentation
Download Presentation
Diskreetit todennäköisyysjakaumat

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 25

Diskreetit todennäköisyysjakaumat - PowerPoint PPT Presentation


  • 154 Views
  • Uploaded on

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma. Satunnaismuuttuja. Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka liittyy satunnaisilmiöön

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

Diskreetit todennäköisyysjakaumat


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
diskreetit todenn k isyysjakaumat

Diskreetit todennäköisyysjakaumat

Kertymäfunktio

Odotusarvo

Binomijakauma

Poisson-jakauma

satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja
  • Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa
  • Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka liittyy satunnaisilmiöön
  • Satunnaismuuttujan arvo selviää, kun satunnaisilmiö on tapahtunut

Aki Taanila 21.5.2007

diskreetti jatkuva
Diskreetti - Jatkuva
  • Satunnaismuuttuja on diskreetti eli epäjatkuva, jos se voi saada vain tiettyjä arvoja (valmistuserän viallisten tuotteiden lukumäärä, tuotteen päivämyynnin kappalemäärä jne.)
  • Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos se voi tietyllä välillä saada minkä tahansa arvon (pörssiosakkeen hinta, sähkölampun kestoikä jne.)

Aki Taanila 21.5.2007

diskreetti todenn k isyysjakauma
Diskreetti todennäköisyysjakauma

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet

Aki Taanila 21.5.2007

onnenpy r
Onnenpyörä

Jos onnenpyörän voiton todennäköisyys on 15%, niin viiden pyörityksen voittojen todennäköisyysjakauma on oheisen taulukon mukainen

Aki Taanila 21.5.2007

kahden nopan heitto
Kahden nopan heitto

Silmälukujen summan todennäköisyysjakauma

Aki Taanila 21.5.2007

kertym funktio

x

F(x)

2

1/36

3

3/36

4

6/36

5

10/36

6

15/36

7

21/36

8

26/36

9

30/36

10

33/36

11

35/36

12

36/36

Kertymäfunktio

Kertymäfunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttajan arvo on korkeintaan x

Kertymäfunktion avulla voidaan nopeasti laskea todennäköisyyksiä:

P(X<7) = 15/36  0,42

P(X>9) = 1 – 30/36 = 6/36  0,17

P(4<X<9) = 26/36 – 6/36 = 20/36  0,56

Aki Taanila 21.5.2007

odotusarvo
Odotusarvo
  • Empiirisen jakauman keskiarvoa vastaava käsite todennäköisyysjakaumilla on odotusarvo.

Esimerkkejä:

  • nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on 3,5
  • vakuutusyhtiö on kiinnostunut tulevan vuoden vakuutuskorvausten odotusarvosta
  • sijoittaja on kiinnostunut tietyn arvopaperisalkun tuoton odotusarvosta

Aki Taanila 21.5.2007

odotusarvon laskeminen
Odotusarvon laskeminen

Jos todennäköisyysjakauma tunnetaan, niin odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillä painotettu summa.

Aki Taanila 21.5.2007

binomijakauma
Binomijakauma
  • Punaisten lukumäärä 15 ruletin pyörityksessä
  • Viallisten lukumäärä viiden tuotteen erässä
  • Ydinvoiman kannattajien määrä 1000 henkilön otoksessa
  • Ostavien asiakkaiden määrä sisään saapuneista 100 asiakkaasta

Aki Taanila 21.5.2007

binomijakauma bin n p
Binomijakauma Bin(n,p)
  • Oletetaan, että satunnaisilmiöllä on täsmälleen kaksi tulosvaihtoehtoa A (todennäköisyys p) ja B (todennäköisyys 1-p), joiden todennäköisyydet säilyvät vakioina
  • Todennäköisyys, että satunnaisilmiötä n kertaa toistettaessa saadaan A sattumaan k kertaa voidaan laskea binomijakauman avulla

Aki Taanila 21.5.2007

binomijakauma ja excel
Binomijakauma ja Excel

Todennäköisyys =BINOMDIST(k;n;p;0)

Kertymäfunktio =BINOMDIST(k;n;p;1)

k = onnistumisten lukumäärä

n = toistojen lukumäärä

p = onnistumisen todennäköisyys

Aki Taanila 21.5.2007

poisson jakauma
Poisson-jakauma
  • 20 minuutissa liikkeeseen saapuvien asiakkaiden määrä
  • Tuote-erässä esiintyvien viallisten määrä
  • Autoliikkeen viikossa myymien autojen lukumäärä
  • Risteyksessä vuoden aikana sattuvien onnettomuuksien määrä

Aki Taanila 21.5.2007

poisson jakauma1
Poisson jakauma
  • Tietyssä aikavälissä (tai pinta-alassa, tilavuudessa jne.) sattuvien harvinaisten tapahtumien lukumäärä noudattaa useimmissa käytännön tilanteissa likimain Poisson jakaumaa.
  • Poisson jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman approksimaationa, kun n on suuri ja p on pieni (harvinainen tapahtuma)

Aki Taanila 21.5.2007

poisson jakauma2
Poisson jakauma
  • Poisson jakaumaa käyttäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että tietyssä aikavälissä (pinta-alassa, tilavuudessa jne.) tapahtuma tapahtuu k kertaa.
  • Laskenta onnistuu, kunhan keskimääräinen tapahtumisten lukumäärä  on tiedossa.

Aki Taanila 21.5.2007

poisson jakauma ja excel
Poisson-jakauma ja Excel

Todennäköisyys =POISSON(k;;0)

Kertymäfunktio =POISSON(k;;1)

k = onnistumisten lukumäärä

 = onnistumisten lukumäärän odotusarvo

Aki Taanila 21.5.2007

jatkuvat todenn k isyysjakaumat

Jatkuvat todennäköisyysjakaumat

Tiheysfunktio

Kertymäfunktio

Normaalijakauma

normaalijakauma
Normaalijakauma
  • Monet jatkuvat satunnaismuuttujat noudattavat normaalijakaumaa
  • Yleisesti voidaan sanoa, että muuttujat joiden arvo määräytyy monen eri tekijän vaikutuksesta noudattavat normaalijakaumaa
  • Esimerkkejä: mittausvirheet, teollisesti valmistettujen tuotteiden ominaisuudet, ihmisten fyysiset ominaisuudet, sijoitusten tuotot jne.

Aki Taanila 21.5.2007

tiheysfunktio
Tiheysfunktio

Normaalijakauma määritellään tiheysfunktion avulla:

tiheysfunktion alle jäävä pinta-ala = 1; pinta-ala edustaa todennäköisyyttä

odotusarvo

Aki Taanila 21.5.2007

kertym funktio1
Kertymäfunktio

Kertymäfunktio kohdassa x =

Kohdan x vasemmalle puolelle jäävä pinta-ala = Todennäköisyys korkeintaan x:n suuruiselle arvolle:

x

Aki Taanila 21.5.2007

normitettu jakauma n 0 1
Normitettu jakauma N(0,1)
  • Kertymäfunktion arvoja on taulukoitu normaalijakaumalle, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1
  • Jakaumaa kutsutaan normitetuksi normaalijakaumaksi ja merkitään N(0,1)

0

Aki Taanila 21.5.2007

normitettu jakauma ja excel
Normitettu jakauma ja Excel

Kertymäfunktio =NORMSDIST(z)

Satunnaismuuttuja =NORMSINV(kertymäfunktio)

z = normitetun jakauman satunnaismuuttujan arvo

Aki Taanila 21.5.2007

jakauman normittaminen
Jakauman normittaminen

Minkä tahansa normaalijakauman N(,) satunnaismuuttuja voidaan muuntaa normitetun jakauman N(0,1) satunnaismuuttujaksi:

SAMA PINTA-ALA!

x

z

0

Aki Taanila 21.5.2007

normaalijakauma n ja excel
Normaalijakauma N(,) ja Excel

Kertymäfunktio =NORMDIST(x;;;1)

Satunnaismuuttujan arvo =NORMINV(kertymäfunktio;;)

x = satunnaismuuttujan arvo

  • = normaalijakuaman odotusarvo

 = normaalijakauman keskihajonta

Aki Taanila 21.5.2007

binomi normaali
Binomi - Normaali

Jos binomijakaumassa on suuri toistojen määrä, niin jakaumaa voidaan approksimoida normaalijakauman avulla:

Approksimaation tarkkuus paranee toistojen määrän kasvaessa.

Approksimaatiota tarvitaan, koska binomijakauma on suurilla toistojen määrillä laskennallisesti vaikea (tosin nykyiset Excelin versiot osaavat binomijakauman melko isoillakin toistojen määrillä)

Aki Taanila 21.5.2007