IOI2010 国家集训队论文问题解析 ——

1. IOI2010国家集训队论文问题解析—— 大灾变 河南省实验中学 郭家宝

2. 问题回顾 • 有一座山脉，要求在山脉上建立一座瞭望塔，在山脉上空建立一个浮空岛，使得站在瞭望塔的顶端和浮空岛上，可以看到整个山脉。 • 瞭望塔塔身高度应尽量小，浮空岛的绝对海拔应尽量低，并且在满足上述条件的情况下横坐标尽量小。请你求出瞭望塔和浮空岛的坐标。

3. 问题回顾 • 样例如下图所示 瞭望塔 浮空岛 海平面

4. 初步分析 • 题目要求看到整个山脉，就是看到所有的山坡。 • 首先考虑绝对高度最低点。 • 从一个较低高度开始垂直上升，直到看见整个山脉。 欲窮千里目 更上一層樓

5. 初步分析 • 站得越高，看得越远。 • 从低处向高处走，可视范围增加。 • 单调性。 行遠必自邇 登高必自卑

6. 算法甲 ——登高必自卑 • 二分枚举高度，判断当前高度上是否可以一览全貌。 • 如果存在，降低高度，如果不存在，升高高度。 • 如何判断？

7. 算法甲 ——登高必自卑 可行区域 试探高度 海平面

8. 算法甲分析 ——登高必自卑 • 时间复杂度O(NlogE)。 • 这种方法求出的位置，是绝对高度最小的位置。可以求相对高度最小的位置吗？

9. 再次分析 • 猜想：瞭望塔一定建在山峰上。 • 反例：

10. 再次分析 • 猜想：瞭望塔一定在浮空岛周围的同一山峰的山坡上（距离不远）。 • 反例： 瞭望塔 浮空岛

11. 重新思考 • 一个山坡只能在山坡线的一侧被看到。 • 所有山坡可视区域的公共部分，就是整个山脉的可视区域。 • 接下来只需在可视区域内查找相对高度和绝对高度的最小的点了。 不識廬山眞面目 祇緣身在此山中

12. 算法乙 ——一覽眾山小 • 求所有半平面的交集。 • 可视区域就是“上方未封口的凸多边形”，抽象为分段函数。 • 扫描可视区域，求出相对高度和绝对高度最小的位置。 會當淩絕頂 一覽眾山小

13. 算法乙 ——一覽眾山小 可视区域 海平面

14. 算法乙分析 ——一覽眾山小 • 算法瓶颈：求半平面交。 • 时间复杂度：O(N^2)或O(NlogN)。 • 实现起来复杂。 • 还可以改进吗？

15. 算法丙 ——刪繁就簡三秋樹 • 将直线按斜率排序，依次插入。 • 每次求交点，判断新插入的直线是否更优。 刪繁就簡三秋樹 領異標新二月花

16. 算法丙 ——刪繁就簡三秋樹 p1 p2.x > p1.x p2

17. 算法丙 ——刪繁就簡三秋樹 p2.x <= p1.x p2 p1

18. 算法丙 ——刪繁就簡三秋樹

19. 算法丙 ——刪繁就簡三秋樹 可视区域 海平面

20. 算法丙分析 ——刪繁就簡三秋樹 • 时间复杂度：O(NlogN) • 特殊问题用特殊方法解决。 恢恢乎 其於遊刃必有餘地矣

21. 总结 ——爲有源頭活水來 • 优化无止境，有O(N)的算法嗎？ • 思考无止境，还有别的思路吗？ • 学习无止境，还能学到别的知识吗？ 問渠那得清如許 爲有源頭活水來

22. 试题考查点 • 计算几何基本知识 • 二分思想 • 半平面交 • 单调性的应用 • 分段一次函数求最值

23. 路曼曼其修遠兮 吾將上下而求索 感谢大家 郭家宝 byvoid1[at]gmail.com