2.3 확산 / 분산

1. 2.3 확산/분산 • 1855년에, Fick는 정지 유체에 대하여, 유체내 화학물질 운동에 근거한 제 1의 확산 법칙을 발표하였다. • 그는 Fourier의 열전도 법칙과 유사함을 인정하였다. • 분자 확산은 유체를 통과하는 분자의 병진운동, 진동운동, 회전운동의 결과이다. • 분자 확산은 자발적으로 빠르게 반응하며, 그 결과 엔트로피(무질서 상태로의 진행 경향을 나타내는)를 상승시킨다. • Jm은 분자 확산으로 인한 물질 유동율이며(MT-1), A는 횡단면적(L2 ), dC/dx는 농도 변화율(ML-3L-1), D는 분자 확산 계수이며(L2T-1), F는 단위면적당 유동율(ML-2 T-1)임.

2. 그림 2.5 점a에서 b로의 확산 이동. 실험 초기에(t=0일 때), 모든 화학물질은 왼쪽 용기에 용해되었다. 실험이 시작되면, Fick의 법칙에 따라, 물질은 평형에 도달할 때까지 높은 농도에서 낮은 농도로 이동한다.

3. 예제 2.2 물속 화학물질의 분자 확산 • 두 용기 사이로 확산되는 화학물질에 대해 mg/d의 단위로 물질 유동율을 계산하여라. 화학물질은 -1mg L-1 cm-1의 농도구배로 10cm의 거리를 통해 확산한다. • 농도구배가 시간에 따라 일정하게 유지되고, 화학물질 1mg이 이동하는데 1년 걸린다는 것을 고려한다면, 이것의 물질이동율은 대단히 느리다고 할 수 있음(그림 2.5은 사실상 비정상상태 조건에서 실험된 것임).

4. 예제 2.3 얇은 막을 통과하는 분자 확산 • 물속 카페인(C9H8O)의 분자 확산속도는 0.63×10-5cm2s-1이다. 1.0mg/L의 용액에 대해서, 약 60 μm두께의 유체막으로 이루어진 창자막(면적 : 0.1m2 )을 통과하는 물질 유동을 mg/s로 계산하여라. 위의 유동율을 가정한다면, 카페인 1 mg이 창자막 0.1 m2통과하는데 시간이 어느 정도 걸리겠는가? (주의 : 막을 통과하는 이동은 이동과 물질대사시에 단계적인 속도제한이 존재한다고 가정한다.) (창자막 내부의 카페인의 농도는 0로 가정 )

5. 2.3.1. 물질, 운동량, 그리고 열전달간의 유사성 • 1877년에, Boussinesq가 처음으로 난류 운동량 이동이 층류 점성 운동량 이동과 유사하다고 제안함. • Reynolds는 1883년 관내부 층류상태에서 난류상태로 변하는 한계 무차원 수(Re = 2300)가 존재함을 제시. Re는 Reynolds Number, u는 평균 유속(LT-1), d 는 파이프의 직경(L), ν는 동점성계수(L2T-1) • 그림 2.6은 물질, 열, 운동량 전달이 동시에 일어날 수 있고, 그들 모두가 매우 유사하다는 것을 설명하고 있다. 난류장(ε)에서, 단위 면적당 유동율은 추진력의 구배구동력(gradient driving force)와 비례상수의 곱임. • 질량, 열, 운동량 전달의 3개의 유사한 이동 과정들에 대한 비례상수를 표 2.1에 나타내었음. 비례상수는 난류의 경우가 층류보다 훨씬 큼. • 열확산과 물질확산계수 사이의 무차원비는 Lewis 번호로 제시됨. 이 값으로 열과 질량 이동의 상사성 정도를 결정하며, 난류의 경우 1.0부터 변화된다. • 물질확산계수의 동점도에 관계되는 Schmidt 번호와 열전달의 동점성도에 관계되는 Prandtl 번호도 열, 질량, 운동량이 동시에 발생하는 경우 1.0부터 변한다.

6. 그림 2.6 난류에서 운동량, 물질, 열전달의 상사성 (a) 침전물과 물의 경계면에서의 전단력은 운동량을 하부로 이동시키는 연직 속도장을 발생시킨다. (b) 오염된 퇴적물은 연직 난류 확산으로 인하여, 질량을 수주로 이동시킨다. (c) 여름철 강의 성층현상은 열을 아랫방향으로 연직이동시킨다.

7. 표 2.1 질량, 운동량, 열전도 계수

8. 분산, 난류 확산, 분자확산의 비례 상수는 모두 같은 단위를 사용하며, Fick의 법칙과 같은 형태의 식으로 사용된다. 각각의 추진력은 농도 변화도 dC/dx 이다. 분산계수는 와류확산계수보다 크고, 분자확산계수보다 훨씬 더 크다. • Jt는 난류 확산으로 발생하는 물질유동율, em은 난류확산계수, Jd는 분산으로 발생하는 물질유동율, E 는 분산계수임. • 초기 혼합의 경우 (특히 큰 강의 경우) Fick의 규칙이 유효하지 않다. 이것은 완전히 발달된 흐름 영역이 난류확산에 필요하기 때문이다. 추적제의 초기 방출후, Fick의 유형으로 서술되기 위해서는 얼마간의 시간이 걸린다.

9. 2.3.2 Fick의 제 2 법칙 • 확산에 대한 Fick의 제 2 법칙은 비정상 상태에서 확산 제1법칙으로부터 유도된다. 즉, 다음과 같이 확산 제 1 법칙으로부터 유도된다. • 위의 방정식은 2계 편미분 방정식이기 때문에 두개의 경계조건과 하나의 초기조건을 필요로 한다. 위의 방정식에 대한 해는 무수히 많아 다양하여, 제시되는 각각의 초기조건과 경계조건의 형태에 따라 다른 해가 존재한다. • 위 방정식의 적분은 주어진 경계조건에 따라, 변수분리법, Laplace 변환, Boltzman 변환, 시행착오법으로 성취될 수 있다.

10. 예제 2.4 오염된 퇴적물의 확산 (확산방정식에 대한 Gauss의 해) • 평면 오염원(오염된 호수 퇴적물)으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산. 초기 조건과 경계조건(반무한 수주: 확산의 초기단계)은 다음과 같음. • 다음과 같이 순간적인 평면 오염원에 대해 시행착오법으로 해를 구한다. A는 임의의 상수임. • 위의 분산식에 대하여 시간에 대해 1계 편미분을 취하고 x공간에 대한 2계 편미분을 취한다. “적에 대한 미분”과 에 대한 적분표를 이용한다. • 시간에 대한 1계 편도 함수는 다음과 같다.