线性多变量系统

1. 线性多变量系统 选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社 教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社 何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社

2. 线性系统的时间域理论 线性系统的复频率域域理论 第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 线性系统的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合

3. 第一章 绪论 系统是系统控制理论的研究对象 系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体” 系统具有如下3个基本特征: (2)抽象性 (3)相对性 (1)整体性 1.1系统控制理论的研究对象 在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性 作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究. 1/3,1/5

4. 动态系统: 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统 u y 系统变量可区分为三类形式 x 系统动态过程的数学描述 动态系统的分类 从机制的角度 从特性的角度 从作用时间 类型的角度 2/3,2/5

5. 线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理. 若表征系统的数学描述为L 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用 ②模型类型的多样性 ③数学模型的基本性 ④建立数学模型的途径 ⑤系统建模的准则 3/3,3/5

6. 线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科 主要内容:数学模型→ 分析理论→ 综合理论 发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论 主要学派: 状态空间法 1.2 线性系统理论的基本概貌 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 1/2,4/5

7. 1：状态空间法 2：多项式矩阵法 1.3 本书的论述范围 2/2,5/5

8. 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 第一部分: 线性系统时间域理论 系统动态过程的数学描述 第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 1/4,1/50

9. (1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: 复频率域描述即传递函数描述 (2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性. 2/4,2/50

10. 状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 状态空间 状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 3/4,3/50

11. (2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n 4/4,4/50

12. 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 电路系统状态空间描述的列写示例 2.2 线性系统的状态空间描述 以上方程可表为形如 1/7,5/50

13. 机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 2/7,6/50

14. 连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构 连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 3/7,7/50

15. 连续时间线性系统的方块图 4/7,8/50

16. 人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数 写成矩阵形式 5/7,9/50

17. 离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统 6/7,10/50

18. 状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图 7/7,11/50

19. 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 对于线性系统 1/2,12/50

20. 时变系统和时不变系统 该系统称为时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统. 确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/50

21. 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 可以导出其状态空间描述为 1/18,14/50

22. 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述, 其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形 结论1 设 2/18,15/50

23. 可见 3/18,16/50

24. 令 有 4/18,17/50

25. 写成矩阵形式： (2)m<n,即系统为严真情形 5/18,18/50

26. 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0情形 此时输入输出描述为: 选取n个状态变量 结论2 6/18,19/50

27. 其对应的状态空间描述为: 7/18,20/50

28. (2)m≠0情形 此时输入输出描述为: a: 8/18,21/50

29. 其对应的状态空间描述为: 其中 9/18,22/50

30. b: 改写为 令 10/18,23/50

31. 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 其极点即分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出： (1) m<n，即系统为严真情形 结论3 对应的状态空间描述为 11/18,24/50

32. (2) m=n，即系统为真情形 令 对应的状态空间描述为： 12/18,25/50

33. 由方块图描述导出状态空间描述 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 指定状态变量组后，列写变量间的关系方程： 解 上图等效为 例1 13/18,26/50

34. 写成矩阵形式 设单输入单输出系统的传递函数为 例2 试列写其状态空间表达式。 14/18,27/50

35. 解 可画出系统结构图如下 写出变量之间的关系 15/18,28/50

36. 写成矩阵形式 16/18,29/50

37. e11 e12 e13 e2 e3 也可以画出结构图为 可写出系统的动态方程为 17/18,30/50

38. 设 画出结构图 动态方程为 例3 18/18,31/50

39. 特征多项式 连续时间线性时不变系统 (1) 特征多项式 2.5 线性时不变系统的特征结构 均为实常数 (2) 特征方程式 (3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理 1/6,32/50

40. (4) 最小多项式 的各个元多项式之间互质 定义Φ（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ（A）=0 (5) 系统矩阵的循环性 如果系统矩阵A的特征多项式α(s)和最小多项式Φ（s）之间只存在常数类型的公因子k，即 则称系统矩阵A是循环的。 (6) 特征多项式的计算 2/6,33/50

41. ① 基于迹计算的特征多项式迭代算法 ② 基于分解计算的特征多项式迭代算法 3/6,34/50

42. 特征值 (1) 特征值的代数属性 系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值 (2) 特征值集 对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。 (3) 特征值的形态 特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数 (4) 特征值类型 系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型 4/6,35/50

43. (5) 特征值的代数重数 代数重数σi 代表特征值集Λ中值为λi 的特征值个数 (6) 特征值的几何重数 (7) 特征值重数和类型的关系 对n 维线性时不变系统，若λi ∈A为单特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必 有 特征向量和广义特征向量 5/6,36/50

44. (1) 特征向量的几何特性 (2) 特征向量的不唯一性 (3) 单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{λ1、λ2、…λn}的相应一组特征向量{v1、v2、…vn}为线性无关，当且仅当特征值{λ1、λ2、…λn}为两两互异。 广义特征向量 对n维线性时不变系统，设λi为n×n维系统矩阵A的一个σi重特征值，则 6/6,37/50

45. 特征值为两两互异的情形 2.6 状态方程的约当规范形 对n个特征值{λ1、λ2、…λn}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[v1、v2、…vn]，则状态方程 可通过线性非奇异变换 而化为约当规范形 结论4 包含复数特征值情形的对角线规范形（略） 1/3,38/50

46. 特征值包含重值的情形 对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令 可将系统状态方程化为约当规范形： 结论5 2/3,39/50

47. 其中，Ji为相应于特征值λi 的约当块： 3/3,40/50

48. 传递函数矩阵 定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系： 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵 称G(s)为系统的传递函数矩阵。 其中 1/4,41/50

49. (1) G(s)的函数属性 传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。 (2) G(s)的真性和严真性 当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的 (3) G(s)的特征多项式和最小多项式 (4) G(s)的极点 G(s)的极点定义为方程式 的根 2/4,42/50

50. (5) G(s)的循环性 若 称G(s)是循环的 (6) G(s)正则性和奇异性 G(s)基于(A,B,C,D)的表达式 考虑连续时间线性时不变系统 则 设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若 必有 若系统能控能观测，则 表G(s)的极点集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ。 3/4,43/50