kalkulus i n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
KALKULUS I PowerPoint Presentation
Download Presentation
KALKULUS I

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 29

KALKULUS I - PowerPoint PPT Presentation


  • 359 Views
  • Uploaded on

KALKULUS I. FUNGSI TRIGONOMETRI. Cont….

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'KALKULUS I' - dieter


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
kalkulus i

KALKULUS I

FUNGSI TRIGONOMETRI

slide2
Cont…
  • Keterangan gambar segitiga siku siku diatas ialah menjelaskan tentang hubungan Sin, Cos, dan Tan dengan sudut yang dibentuk oleh segitiga siku-siku. Adapun letak masing masing sisi hadap, miring dan dekatan tidaklah tetap seperti pada contoh gambar diatas, melainkan menyesuaikan dimana letak sudut ditentukan.

Sisi miring

Sisidepan

Sisisamping

slide3
Cont…
  • Dari contoh gambar diatas, bisa kita simpulkan bahwa sinus bisa kita peroleh dengan persamaan :
slide4
Cont…
  • Dari contoh diatas, kita beralih ke fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan, jika dipahami dengan cara ini maka daerah asalnya akan berupa himpunan bilangan riil bukan berupa himpunan beberapa sudut.
slide5
Cont…

y

P(x,y)

t

y

x

x

A(1,0)

Lingkaransatuan

slide6

Andaikan C adalah lingkaran satuan yaitu, lingkaran x² + y² = 1 berpusat dititik asal dengan radius 1, Nyatakan titik ( 1,0 ) oleh A dan andaikan t sembarang bilangan positif. Maka terdapat tepat satu titik P(x, y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan adalah t. Keliling C adalah 2π; sehingga jika t > 2π, diperlukan lebih dari satu putaran lengkap dari lingkaran satuan untuk menelusuri busur AP . Jika t = 0, P = A.

  • Demikian juga jika t < 0, maka akan diperoleh persis satu titik P(x, y) pada lingkaran satuan itu, sehingga dengan demikian bila anda mengukurnya searah putaran jarum jam pada C, maka panjang busur AP adalah t. Jadi dengan sembarang bilangan ri’il t , kita dapat menyesuaikannya dengan sebuah titik unik P(x, y). Ini memungkinkan kita membuat definisi kunci dari sinus (sin) dan cosinus (cos).

Andaikan t menentukantitik P(x,y) sepertiditunjukkandiatas. Maka

sin t = y cos t = x

sifat dasar sinus dan cosinus
SIFAT DASAR SINUS DAN COSINUS
  • Beberapa kenyataan segera jelas terlihat dari definisi yang baru saja diberikan . Pertama, x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga
  • Karena t dan t + 2π menentukantitik P(x, y) yang sama,
slide8

Dikatakanbahwa sinus dancosinusbersifatperiodikdenganperioda 2π. Secaralebihumum, suatufungsifdikatakanperiodikjikaterdapatsuatubilanganpositifpsedemikiansehinggaf (t + p) = f ( t ) untuksemuatdalamdaerahasalf . Dan bilanganp

terkecil yang memenuhidisebutperiodef.

y

(x,y)

t

x

(1,0)

-t

(x,-y)

slide9

Titik - titikP yang berpadanandengan t dan –t simetriterhadap

(x, y) sumbu x. Sehinggadengan

demikiankoordinatx-nyaakansama, sedangkankoordinaty-nyahanyaberbedatanda, sehingga :

y

(0,1)

t

(y,x)

(x,y)

t

x

(1,0)

y=x

slide10

Dengankata lain, sinus ialahfungsiganjilsedangkancosinusialahfungsigenap. Titik-titikP yang berpadanandengan t dan π/2 – t simetriterhadapgaris y = x

Sehinggakoordinat-koordinatnyasalingbertukar. Iniberartibahwa :

Akhirnyakitasebutkansebuahkesamaanpenting yang menghubungkanfungsi-fungsi sinus dancosinus

grafik sinus dan kosinus
GRAFIK SINUS DAN KOSINUS

Untukmenggambarkangrafik y = sin tdan y = cost, denganprosedur yang telahbaku (buat table nilai), table nilaisudahtersedia. SalahsatutabelnyaialahTabel II dariApendiks; table ringkasuntukbilangankhusus, dari table diataskitadapatmenggambarkangrafik.

1

y = cos t

y = sin t

t

π

-2π

-1

keterangan
keterangan

Bahkandenganpengamatansekilassaja, dapatdilihat 4 haltentanggrafikini :

  • Sin tdancostkeduanyaberkisardari -1 sampai 1.
  • Keduagrafikberulangdengansendirinyapadaselang yang berdampingansepanjang 2π.
  • Grafiky = sin tsimetriterhadaptitikasal, dany = costterhadapsumbuy.
  • Grafiky = sin tsamasepertiy = cost, tetapidigeser π/2 satuankekanan.
slide15

Contoh 1. Buktikanbahwatangenadalahfungsiganjil.

Penyelesaian

Contoh 2. Periksakebenaranidentitas - identitasberikut

slide17

y

Perhatikanbahwaterdapatasimtot-asimtottegakpada -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2, danseterusnya. Karenapadanilai-nilaitinicost = 0, yang berartibahwa ( sin t )/(cost) menyangkutsuatupembagianoleh nol.

1

π

-2π

-

0

-1

y = tan x

hubungan dengan trigonometri sudut
HubunganDenganTrigonometriSudut
  • Sudutbiasanyadiukurdalamderajatataudalam radian. Sudut yang berpadananterhadapsatuputaranpenuhberukuran 360˚, tetapihanya 2π radian. Demikian pula, sudutlurusberukuran 180˚ atau π radian, kenyataan yang bermanfaatuntukdiingat
  • 180˚ = π radian ≈ 3,1415927 radian
  • Inimenujupadakonversibiasa yang diperlihatkanpada Gambar.8 danpadafakta-faktaberikut,
  • 1 radian ≈ 57,29578˚ 1˚ ≈ 0,0174533 radian
slide19

Pembagiansuatuputaranmenjadi 360 bagiandilakukandemikiansaja (menurutbangsa Babylon kuno, yang menyenangikelipatan 60). Pembagiankedalam 2π bagianadalahlebihmendasardanberlatarbelakangpadapemakaianukuran radian yang umumdalamkalkulus. Khususnya, perhatikanbahwapanjangbusur “s” daripotonganbusursebuahlingkaran radius “r” dengansudutpusat “t” radian memenuhi

Yaitu, s = r t

  • Bilamana r = 1, inimemberikan s = t. Dengankalimat, panjangbusurpadapotonganlingkaransatuandengansudutpusat” t” radian adalah “ t”.Inibenarwalaupunjikatnegatif, asalkankitamenafsirkanpanjangadalahnegatifbilamanadiukurdalamarahputaranjarum jam.
slide20

s

t rad

r

s = rt

slide21

Contoh: Carijarak yang ditempuholehsebuahsepedadenganroda yang mempunyai radius 30 cm, bilarodaituberputarsampai 100 putaran.

Penyelesaian.

Denganmengenalibahwa 100 putaranberpadanandengan 100.(2π) radian.

s = ( 30 ) ( 100 ) ( 2π ) = 6000π ≈ 18849,6 cm

Jika θ adalahsudut yang berukurant radian, maka:

slide22

Dalamkalkulus, jikakitatemuisebuahsudut yang diukurdalamderajat, kitabiasanyamengubahnyakedalam radian sebelummelakukanperhitungan. Misalkan,

sin 31,6˚ = sin ﴾ 31,6. radian ﴿ ≈ sin ( 0,552 )

daftar identitas
Daftaridentitas
  • Kesamaanganjil-genap

sin (-x) = -sin x

cos﴾-x﴿ = cos x

tan ﴾-x) = - tan x

  • Kesamaanfungsiko

sin ﴾π/2 - x﴿ = cos x

cos﴾ π/2 – x﴿ = sin x

tan ﴾ π/2 – x ﴿= cot x

slide24
Cont…
  • Kesamaan Pythagoras

sin² x + cos² x = 1

1 + tan² x = sec² x

1 + cot² x = csc² x

  • Kesamaanpenambahan

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

tan (x + y) =

slide25
Cont…
  • Kesamaansudut – ganda

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos² x - sin² x = 2 cos² x – 1

= 1 – 2 sin²x

  • Kesamaansetengahsudut
slide26

Kesamaanjumlah

  • Kesamaanhasil kali

sin x sin y = - ½ [cos (x + y) – cos(x – y)]

cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos(x – y)]

sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin(x – y)]

slide27

Contoh: Cari cos 51,8˚

Penyelesaian.

Prosedur yang paling sederhana ialah menekan tombol yang tepat pada kalkulator. Tetapi jika ingin memakai tabel.II dari Apendiks, pertama kita ubah 51,8˚ ke radian.

Jadi, 51,8˚ = 51,8˚﴾π/180 ﴿ ≈ 0.904 radian

Cos (51,8˚) ≈ cos (0,904) ≈ 0.6184

tugas
TUGAS

1. Konversikanukuranderajatberikutmenjadi radian (gunakanπdalamjawaban):

a. 300

b. -600

c. 450

d. 2400

2. Konversikanukuran radian berikutmenjadiderajat

a. 7π/6 c. 9π/8

b. 4π/3 d. -35π/18

slide29

3. Buktikanbahwakesamaanberikutiniadalahbenar:

a. (1+ sin z)(1- sin z) =

b. (sec t – 1)(sec t + 1) = tan2 t

c. sin t (csc t – sin t) = cos2 t

d.