概率论与数理统计（ 56 学时）

概率论与数理统计（56学时） 开课系：数理系教师：lxt Email:lane-lxtong@163.com

课程简介 在生活当中，经常会接触到一些现象：确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出不确定性；随机现象：在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。概率论与数理统计在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。

课程简介 概率论与数理统计已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。目录前一页后一页退出

课程主要内容： • 概率论的基本概念 • 随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律及中心极限定理 • 样本及抽样分布 • 参数估计 • 假设检验（选学）

第一章概率论的基本概念 §1 随机试验 §2 样本空间，随机事件 §3 频率与概率 §4 等可能概型（古典概率） §5 条件概率 §6 独立性目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §1 随机试验 §1 、随机试验（Experiment ）这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。目录前一页后一页退出

其典型的例子有 E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件（如灯泡〕的寿命。 E5：观察某城市居民（以户为单位〕烟酒年支出。目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 这些试验具有以下特点： 1. 可以在相同的条件下重复进行； 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为E 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 §2 样本空间，随机事件一样本空间二随机事件三事件间的关系与运算目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件一样本空间(Space) 定义将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。（也叫基本事件〕 E1： S1 ＝{ H H, HT，TH，TT } E2：S2 ＝{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E3： S3 ＝{0,1,2,3……} E4： S4 ＝{ t | t  0 } E5： S5 ＝{ ( x , y ) | M0 x , y  M1 } 要求：会写出随机试验的样本空间。目录前一页后一页退出

§2 样本空间随机事件 E4：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，　　　 S4：= {t：t ≥0｝故样本空间目录前一页后一页退出

E5： 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数. 这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 . 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件二随机事件随机事件 : 称试验 E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，记作 A, B, C 等等；基本事件:有一个样本点组成的单点集；必然事件 : 样本空间 S 本身；不可能事件: 空集。我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。目录前一页后一页退出

必两个特殊的事件：然事件即在试验中必定发生的事件，即样本空间常用S或Ω表示; 能不可事件即在一次试验中不可能发生的事件，常用φ表示 . 例如，在掷骰子试验中， “ 掷出点数小于7”是必然事件; 而“ 掷出点数8”则是不可能事件. 目录前一页后一页退出

如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 基本事件（相对于观察目的不可再分解的事件）事件 Ai={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6 事件复合事件（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）事件B={掷出奇数点} 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件例如：S2 中事件 A={2,4,6} 表示 “ 出现偶数点”; 事件 B={1,2,3,4} 表示 “ 出现的点数不超过4”. 显然它们都是样本空间的子集目录前一页后一页退出

A B S 第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件三、事件间的关系与运算 1)包含关系如果A发生必导致B发生，则 2）相等关系目录前一页后一页退出

B A S 事件发生当且仅当 A, B 至少发生一个 . 第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 3) 和（并）事件目录前一页后一页退出

事件发生当且仅当 A , B同时发生. B A S 第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 4)积（交）事件目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件考察下列事件间的包含关系：目录前一页后一页退出

A A A B B S S 第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 5)差事件发生当且仅当 A发生 B不发生. 目录前一页后一页退出

A A B S S 第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 6) 互不相容（互斥） 7) 对立事件（逆事件）请注意互不相容与对立事件的区别！目录前一页后一页退出

除要求A、B互斥( )外，还要求 互斥与互逆的区别：两事件A、B互斥：即A与B不可能同时发生. 两事件A、B互逆或互为对立事件 A+B=S 目录前一页后一页退出

n个事件互斥与两两互斥： 若n个事件A1，A2，… ，An中任意两个事件都互斥,则称这n个事件互斥. 所以，若n个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥. 目录前一页后一页退出

对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么. 也就是说，要正确无误地“互译”出来. 目录前一页后一页退出

={两件产品中至少有一个是不合格品} 问如何用 Bi 表示A和？例1：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，若记Bi ={取出的第i件是合格品}，i=1,2 A=B1B2 目录前一页后一页退出

EX2(1)A1A2 (2)A1A2 A3A4 A3 A4 如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件工作正常”,Bi表示“第i个系统工作正常”. 试用A1,A2, A3 , A4表示B1,B2. 解:(1) B1 = A1A2∪A3A4 (2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件例2，在S4 中事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 表示 “产品是合格品” 事件 B={t|t  1000} 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则表示 “产品是合格品但不是一级品”; 表示 “产品是是一级品”; 表示 “产品是合格品”. 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 8) 随机事件的运算规律幂等律: 交换律: 结合律: 分配律: De Morgan（德摩根）定律: 目录前一页后一页退出

补充常用的关系及习题 1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设A＝{甲中}，B＝{乙中}，问各表示什么事件? 是否是相等事件？ 2.一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第次射击打中目标（i＝1，2，3〕。试用A1，A2，A3及其运算表示下列事件（1〕 {三发子弹都打中目标}＝B （2〕{第一发子弹打中目标而第二，第三发子弹都未打中}＝C （3〕{三发子弹恰有一发打中目标}＝D （4〕{三发子弹至少一发打中目标}＝E （5〕{三发子弹至多一发打中目标}＝F 目录前一页后一页退出

解: • B＝A1A2A3 • C=A1－A2－A3＝A1－(A2＋A3)＝ A1Ā2Ā3 • D＝A1∪A2∪A3 = S-Ā1Ā2Ā3 = • =A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3 • E = A1Ā2Ā3∪Ā1A2Ā3∪Ā1Ā2A3＝ • G= A1A2A3∪Ā1A2A3∪A1Ā2A3∪A1A2Ā3 • = A1A2∪A2A3∪A1A3 F=Ā1 Ā2∪Ā1 Ā3∪Ā2 Ā3 =A1 Ā2 Ā3∪Ā1A2 Ā3∪Ā1 Ā2 A3∪Ā1 Ā2 Ā3

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件练习P29：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运算关系表示下列各事件. （1）A 发生. (2) A 发生，B 与 C 都不发生. (3) A ,B , C 都发生. (4) A ，B , C 至少有一个发生. 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §2 样本空间随机事件 (5) A ，B , C 都不发生. (6) A ，B , C 不多于一个发生. (7) A ，B , C 不多于两个发生. (8) A ，B , C 至少有两个发生. 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率一频率的定义和性质定义:在相同的条件下，进行了n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 nA / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率它具有下述性质: 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率（二）频率的稳定性在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性. 请看下面的试验目录前一页后一页退出

§3 频率与概率 第一章概率论的基本概念 n nH fn(H) 实验者德•摩根蒲丰 K •皮尔逊 K •皮尔逊 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率频率概率频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似. 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率事件发生的可能性的大小事件发生的频繁程度频率稳定值概率频率的性质概率的公理化定义目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 下面介绍用公理给出的概率定义. 目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 （三）概率的定义定义设E 是随机试验，S是它的样本空间，对于 E的每一个事件 A赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件：目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出概率的一些简单性质. 在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图. 目录前一页后一页退出

A B S 第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率 4 ）概率的性质与推广目录前一页后一页退出

性质3 设Ａ、B是两个事件，若 , 则 有 (6) (7) §2等可能概型第一章概率论的基本概念由可加性移项得(6), 再由便得(7) . 目录前一页后一页退出

因为 1=P(S)=P(A)+P( ) A S 第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率目录前一页后一页退出

第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A). 目录前一页后一页退出

由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果, 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种因此 = =0.482 于是 =0.518 目录前一页后一页退出

性质6　对任意两个事件A、B，有 　　　　　　　　　　　　 (8) 又因再由性质 3便得 (8) . 第一章概率论的基本概念 §3 频率与概率目录前一页后一页退出

B A S 第一章概率论的基本概念· §3 频率与概率目录前一页后一页退出

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