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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA COLOQUIOS MATEMÁTICOS OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. REPRESENTACION MATRICIAL EXPOSITORES PROFESOR JORGE E. HERNÁNDEZ, Ph.D . ABRIL, 2013. RESUMEN.

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  1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMATICACOLOQUIOS MATEMÁTICOSOPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT.REPRESENTACION MATRICIALEXPOSITORESPROFESOR JORGE E. HERNÁNDEZ, Ph.D.ABRIL, 2013

  2. RESUMEN En el presente trabajo presentamos los proyectores (ortogonales) como una aplicación del problema de la mejor aproximación y estudiamos sus propiedades fundamentales. También presentamos un teorema que caracteriza los proyectores. Posteriormente utilizamos las propiedades de los proyectores para descomponer un espacio de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Basados en la descomposición representamos a los operadores lineales acotados sobre H mediante una matriz y utilizamos esta representación para estudiar, desde un ángulo diferente, los operadores lineales positivos.

  3. Dado un espacio con producto interno X, un subconjunto no vacio K de X y . ¿Existirá un tal que ?

  4. A los elementos de este conjunto los llamaremos una mejor aproximación a x por elementos de K y a la funciónla llamaremos la proyección (métrica) sobre K.

  5.  Si para todo , entonces diremos que K es un conjunto proximal.Si es un conjunto unitario para todo , entonces diremos que K es un conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a como una función univaluadadonde es el único elemento del conjunto

  6. Preguntas:Existencia: ¿Cuáles conjuntos son proximales?Unicidad: ¿Cuáles conjuntos son Chebyshev?Caracterización de la mejor aproximación: ¿Cómo se reconocen?Error de la mejor aproximación: ¿Cómo se calcula el error de la aproximación d(x, K).Calcular la mejor aproximación.Continuidad de la mejor aproximación.

  7. Teorema (Existencia y Unicidad): Sean X un espacio con producto interno y K un subconjunto no vacío convexo y completo X. Entonces, para cada existe un único tal que es decir K es un conjunto de Chebyshev. Teorema (Caracterización): Sean X un espacio con producto interno, K un subespacio completo de X y Entonces es decir, , para todo

  8. Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y

  9. Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio cerrado de H, entonces para todo se tiene que x = y + zdonde . Luego como , se tiene quey si tal queentonces . Además

  10. Ejemplo: Sea Y un subespacio de dimensión finita n del espacio de Hilbert H. Por el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt podemos encontrar una base ortonormal de Y. Luego para cada se tiene que Como para todo i = 1, . . . , n.

  11. de donde Por consiguiente,

  12.  es lineal. Es un operador lineal acotado y 

  13.  para todo ; o sea que  o sea que es idempotente. o sea que  es un operador auto-adjunto .

  14. Definición: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado. P es una proyección (o una proyección ortogonal) si P es autoadjunto e idempotente; o sea queObservaciones: 1. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces son operadores proyecciones.2. Si P es una proyección sobre H, entonces Ran(P) es un subespacio cerrado de H.

  15. Teorema: Sean H un espacio de Hilbert y una proyección, entoncesDemostración:Ker(P) es un subespacio cerrado de H. Como Ran(P) es cerrado,  Así pues

  16. Teorema: Sea una proyección. Entonces donde Y = Ran(P).Demostración: Sea entonces x = y + z conDe donde P(x) = P(y) + P(z) = P(y) = y.Así pues

  17. Definición: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado auto-adjunto T es un operador positivo si para todo En este caso escribimos  En base a la definición anterior podemos definir una relación de orden parcial en el conjunto de los operadores lineales acotados y auto-adjuntos definidos en un espacio de Hilbert H como sigue

  18. Se prueba sin mayor dificultad que si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimétrica y transitiva.Teorema: Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces es un operador positivo.para todo

  19. Representación Matricial de Operadores Lineales Acotados en Espacios de Hilbert.Denotemos por el conjunto de los operadores lineales acotados positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sea Y un subespacio cerrado de H. EntoncesDenotemos por la proyección sobre Y y sea T un operador lineal acotado sobre H. Entonces

  20. PTP + PT(I – P) + (I – P) TP + (I – P) T (I – P)= PT + PT – PTP+TP – PTP + T – TP – PT + PTP= To sea queT= PTP + PT(I – P) + (I – P) TP + (I – P) T (I – P)

  21. Denotemos

  22. SeaentoncesPor lo tanto,

  23. Así podemos hacer la identificaciónSi entoncesPor lo tanto podemos escribirdonde

  24. Note además quepara todo . para todo . Por consiguiente

  25.  Si entonces y por lo tantodonde

  26.  Si entoncesdonde

  27.  Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y. Entonces T(y) = y para todo Por lo tanto, Así puesdonde

  28. entonces

  29.  Si y a, d son operadores invertibles, entoncesPor lo tanto, A es un operador invertible y

  30.  Siy a, d son operadores invertibles, entoncesPor lo tanto A es un operador invertible y

  31. En general, si se prueba que si, los correspondientes operadores son invertibles, entoncesEn efecto,

  32. Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces un operador auto-adjunto es llamado raíz cuadrada de T siSi además entonces A es llamado la raíz cuadrada positiva de T y lo denotamos por

  33. Ejemplo: T es lineal T es un OLA, 

  34. Sea Luego Y es un subespacio cerrado de yNote que

  35. Como , se tienequeSi entoncesAsípues

  36. Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador lineal acotado positivo. Entonces T posee una única raíz cuadrada positiva A. Además si es tal que LT = TL , entonces LA = AL.Propiedades: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador positivo. Entonces1.2.3.

  37. Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entoncesi.ii.iii. R(T) es cerrado sí y sólo sí

  38. Teorema (Teorema de Douglas): Sea H un espacio de Hilbert complejo y sean Los siguientes enunciados son equivalentesa. Existe un tal que AD = Bb. c. Existe un número real positivo tal queSi una de estas condiciones es satisfecha, entonces existe un único operador tal que AX = B; N(X) = N(B) yMás aún X es llamado la solución reducida de la ecuación AX = B.

  39. Teorema: Sean H un espacio de Hilbert complejo y con representación matricialentoncesi.Ii.

  40. Sean H un espacio de Hilbert complejo y . Definamosla funciónPropiedades:

  41.  esuna forma sesquilinealacotada y no negativa.

  42.  no es un productointernosobre H. Como A esinyectivoesinyectivo.Si A esinyectivo, entonceses un productointernosobre H.

  43. Teorema: Sea invertible. Entonceses un productointernoequivalente a de donde Como A es invertible,

  44. Definición: Sean y , . El A-ortogonal de S se denotapor y se define porPropiedades: 1. 2. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces

  45. Definición: Sean y . Un operadores un A-adjunto de T siparatodoPropiedades: Sean y 1. W es un A-adjunto de T2. Si A es invertible, entoncestodooperadorposee un A-adjunto

  46. Definición: Sean y . T es A-autoadjuntosiDefinición: Sean y Z un subespacio cerrado de H. El par (A, Z) es compatible si , donde

  47. Problema: Sean M, N subespacioscerrados de H.1. 2. 3. Sea

  48. BIBLIOGRAFÍA[1]. Antezona , J. y Stojanoff, D.: Analisis Matricial II Operadores en Espacios de Hilbert. España, 2008.[2]. Bhatia, R.: MatrixAnalysis, Berlin-New York, Springer 1997.[3]. Corach, G; Maestripieri, A. and Stojanoff, D.: GeneralizedOrthogonalProjections and ShortedOperators. Servicio de Publicaciones, Universidad de Rioja, España, 2001.[4]. Corach, G; Maestripieri, A. and Stojanoff, D.: Oblique Projections and AbstractSpliner. Journal of AproximationTheory, 117, 2 (2002), 189 – 206.[5]. González, M.C.: Soluciones Reducidas de Ecuaciones Tipo Douglas y Proyecciones Oblicuas. Tesis Doctoral. Universidad Nacional de la Plata, 2009.

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