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9.1 特殊四邊形的基本知識

A. B. 特殊四邊形. 各特殊四邊形的定義. 9.1 特殊四邊形的基本知識. 目錄. A. B. 平行四邊形的性質. 平行四邊形的判定條件. 9.2 平行四邊形. 目錄. A. B. C. 菱形的性質. 長方形的性質. 正方形的性質. 9.3 菱形 、長方形及正方形. 目錄. A. B. 中點定理. 截線定理. 9.5 中點定理及截線定理. 目錄. 9.1 特殊四邊形的基本知識. 例題演示. A). 特殊四邊形.

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9.1 特殊四邊形的基本知識

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Presentation Transcript

  1. A B 特殊四邊形 各特殊四邊形的定義 9.1 特殊四邊形的基本知識 目錄

  2. A B 平行四邊形的性質 平行四邊形的判定條件 9.2 平行四邊形 目錄

  3. A B C 菱形的性質 長方形的性質 正方形的性質 9.3 菱形、長方形及正方形 目錄

  4. A B 中點定理 截線定理 9.5 中點定理及截線定理 目錄

  5. 9.1特殊四邊形的基本知識 • 例題演示 A) 特殊四邊形 ‧ 在小學階段， 我們已學過一些特殊的四邊形， 例如梯形(trapezium)、平行四邊形(parallelogram)、菱形(rhombus)、長方形(rectangle)及正方形(square)。 目錄 • 目錄 9.1

  6. 9.1特殊四邊形的基本知識 試把以下的特殊四邊形分類。 A B C D A. 正方形 B. 菱形 C. 長方形 D. 梯形 • 重點理解 9.1.1 目錄

  7. 1. 梯形 有一組對邊平行的四邊形 2.平行四邊形 有兩組對邊平行的四邊形 9.1特殊四邊形的基本知識 B) 各特殊四邊形的定義 目錄

  8. 3.菱形 四條邊的長度都相等的四邊形 4.長方形 四個角都相等的四邊形 5.正方形 各邊的長度相等及各角都相等的四邊形 9.1特殊四邊形的基本知識 • 例題演示 B) 各特殊四邊形的定義 目錄 • 目錄 9.1

  9. 9.1特殊四邊形的基本知識 求長方形 ABCD中的 x。 x = 90° 目錄

  10. 9.1特殊四邊形的基本知識 求菱形 PQRS中的 y和 z。 y = z = 1 目錄

  11. 9.1特殊四邊形的基本知識 求平行四邊形 EFGH中的θ。 60° +θ = 180° ∴ θ = 120° • 重點理解 9.1.2 目錄

  12. 1. 一個平行四邊形的兩組對邊分別相等。 2. 一個平行四邊形的兩組對角分別相等。 3. 一個平行四邊形的對角線互相平分。 9.2平行四邊形 • 例題演示 A) 平行四邊形的性質 【簡記：平行四邊形性質】 目錄 • 目錄 9.2

  13. 9.2平行四邊形 在圖中，ABCD是一個平行四邊形。 根據平行四邊形的性質，求 DC, BC, A和D。 DC = AB = 4 cm BC = AD = 2 cm A = C = 50° D = B = 130° 目錄

  14. 9.2平行四邊形 在圖中，ABCD是一個平行四邊形。 若 AE = 3 cm 及 DE = 2 cm， 求 EC及 EB. EC = AE = 3 cm EB = DE = 2 cm 目錄

  15. 9.2平行四邊形 在圖中，ABCD是一個平行四邊形，AC 和 BD 為對角線。 求 x、y和 z。 x = 15° + 30° (平行四邊形性質) = 45° 目錄

  16. 習題目標 • 求平行四邊形中的未知量。 9.2平行四邊形 • 返回問題 x + y + 30° = 180° (同旁內角，AB // DC) 45° + y + 30° = 180° y = 105° AD = BC (平行四邊形性質) ∴z – 5 = 6 z = 11 目錄

  17. 9.2平行四邊形 圖中的 PQRS是一個平行四邊形， T 是 SR上的一 點使 PT平分∠SPQ。已知∠QRS= 130°，求 a 和 b 。 目錄

  18. 習題目標 • 求平行四邊形中的未知量。 9.2平行四邊形 • 返回問題 SPQ = 2TPQ = 2a (已知) SPQ = QRS (平行四邊形質) ∴ 2a = 130° a = 65° a + b = 180° (同旁內角，PQ // SR) 即 65° + b = 180° ∴ b = 115° 目錄

  19. 9.2平行四邊形 在圖中， AB // DC， X是 AB上一點， 使 XC // AD， XD // BC及 XC ⊥ XD。已知 XB = 5 cm及BC = 3 cm，求四邊形 AXCD的周界。 目錄

  20. 習題目標 • 求平行四邊形中的未知量。 9.2平行四邊形 • 返回問題 根據定義，XBCD及 AXCD都是平行四邊形。 ∴ BCX = DXC = 90° (內錯角， BC // XD) 在 △XBC 中，根據畢氏定理， DC = XB = 5 cm (平行四邊形性質) 在平行四邊形 AXCD 中， AD = XC及 AX = DC (平行四邊形性質) AXCD 的周界 = 2(AX + XC) = 2(5 + 4) cm = 18 cm 目錄

  21. 9.2平行四邊形 在圖中，ABCD是一個平行四邊形，其中 AD = 3 cm, DC = 5 cm, AE = 2 cm。 求 (a) DAC, (b) EB的長度，準確至三位有效數字。 目錄

  22. 9.2平行四邊形 • 返回問題 (a) EC = AE = 2 cm (平行四邊形的性質) ∴ AC = AE + EC = 4 cm 在 △ADC中， AD2 + AC2 = (32 + 42) cm2 = 25 cm2 DC2 = 52 cm2 = 25 cm2 ∴ AD2 + AC2 = DC2 根據畢氏定理的逆定理， DAC = 90° 目錄

  23. 習題目標 • 求平行四邊形中的未知量。 9.2平行四邊形 • 返回問題 (b) 在 △DAE 中，DAC = 90°. 根據畢氏定理， DE EB = DE (平行四邊形性質) = 3.61 cm （準確至三位有效數字） • 重點理解 9.2.1 目錄

  24. i. 四邊形的兩組對邊分別相等。【簡記：對邊相等】i. 四邊形的兩組對邊分別相等。【簡記：對邊相等】 ii. 四邊形的兩組對角分別相等。【簡記：對角相等】 9.2平行四邊形 B) 平行四邊形的判定條件 ‧ 如果一個四邊形符合以下其中一個條件，則該四邊形便是平行四邊形。 目錄

  25. 四邊形的兩條對角線互相平分。 【簡記：對角線互相平分】 • 四邊形的其中一組對邊平行而且相等。 【簡記：對邊 // 且相等】 9.2平行四邊形 • 例題演示 B) 平行四邊形的判定條件 目錄 • 目錄 9.2

  26. 習題目標 • 證明一個四邊形是平行四邊形。 9.2平行四邊形 在圖中， ABCD為一平行四邊形。已知 AM = CN，證明DMBN亦是平行四邊形。 MD = AD – AM BN = BC – NC AD = BC 平行四邊形性質 AM = NC 已知 ∴ MD = BN 而 MD // BN 已知 ∴ DMBN 是一個平行四邊形 對邊 // 且相等 目錄

  27. 9.2平行四邊形 在圖中， (a) 求 a 的值； (b) 證明 KLMN是一個平行四邊形； (c) 求 b的值。 (a) 100° + (a + 40°) + 100° + (3a – 40°) = 360° 4a + 200° = 360° 4a = 160° a = 40° 目錄

  28. 9.2平行四邊形 • 返回問題 (b) L = N = 100° 已知 M = 3a – 40° = 3  40° – 40° 由 (a) 部所得 = 80° K = a + 40° = 40° + 40° 由 (a) 部所得 = 80° ∴ M = K ∴KLMN是一個平行四邊形 對角相等 目錄

  29. 習題目標 • 綜合題。 9.2平行四邊形 • 返回問題 (c) KN = LM (平行四邊形性質) ∴ 5b – 1 = 4 5b = 5 b = 1 目錄

  30. 9.2平行四邊形 在圖中， ABCD是一個平行四邊形， E 和F 是對角線 AC上的點使 AE = FC。證明 DEBF 是一個平行四邊形。 目錄

  31. 習題目標 • 證明一個四邊形是平行四邊形。 9.2平行四邊形 • 返回問題 作直線 BD與 AC相交於 G ，如右圖所示。 DG = GB 平行四邊形性質 AG = GC 平行四邊形性質 AE = FC 已知 ∴ AG – AE = GC – FC i.e. EG = GF ∴DEBF是一個平行四邊形。 對角線互相平分 • 重點理解 9.2.2 目錄

  32. 9.3菱形、 長方形及正方形 • 例題演示 A) 菱形的性質 • 平行四邊形的所有性質。 • 對角線互相垂直。 • 內角被對角線平分。 【簡記︰菱形性質】 目錄 • 目錄 9.3

  33. 9.3菱形、 長方形及正方形 求菱形 ABCD 中的未知量。 x = 7 (菱形性質) 9 – y = 7 (菱形性質) ∴y = 2 a = 30° (菱形性質) b + a + 30° = 180° (同旁內角，AD // BC) b + 30° + 30° = 180° ∴b = 120° 目錄

  34. 9.3菱形、 長方形及正方形 參看右圖所給菱形　　ABCD，求圖中的未知量。 x = 90° (菱形性質) 在菱形 ABCD 中，由於 EAD = 30°，所以 y = 30° (菱形性質) 在 △AED中， 30° + x + z = 180° (△ 內角和) 30° + 90° + z = 180° z = 60° 目錄

  35. 習題目標 • 利用菱形的性質求未知量或證明幾何性質。 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 BE = ED (菱形性質) = 1 ∴ BD = BE + ED = 2 BAD = y + 30° = 30° + 30° = 60° ∴ BAD = BDA = 60° ∴AB = BD (等腰 △ 底角) 即 s = 2 目錄

  36. 9.3菱形、 長方形及正方形 附圖是一隻邊長為 13 cm的菱形風箏 ABCD其中較短的一條對角線 BD長 10 cm。求 (a) 對角線 AC的長度； (b) 風箏 ABCD的面積。 目錄

  37. 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 (a) 連接AC和 BD使它們交於一點 E。 DE = EB (菱形性質) AED = 90° 根據畢氏定理， AE (菱形性質) ∵EC = AE (菱形性質) ∴ EC = 12 cm AC = 2  12 cm = 24 cm 目錄

  38. = 2  BDAE 習題目標 = 2  10  12 cm2 • 利用菱形的性質求未知量或證明幾何性質。 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 (b) 風箏 ABCD 的面積 = △ADB 的面積 + △CDB 的面積 = 2 △ADB 的面積 = 120 cm2 • 重點理解 9.3.1 目錄

  39. 9.3菱形、 長方形及正方形 • 例題演示 B) 長方形的性質 • 平行四邊形的所有性質。 2. 所有角都是直角。 3. 對角線相等。 4. 對角線互相平分。 【簡記︰長方形性質】 目錄 • 目錄 9.3

  40. 9.3菱形、 長方形及正方形 在圖中，若 ABCD 是一個長方形，求 x 、y和 z。 ED = BE (長方形性質) ∴x = 9 AC = BD (長方形性質) ∴ y = 2  9 = 18 EA = ED (長方形性質) EAD = EDA (等 腰 △ 底角) 目錄

  41. 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 即 EDA = 42° BAD = 90° (長方形性質) 在 △ABD中， ADB + DBA + BAD = 180° (△ 內角和) ∴ 42° + z + 90° = 180° z = 48° 目錄

  42. ∴AC = 9.3菱形、 長方形及正方形 在圖中， ABCD是一個長方形， AC與 DB相交於 E。AB = 8及 BC = 6。求 EB的長度。 考慮 △ABC ABC = 90° (長方形性質) AC2 = AB2 + BC2 (畢氏定理) = 10 目錄

  43. = 習題目標 • 利用長方形的性質求未知量。 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 DB = AC (長方形性質) = 10 DE = EB (長方形性質) ∴EB = DB = 5 目錄

  44. 9.3菱形、 長方形及正方形 在圖中， ABCD是一個平行四邊形， PCDB是一個長方形而 ABP是一條直線。已知 AD = 8 cm及∠ADP = 72°，求 (a) PD, (b) BAD. 目錄

  45. BAD = (180° – 72°) 習題目標 • 利用長方形的性質求未知量。 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 (a) PD = BC (長方形性質) = AD (平行四邊形性質) = 8 cm (b) ∵AD = PD = 8 cm ∴ BAD = BPD (等腰 △底角) 在 △ADP中 ， BAD + BPD + ADP = 180° (△ 內角和) 2BAD + 72° = 180° = 54° 目錄

  46. 9.3菱形、 長方形及正方形 • 例題演示 C) 正方形的性質 • 長方形的所性質。 • 菱形的所有性質。 • 對角線與邊的夾角是 45°。 【簡記︰正方形性質】 • 目錄 9.3 目錄

  47. (答案以根號 ‘’ 表示。) 9.3菱形、 長方形及正方形 在圖中，PQRS是一個正方形， PR與 QS相交於 T且 PT = 1。 (a) 求 ST 的長度。 (b) 求正方形 PQRS的周界。 (a) ST = PT (正方形性質) = 1 目錄

  48. PS = = 習題目標 • 利用正方形的性質求未知量或證明幾何性質。 9.3菱形、 長方形及正方形 • 返回問題 (b) PTS = 90° (正方形性質) 在 △PTS中， PS2 = PT2 + ST2 (畢氏定理) = 12 + 12 = 2 PS = PQ = QR = RS (正方形性質) ∴PQRS 的周界 = 4PS = 4 目錄

  49. 9.3菱形、 長方形及正方形 在圖中， ABCD是一個正方形。E是 BC延線上的一點使 AC = EC。求∠DAE 。 ∵DCA = 45° (正方形性質) ∴ ACE = 90 ° + 45 ° = 135 ° ∵ EC = CA ∴ AEC = CAE (等腰△底角) 目錄

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