第八章 假设检验

1. 第八章 假设检验 一.本章提要 1.假设检验问题 ·统计假设的基本概念 ·假设检验的思想和方法 ·参数假设检验与区间估计的关系 ·假设检验的两类错误 2.单个正态总体参数的检验 · 的假设检验 · 的假设检验 3.两个正态总体参数的假设检验 ·关于 的假设检验 ·关于 的假设检验

2. 4.大样本检验法 ·两总体均值差的大样本检验法 ·二项分布参数的大样本检验法 二.基本要求 ·理解假设检验的概念和思想方法，以及参数假设检验与 区间估计的关系；了解假设检验中的两类错误. ·熟练掌握单个正态总体关于均值 以及方差 的 假设检验. ·熟练掌握关于两个正态总体均值 以及方差 的 假设检验. ·领会大样本检验法. 三.重点、难点 正态总体均值与方差的假设检验.

3. 8.1 假设检验问题 8.1.1假设检验的基本概念 在实际问题中，经常需要对总体的分布形式或分布中的未 知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学将这些有待验 证的陈述或命题称为统计假设，简称假设；利用样本对假设的 真假进行判断称为假设检验；若总体的分布已知，对分布中的 未知参数作假设并进行检验，称为参数假设检验；若总体的分 布未知，对总体的分布形式或参数作假设并进行检验，称为非 参数假设检验，被检验的假设称为原假设或零假设，记为 ， 其对立面称为对立假设，记为 。

4. 8.1.2假设检验的思想和方法 小概率原理 概率很小的事件在一次试验中不会发生，如 果小概率事件在一次试验中发生了，则实属反常，一定有导致 反常的特别的原因，所以有理由怀疑试验的原定条件不成立。 概率反证法 欲判断假设 的真假，先假设 真，在此前 题下构造一个能说明问题的小概率事件 ，试验取样，由样本 信息确定 是否发生，若 发生，则与小概率原理相违背，说 明假设 不成立，则拒绝 ，接受 ；若小概率事件 没有发 生，没有理拒绝 ，只好接受 。

5. 小概率事件 的概率到底多小由实际问题的不同需要来定， 我们用 记小概率，一般取 等，在假设检验中 为检验水平，或显著性水平。 例1.已知某炼铁厂的铁水含碳量 现改变了工 艺条件测得10炉铁水的平均含碳量 假设方差无变化， 问：总体的均值 是否明显改变？（取 ） 解：由问题提出假设： 若 成立，则 与4.55应很接近，未知，用其无偏估计 代替， 若 较大，则可以认为 ，所以若 成立，

6. 事件 不太可能发生，即 很小， 令 来确定 由 知 因此，若 成立 显然 统计量 因此 即 则 因此确定了小概率事件 由 ，得

7. 由于 ，说明小概率事件 发生 因此接受假设 ，即认为 。 一般地，若拒绝接受 样本观察值 其中 是 维空间 中的区域， 则称 为假设 的拒绝域或否定域， 的接受域，检查中的所用的统计量成为检 称 的补集 查统计量，拒绝域分别位于同例的假设检验称为双侧假设检验。

8. 假设检验的步骤如下： （1）提出假设：根据问题的要求，提出原假设 与对立假设 确定显著水平 及样本容量 。 （2）确定拒绝域：用参数 的一个好的估计量 （通常取 的 无偏估计）来代替 ，分析拒绝域 的形式，构造检验统计量 在 成立的前提下确定 的概率分布，通过等式 确定 。 （3）执行统计判决：求统计量的值，并查表求出有关数据，判 断小概率时间是否发生，由此作出判决。

9. 拒绝域的形式一般有原假设与对立假设共同确定，当给定拒绝域的形式一般有原假设与对立假设共同确定，当给定 原假设 时，其对立的形式可能有多个，得到的拒绝域也可能 不同。 例2.数据同例1，问：总体的期望 是否明显大于4.55？ 解：此题的合理假设为 用 的无偏估计 来代替 在例1中，拒绝 时接受的是 所以拒绝域为 而在本例中，拒绝 时接受的是 因而拒绝域为

10. 发生的概率应很小 若 成立，事件 设 统计量 由 得 所以拒绝域为 由于 所以接受 。

11. 8.1.3参数假设检验与区间估计的关系 参数假设检验的关键是找一个确定性的区域（拒绝域） 使得 成立时，事件 是小概率事件， 旦抽样结果使小概率事件发生，就否定原假设 。 参数的区间估计是找一个随机区间 ，使 包含待估参数 是个大概率事件。 这两类问题都是利用样本对参数作判断：一个是由小概率 事件否定参数 属于某范围，另一个则是依大概率时间确信某 区域包含参数 的真值，两者本质上殊途同归。

12. 8.1.4假设检验的两类错误 对于小概率事件 ，无论其概率多小，还是有可能发生的， 所以利用“概率反证法”进行假设检验，可能作出错误的判断，有 以下两种情形： （1）原假设 实际是正确的，但却拒绝了 ，这样就犯了 “弃真”的错误，通常称为第一类错误.仅当小概率事件 发生时 才拒绝 ，所以犯第一类错误的概率为 。 （2）原假设 实际是不正确的，但却接受了 ，这样就犯了 “取协”的错误，通常称为第二类错误，其概率记为 。

13. 习题8-1 1.在假设检验中，显著性水平 的意义是（ ） A.原假设 成立，经检验被拒绝的概率 B.原假设 成立，经检验被不能被拒绝的概率 C.原假设 不成立，经检验被拒绝的概率 D.原假设 不成立，经检验被不能被拒绝的概率 2.试述检验假设的步骤. 为其一个样本 3.设总体 ， 为未知参数， 取拒绝域为： 对下述假设检验问题 ， 试求常数 ，使得该检验的显著水平为0.05.

14. 参考答案 1. A 2. 略 3. 可以

15. 8.2单个正态总体参数的假设检验 设总体 ，抽取容量为 的样本 ， 样本均值与样本分别是 为叙述简明，我们把各个不同的 假设检验中有关的原假设 ，备择假设 ，以及在显著性水平 的拒绝域分别列成相应表，这些表中，当原假设 成立时，所 有统计量及其分布都可以从第6章中的有关定理中得到. 8.2.1关于正态总体均值 的假设检验 1.若已知 ，则取统计量 ； 2.若 未知，则取统计量 . 综和上述情况得表8-1

16. 表8-1正态总体均值的假设检验表 在显著水平 下关于 的拒绝域 ① ② ①若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。 ②若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。

17. 例1.某工厂生产的某中钢索的断裂强度（单位： ）服从分布 ，其中 ，现从一批此种钢索的容量为9的一个 样本测得断裂强度平均值 ，与以往正常生产时的 相比， 较 大 ， 设总体方差不变，则在显著性水平 下能 否认为这批钢索质量有显著提高？ 解：本题是对参数 的单侧检验问题 （1）提出假设 （2）选取检验统计量

18. （3）拒绝域为 （4）取 ，查表得 由 得 （5）检验：由于 故接受假设 ，认为这批钢材质量没有显著提高。 例2.某产品的一项指标 服从分布 ，现从中抽取容量 为26的样本，样本均值 ，能否认为这种产品的期望值 ？

19. 解：本题双侧检验问题 （1）假设 （2）选取统计量 （3）拒绝域为 查表得 （4）取 ， 得 由 ， （5） ，所以接受 即认为这种产品在显著水平 下的期望值为1600。

20. 例3.一个手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某中品牌例3.一个手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某中品牌 的手机待机时间的平均值至少为71.5小时，一质检部门抽查了该 厂生产的此品牌的手机6部，得到的待机时间为： 69，68，72，70，66，75， 设手机的待机时间 ，由这些数据能否说明其广告有欺 骗消费者的嫌疑 ？ 解：（1）假设 （2）由于方差 未知，用检验统计量 （3）拒绝域为 （4）计算得

21. （5）查 分布表得 （6）统计判决 故接受 ，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑. 8.2.2关于正态总体方差 的假设检验 1.若已知 ，则取检验统计量 2.若未知 ，则取检验统计量 表8-2列出了正态总体方差假设检验的几种情况

22. 表8-2正态总体方差的假设检验表 在显著水平 下关于 的拒绝域 ① ② ①若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。 ②若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。

23. 例4.某打包机包装糖出厂，已知每包糖的质量 ，按 设计要求，方差 不能超过100，现从中抽取11包，测得样本方 差 ，问：该打包机的精度是否符合要求？ 解：（1）提出假设 （2）选取统计量 （3）拒绝域为 或 （4）由 ，查 分布表得 计算 所以接受假设 因为 ， 即该打包机精度符合要求。

24. 例5.某炼铁厂铁水含碳量 ，现对设备进行了维修， 然后抽测了5炉炉水，测得含碳量 的样本方差 ，问： 是否可以认为设备维修后的铁水含碳量的方差仍旧是 ？ 解：（1）提出假设 （2）选取统计量 （3）拒绝域 （4）由 ，查表得 计算 （5）因为 ，所以拒绝 即设备维修后铁水含碳量的方差有改变。

25. 习题8-2 A 1.某批矿砂的5个样品中镍含量为（%）： 3.25，3.27，3.24， 3.26，3.24，设测定值服从正态分布，问：能否认为这批矿 砂的镍含量为3.25%？ 2.用传统工艺加工的某中水果罐头中，每瓶平均维生素 的含 量为19 ，现改进了加工工艺，抽查了16瓶罐头，测得维生素 含量 为：18，23，20.5，21，22，20，22.5，19，20，23 ，20.5，18.8，20，19.5，22，23，已知维生素 含量服从正 态分布，分别在方差 和 未知的情况下，问：新工艺下维 生素 含量是否比旧工艺下维生素 含量有显著提高？

26. 3.设来自正态总体 ，容量为100的样本，样本均值 未知，而 ，检验下列假设 （1） （2） 4.某种导线，要求其电阻的标准差不超过 ，今在生产的 一批导线中抽取9根，测得样本标准差 ，设总体服从 正态分布，能认为这批导线的标准差显著偏大吗？

27. 习题8-2 B 1.检测站对某条河流每日的溶解氧浓度纪录了30个数据，并由 此算得 ，已知这条河流的每日溶解氧浓度服从 ，试检验 2.从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得 问：该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 有无显著差异 （ ，椭圆度服从正态分布）？

28. 经较长时间储存，取9 3.有一批枪弹，出厂时初速 发进行测试，得样本值 ：914，920，910，953，945，912 924，940，据检验，枪弹经储存，其初速 仍服从正态分布， 且 可认为不变，问：是否可以认为这批枪弹的 显著降 底 ？ 4.电池在货架上滞留时间不能太长，下面给出某商店随机选取 的8只电池的货架滞留时间（以天计）： 108，124，124，106，138，163，159，134 设数据来自总体 未知，试检验假设 取

29. 参考答案 A: 1.含镍量为3.25% 2.有显著提高 3. 4. 检验得 B: 1. 2.有显著提高 3.显著降低 4.

30. 8.3两个正态总体参数的假设检验 设总体 总体 从两个总体中分别抽 取样本 及 样本均值与样本方差分别是 及 ，以下是有关参数 的某些假设。 8.3.1关于两个正态总体均值 的假设检验 1.若已知 及 ，则取统计量 2.若未知 及 ，假定 ，取统计量 其中 于是得到表8-3所列的两个正态总体均值的假设检验

31. 表8-3两个正态总体均值的假设检验 在显著水平 下关于 的拒绝域 ① ② ①若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。 ②若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。

32. 例1.某香烟厂向化验室送去两批烟丝样本，要化验尼古丁的含量，例1.某香烟厂向化验室送去两批烟丝样本，要化验尼古丁的含量， 各抽取重量相同的5例化验，得尼古丁含量分别为A:24，27，26， 21，24，B:27，28，23，31，26.设化验数据服从正态分布，A批 方差为5,B批方差为8，在显著性水平 下，检验两批烟丝 的尼古丁含量是否有显著差异。 解：提出假设 拒绝域为 选取统计量 由 计算 查表得

33. 由于 ，所以接受 即认为两批烟丝的尼古丁含量没有显著差异。 8.3.2关于两个正态总体方差 的假设检验 1.已知 及 检验假设 设 则 作分子, 作 已知，则 已知，取 分母得统计量 其中 及 分别为 统计量 的分子及分母的样本容量。

34. 对于显著性水平 ,由 分布表查得 及 使得 若由样本观测值计算得 ,则拒绝 ,但由 于 总大于1,而从 分布表可知，当取较小的值 时,总有 所以统计量 的值不可能小于 , 因此在显著水平 下的拒绝域只能是 。 2.若未知 及 ，则与1类似取统计量 关于单侧假设检验的拒绝域的讨论与双侧假设检验完全类似 于是，得到两个正态总体方差的假设检验表。（表8-4）

35. 表8-4两个正态总体方差的假设检验表 在显著水平 下关于 的拒绝域 ① ② ①若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。 ②若改为 ，则统计量 或 的观测值落在拒绝域内的概率 不大于 。

36. 例2.某中物品在处理前后分别取样分析其含脂率（%）得数据：例2.某中物品在处理前后分别取样分析其含脂率（%）得数据： 处理前：0.29，0.18，0.31，0.30，0.36，0.32，0.28，0.12， 0.30，0.27； 处理后：0.15，0.13，0.09，0.07，0.24，0.19，0.04，0.08， 0.20，0.12，0.24。 假设处理前后含脂率都服从 正态分布，检验处理前后含脂率的 方差是否不变。 解：提出假设 计算得

37. 由于 选取统计量 取 查表得 计算得 则接受 由于 即认为处理前后方差没有显著变化。 例3.测得两批电子器材的电阻（单位： ）分别为： A批：0.140，0.138，0.134，0.142，0.144，0.137 B批：0.135，0.140，0.142，0.132，0.138，0.140 设两批器材的电阻分别服从正态分布 且

38. 相互独立，则对于显著性水平 能否认为两器材电阻 值相等？ 解：本题两正态总体均值的双侧检验问题，且方差未知， 所以要分两步讨论 （1）检验假设 计算得 且 取 查 分布表得 由于 所以接受 即认为 。

39. （2）检验假设 查 分布表得 所以接受 即认为这两批器材电阻均值相等。

40. 习题8-3 A 1.设总体 ，总体 ，其中， 已知， 与 是分别来自 与 的样本，两样本 ，其检验统计量 相互独立，对假设检验 ，拒绝域 。 2.甲、乙两台车床加工同种产品，从这两台机床中随机抽取若 干件，测得产品直径 甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9 乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2 假设两台机床加工的产品直径都服从正态分布且总体方差相等， 问：甲、乙两台车床加工的产品直径有无显著差异？

41. 3.两家工厂用同样的生产过程生产塑料，假定两个工厂的塑料3.两家工厂用同样的生产过程生产塑料，假定两个工厂的塑料 强度都服从正态分布，生产已定型且方差都已知，收集到的数 据如下： 问：两个塑料的平均强度是否相等？ 4.改进某中金属的热处理方法，要检验抗拉强度 有无显著 提高，在改进前后各取12个样品，测量并计算得改进前 改进后 假定热处理前后抗拉强度都服从正态分布，取 ，问： （1）处理前后总体方差是否相等? （2）处理后抗拉强度有无显著提高？

42. 习题8-3 B 1.设总体 ，总体 ，其中， 已知， 与 是分别来自 与 的样本，两样本 相互独立，对假设检验 其检验 统计量 ，拒绝域 . 2.针织品漂白工艺中，要考察温度对针织品断裂强度的影响， 为比较 与 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重 复做了8次实验，得数据 时的温度：20.5，18.7，19.8，20.9，21.5，17.5，21.0， 21.2

43. 时的温度：17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.0，时的温度：17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.0， 19.1 已知断裂强力服从正态分布且方差不变，问：在 时强力与在 时的强力下是否有显著差别 ？ 3.两台机床生产同一种滚珠（滚珠直径服从正态分布），从中 分别抽取8个和9个比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有 明显差异 ？ 甲车床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8 乙车床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1 14.8。

44. 4.设有甲、乙两种安眠药，比较它们的治疗效果，以 表示失 眠者服用甲药后睡眠延长的时数，以 表示失眠者服用乙药后 睡眠延长的时数，现独立观察20个失眠者，其中10人服用甲药， 另10人服用乙药，延时纪录如下： 1.9 0.8 1.1 0.1 0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 0.7 -1.6 -0.2 -0.1 -1.2 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0 假定 ，试问：这两种药的疗效有无显 著差异。

45. 5.某中橡胶配方中，原用氧化锌 ，现改为 ，今分别对两 种配方各种若干试验，测得橡胶伸长率为： 原配方：540，530，525，520，545，531，541，529，534 现配方：565，577，580，575，556，542，560，532，575，561 设同一批橡胶伸长率服从正态分布，问：在两种配方下，橡胶 率是否服从同一分布 ？

46. 参考答案 A: 1. 2.无显著差异 3.平均强度不相等 4.方差相等，抗拉强度有显著提高 B: 1. 2.有显著差异 3.没有显著差别 4.先检验方差得方差相等；再检验均值得没有显著差别 5.（1）方差相等 （2）均值不同，则伸长率分布不同

47. 8.4 大样本检验法 前面讨论的假设检验问题，都已知有关统计量的分布，并 由此确定拒绝域，但在许多问题中，很难得到检验统计量的分 布，有时即使能求出，使用上也很不方便，实际应用中往往求 助于统计量的极限分布.若抽取大量样本（大样本），并用检 验统计量的极限分布来近似作为其分布，由此得到的检验方法 称为大样本检验法。 8.4.1两总体均值差的大样本检验法

48. 设有两个独立总体 ，其均值和方差分别为 和 现从每一总体中各抽取一样本，其样本容量、样本均值、样本 并且 很大，给定显著水平 方差分别记为 和 ，检验假设 若两总体均为正态分布,当 已知时,可用 检验法来检验； 当 未知但 时,可用 检验法来检验,此处总体分布未 知,即使总体为正态分布,由于 未知且 不一定相等,因 而不能用 检验,下面用大样本的方法给出此假设的检验法。

49. 当 很大时,由中心极限定理知: ,即 近似 近似 同理,当 很大时, 近似 独立,所以 近似 分别是 的很好近似值,用 代替 ,用 代替 仍有:

50. 近似 由此得拒绝域为 ( 很大) (1)