Mirko Maracci

1. Combining different theoretical perspectives for analyzing students’ difficulties in vector spaces theory Mirko Maracci

2. Focus 1: difficoltà degli studentirelativamente a TSV The teaching of linear algebra at a university level is almost regarded as a frustrating experience for instructors and students alike (Hillel 2000, p. 191). Perché? • Algebra lineare (e TSV): insegnamento diffuso nei CdL scientifici • Difficoltà degli studenti: esperienza/percezione comune • “Scarso interesse” dei ricercatori • Mancanza di prove sperimentali there is not […] a body of research that provides evidence that would convince a sceptic of the lack of success of linear algebra courses (Dubinsky, 1997)

3. Focus 1: difficoltà degli studentirelativamente a TSV • Approccio assiomatico tipicamente seguito nell’insegnamento • Coesistenza di diversi linguaggi, sistemi di rappresentazione, modi di descrizione • Necessità di sviluppare “pensiero teorico” e “flessibilità cognitiva” • (Dorier e Sierpinska, 2001) • Nozioni di base di teoria degli spazi vettoriali: base, vettori linearmente (in)dipendenti, generatori, dimensioni. • Studenti universitari e post-universitari • Interviste cliniche (Ginsburg, Swanson et al., Cohen & Manion) Clinical method because its flexibility is highly appropriate for discovering and identifying cognitive processes and for uncovering phenomena, providing rich descriptions and generating hypotheses

4. Focus 1: difficoltà degli studentirelativamente a TSV Obiettivi: • Documentare difficoltà e errori legati a specifiche nozioni di TSV • Individuare concezioni “responsabili” delle difficoltà e degli errori documentati refer to the variety of possible points of view on a single mathematical object (Artigue, 1991)

5. Focus 1: difficoltà degli studentirelativamente a TSV se u=α1u1+ α2u2+ ∙∙∙ + α5u5, u, u1, u2sono linearmente indipendenti? • Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro dipendenti o indipendenti? • Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti può essere scritta come combinazione lineare di quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti? • Quale dimensione deve aver uno spazio vettoriale che contiene una combinazione lineare di un certo numero di vettori linearmente indipendenti? • Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che contiene una data combinazione lineare? se u= α1u1+ α2u2+ ∙∙∙ + α5u5, può essere u=β1v1+ β2v2+ ∙∙∙ + β4v4 ?

6. means to transform a commonsensical problem into a researchable problem lens to analyze data and produce results of research on a problem (Silver & Herbst 2007) Focus 2: quadri teorici • Quadro concettuale di riferimento? • Perché? • Analizzare/interpretare fenomeni didattici • Descrivere fenomeni didattici • Individuare fenomeni didattici Teorie come strumenti che mediano tra ricerca e problemi Quali teorie scegliere? Come sceglierle? Perché?

7. Focus 2: quadri teorici I principali quadri teorici di riferimento: • Teoria dei modelli intuitivi taciti (Fischbein) • Modello ckc: concezione – conoscenza – concetto (Balacheff) • Dualità processo/oggetto (Sfard) La scelta della cornice teorica non fu fatta totalmente a-priori, né imposta a posteriori sui dati, ma parallelamente al progredire della ricerca (primi dati raccolti, prime analisi)

8. Conclusioni • Le analisi condotte secondo i diversi quadri teorici contribuiscono a gettar luce su errori e difficoltà da diverse angolazioni, e permettono di descriverli/le ed organizzarli/le in sistemi dotati di una propria coerenza interna. • “The different perspectives and the corresponding different explanations usually answer different questions and are useful under different circumstances. The more perspectives and the more explanations, the deeper the understanding of the phenomenon under study.” (Leron, 2005). È possibile una sintesi tra i diversi contributi? È desiderabile?

9. E ora ? • Didattica dell’algebra lineare… • Teorie. Ruolo delle teorie. Dialogo tra contributi provenienti da diverse impostazioni teoriche…

10. Mentre un confronto epistemologico tra discorsi richiede la presenza di un insieme di concezioni comuni ai parlanti ampio e impegnativo l’ermeneutica coglie le relazioni tra i vari discorsi, come tra le linee di una possibile conversazione, una conversazione che non presuppone matrici disciplinari comuni ai parlanti, ma fin che dura mantiene la speranza dell’accordo. Questa speranza non punta alla scoperta di un terreno comune esistente in precedenza, ma semplicemente all’accordo, o almeno a un disaccordo stimolante e fruttuoso (Bagni 2009, Rorty 2004)