6 Sachrechnen

1. 6 Sachrechnen • 6.1 Was heißt Sachrechnen heute? • 6.2 Aufgaben zum Sachrechnen • 6.3 Lösen von Sachaufgaben • 6.4 Gestaltung des Sachrechenunterrichts

2. Immer Ärger mit dem Sachrechnen! „Das Sachrechnen konnte ich nie leiden. Da sollte ich berechnen, wann sich zwei Züge begegnen, wenn der eine um ... losfährt und der andere um... Das interessiert mich überhaupt nicht. Viel mehr möchte ich wissen, wohin die Züge fahren, wer mitfährt und warum die nach Leipzig, Berlin... fahren. Ich möchte jetzt auch verreisen, Urlaub machen, an der Nordsee spazieren gehen, in den Alpen Ski fahren...

3. Was heißt Sachrechnen? • Sachrechnen ist der Teil der Angewandten Mathematik, der Schülern bis zur 10. Klasse zugänglich ist. (FRICKE 1987, S. 10) • Das Sachrechnen verfolgt als Zielsetzung, die Fähigkeit, sich mit mathematischen Mitteln selbständig in bestimmten Sachsituationen helfen oder auch sein eigenes Wissen bereichern zu können. (WEISER 1975, S. 190) • Sachrechnen • Man versteht darunter bekanntlich das Lösen von Sachaufgaben des täglichen Lebens mit einfachen mathematischen Mitteln (Rechnen in und zwischen Größenbereichen). Dieses Sachrechnen wurde in der Volksschule stets als Krönung der rechnerischen Bemühungen empfunden, während das damit vergleichbare „bürgerliche Rechnen“ am Gymnasium dort als zwar notwendiges, aber auf dem Wege zu wesentlicheren Einsichten bald überwindendes Kapitel erschien (SCHUPP 1994, S. 3)

4. Was heißt Sachrechnen? Sachrechnen und Sachmathematik: • Beim herkömmlichen Sachrechnen werden im Grunde genommen oftmals verschiedene Sachsituationen herangezogen, um ein mathematisches Thema einzuleiten, zu erarbeiten, zu verdeutlichen oder zu üben. • ... • Die Arbeit an mathematischen Sachkomplexen hingegen greift eine meist authentische Situation auf, zu deren mathematischer Behandlung mehrere arithmetische und (oder) geometrische Vorstellungen und Verfahren benötigt werden. (IGL 2000, S. 29)

5. Bedeutung von Sachrechnen • Rahmenplan, S. 148: • Rechnen ist nicht Selbstzweck, sondern dient der Entwicklung der geistigen Fähigkeiten der Kinder und der Bewältigung von Alltagsproblemen mit Hilfe von Zahlen, Formen und Maßen. • Unter Sachrechnen wird zweierlei verstanden: Zum einen dienen die Vorkenntnisse der Kinder und die leicht zugänglichen Situationen aus ihrer Umgebung als Ausgangspunkt und Material für die Entwicklung mathematischer Ideen, Modelle und Verfahren (Umwelt- und Erfahrungsbezug). Zum anderen werden die so entwickelten Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten angewandt zur Lösung von Alltagsproblemen und zur Erschließung der Welt mit mathematischen Mitteln (Anwendungsorientierung).

6. Ziele des Sachrechnens • Franke, S. 21 ff.: • Anwendung des Rechnens (traditionell) • Entwicklung allgemeiner Problemlösefähigkeiten • Umwelterschließung • Diese Ziele sollten im Unterricht verzahnt werden und erst deren Wechselspiel ermöglicht erfolgreiches Lernen.

7. Funktionen des Sachrechnens • Funktionen des Sachrechnens nach Winter 1985: • Sachrechnen als Lernstoff • Sachrechnen als Lernprinzip • Sachrechnen als Lernziel

8. Funktionen des Sachrechnens • Sachrechnen als Lernstoff • Beim Sachrechnen als Lernstoff geht es darum, Wissen über Größen und Fertigkeiten im Umgang mit Größen aufzubauen. • Einbetten in die Zielvorstellung, sachrechnerische Fähigkeiten im Rahmen eines Beitrages zur Denkentwicklung der Schüler und zur Erschließung ihrer Umwelt anzustreben. • (vgl. Winter: Sachrechnen in der Grundschule, S. 24)

9. Funktionen des Sachrechnens • Sachrechnen als Lernprinzip • bedeutet, dass Bezüge zur Realität für das Lernen mathematischer Begriffe und Verfahren ausgenutzt werden, um • die Schüler stärker am Lernen zu interessieren, • ihr Verständnis zu fördern und • ihre Kenntnisse und Fertigkeiten besser zu festigen • (vgl. Winter: Sachrechnen in der Grundschule, S. 31)

10. Funktionen des Sachrechnens • Sachrechnen als Lernziel • umfassendste Funktion des Sachrechnens • in ihr sind die anderen beiden Funktionen aufgehoben • wichtigste und unterrichtspraktisch am schwierigsten zu verwirklichende Funktion • Entscheidend ist hier der Primat der Sache: Sachsituationen sind hier nicht nur Mittel zur Anregung, Verkörperung oder Übung, sondern selbst der Stoff, den es zu bearbeiten gilt. • Sachrechnen ist damit ein Stück Sachkunde. • Die Schüler sollen befähigt werden, umweltliche Situationen durch mathematisches Modellieren klarer, bewußter und auch kritischer zu sehen. • (vgl. Winter: Sachrechnen in der Grundschule, S. 31)

11. Aufgaben zum Sachrechnen authentische Aufgaben Bildgeschichten Knobelaufgaben Problemaufgaben Rollenspiel Posteraufgaben graphische Darstellungen Kapitänsaufgaben Rechengeschichten Sachtexte Lückentexte Projekte

12. Aufgaben zum Sachrechnen • Traditionelle Einteilung • (z. B.: Fricke, Radatz /Schipper): • Eingekleidete Aufgaben • Textaufgaben • Sachaufgaben

13. Aufgaben zum Sachrechnen • Eingekleidete Aufgaben • Ziel dieser Aufgaben ist vorrangig des Anwenden von Rechenverfahren, das Festigen mathematischer Begriffe und das Erfassen von Zahlbeziehungen. • Der Sachkontext an sich ist unwichtig, die Kinder bekommen keine neuen Informationen über die Sache. Es ist schon an der Formulierung erkennbar, wie gerechnet werden soll. Eigentlich kann der Sachkontext beliebig ausgetauscht werden. • Beispiel: • (1) Verteile 20 Bonbons so an 4 Kinder, dass jeder gleich viele bekommt.

14. Aufgaben zum Sachrechnen • Textaufgaben • Ziel dieser Aufgaben ist das Erfassen des Zusammenhanges zwischen den angegebenen Zahlen und erkennen einer mathematischen Zeichenreihe (Term oder Gleichung). • Zu diesem Typ werden verbalisierte Zahlenaufgaben und Aufgaben in Textform, bei denen die Sache nebensächlich ist, gezählt. Die Vielfalt und Komplexität des Sachkontextes in der Realität wird nicht berücksichtigt. • Beispiele: • (1) Subtrahiere von 348 das Sechsfache von 8. • (2) Frau Schneider kauft für 88 € Vorhangstoff. Der Preis für 1 m beträgt 8 €.

15. Aufgaben zum Sachrechnen • Sachaufgaben/Sachrechenprobleme • Ziel dieser Aufgaben ist ebenfalls das Mathematisieren der Sachbeziehungen in eine adäquate mathematische Operation. Nach dem Ermitteln der Lösung ist das Rechenergebnis auf die Situation zurückzubeziehen. • Allerdings ist auch die Sachsituation wichtig: Sie stellt einen Bezug zur Realität, zu den Alltagserfahrungen der Kinder her. Die mathematische Bearbeitung soll das Verständnis für die Sache unterstützen, die Mathematik dient als Hilfsmittel tiefer in den Sachkontext eindringen zu können.

16. Aufgaben zum Sachrechnen • Systematisierung von Aufgabenklassen beim Sachrechnen • Wonach kann man klassifizieren? • nach der beschriebenen Situation • nach dem mathematischen Inhalt • nach der Präsentationsform

17. Aufgaben zum Sachrechnen • Einteilung von Aufgaben nach der beschriebenen Situation • Sachaufgaben zu realen Situationen aus dem Alltag der Kinder • Sachaufgaben zu fiktiven Situationen

18. Aufgaben zum Sachrechnen • Sachaufgaben zu realen Situationen • Einfache Sachaufgaben • Sachprobleme • Sachtexte • Projekte

19. Aufgaben zum Sachrechnen • Sachaufgaben zu fiktiven Situationen • Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren • Denk- und Knobelaufgaben • Scherz- und Kapitänsaufgaben • Sachaufgaben in Kinderbüchern

20. Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren • Der Teufel sagte zu einem armen Manne: Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurück kommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel hatte er anfangs? • (vgl. Rasch, 1999, S. 29)

21. Beispiel einer Rechengeschichte Quelle: Glaser /Neubert Grundschulunterricht H. 2/2006 Der Zwerg Darwin wird in wenigen Tagen 125 Jahre alt. • Seinen Geburtstag möchte er groß feiern. Dazu hat er seine Verwandten, die 7 Zwerge, und deren Gast Schneewittchen eingeladen. Jetzt überlegt Darwin, welche Zwergenkekse und vor allem wie viele er backen muss, damit für jeden 8 Kekse da sind. • Wie viele Kekse muss er backen?

22. Denk- und Knobelaufgaben • Eine vierköpfige Familie möchte einen Fluss überqueren mit einem Ruderboot, das nur eine Tragfähigkeit von 80 kg besitzt. Der Vater wiegt 75 kg, die Mutter 60 kg. Die beiden Kinder wiegen 35 kg und 42 kg. • Wie oft und auf welche Weise müssen die vier den Fluss überqueren, bis alle am anderen Ufer sind? • Beide Kinder können schon rudern. • (Die Matheprofis 3, S. 110)

23. Scherz- und Kapitänsaufgaben • Unter einer Kapitänsaufgabe versteht man eine unrealistische Aufgabe, bei der aus den gegebenen Daten die gefragten Informationen nicht berechnet werden können, weil • (1) die Angaben unvollständig sind oder • (2) die Angaben nichts mit der Frage zu tun haben oder • (3) die mathematische Berechnung realitätsfremd ist

24. Scherz- und Kapitänsaufgaben • Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? (Baruk 1980) • Kapitän Mario transportiert mit seinem Schiff Tiere von einer Insel zur anderen. Auf dem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist Kapitän Mario? • Der Pilot Albert soll mit seinem Flugzeug kostbare Glaskugeln in ein fernes Land bringen. An Bord seines Flugzeuges hat er 36 Glaskugeln. Bei einem starken Sturm zerbrechen davon 6 Stück. Wie alt ist der Pilot Albert? • Paul war zu Anfang des letzten Monats 1,23 m groß, zu Beginn diesen Monats 1,25 m groß. Wie groß wird er in 5 Jahren sein?

25. Aufgaben zum Sachrechnen • Einteilung von Aufgaben nach dem mathematischen Inhalt • Sachaufgaben mit vorwiegend geometrischem Inhalt • Sachaufgaben mit vorwiegend stochastischem Inhalt • Sachaufgaben zum Aufbau von Größenvorstellungen • Sachaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt

26. Sachaufgaben mit vorwiegend geometrischem Inhalt Zahlenreise 4, S. 42

27. Sachaufgaben mit vorwiegend stochastischem Inhalt • Kathrin und Sandra haben sich zu einem Spielenachmittag verabredet. Sie haben sich auf 3 Spiele geeinigt: Domino – Mensch, ärgere Dich nicht – Vier gewinnt. Sie wollen die drei Spiele nacheinander spielen. • Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Spiele in unterschiedlicher Reihenfolge zu spielen? • Timo kauft sich jeden Tag nach der Schule eine Eistüte mit drei Bällchen! An dem Eisstand gibt es vier verschiedene Eissorten (Vanille, Schokolade, Erdbeere und Schlumpfeis). Timo möchte jeden Tag eine andere Eistüte essen. • Wie viele verschiedene Eistüten kann sich Timo zusammenstellen?

28. Xa-Lando 4, S. 125

29. Sachaufgaben zum Aufbau von Größenvorstellungen Die Matheprofis 3, S. 97

30. Sachaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt • Bei diesen Aufgaben kann man unterscheiden nach • der arithmetischen Struktur (Simplex – Komplex) • der semantischen Struktur • der syntaktischen Struktur (Satzbau, Reihenfolge der Angaben …)

31. Aufgaben zum Sachrechnen • Einteilung von Aufgaben nach der Präsentationsform • Reale Phänomene • Authentische Materialien und Imitationen • Bildaufgaben • Bild-Text-Aufgaben • Textaufgaben (Sachaufgaben in Textform) • Sachtexte • Projekte

32. Reale Phänomene • Die reale Umgebung liefert zahlreiche Anregungen zur mathematischen Auseinandersetzung • Lit.: • Glaser,B. / Neubert, B.: Unsere Schule in Zahlen. In: Sache - Wort – Zahl H. 58/2003, S. 36 – 37 • Franke, M.: Aufgaben, die das Leben schreibt. – In: Ruwisch / Peter-Koop (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Mildenberger, 2003, S. 75 - 88

33. Authentische Materialien und Imitationen • Im Unterricht sollte mit authentischen Materialien gearbeitet werden, um die persönlichen Erfahrungen der Schüler einzubeziehen. • Beispiele: Fahrplan, Speisekarten, Kalender, Werbeprospekte… • Durchführen von Rollenspielen mit diesen Materialien

34. Bildaufgaben Denken und Rechnen 1, S. 59

35. Bildaufgaben Denken und Rechnen 2, S. 22

36. Bild-Text-Aufgaben Denken und Rechnen 1, S. 92

37. Bild-Text-Aufgaben Denken und Rechnen 2, S. 104 Denken und Rechnen 2, S. 112

38. Textaufgaben (Sachaufgaben in Textform) • Die Präsentation von Textaufgaben kann mit oder auch ohne Frage erfolgen. • Beispiel (Denken und Rechnen 4, S. 93): • Lisa klebt 24 Urlaubsfotos ein, immer vier auf eine Seite. Für jedes Foto benutzt sie vier Fotoecken. • Tim klebt 36 Fotos ein, immer sechs Fotos mit je drei Fotoecken auf eine Seite. • Wer benötigt mehr Seiten im Fotoalbum?

39. Sachtexte • Sachtexte (Sachsituationen mit mathematischen Informationen) beschreiben Ausschnitte der Wirklichkeit. • Sie bilden eine Brücke zwischen dem Mathematikunterricht und anderen Fächern

40. Erichson, C.: Von Lichtjahren, Pyramiden und einem regen Wurm

41. Projekte • In Projekten hat die Mathematik Werkzeugfunktion beim Erreichen von Zielen. • Das Ziel besteht nicht unbedingt in der mathematischen Lösung. • Lit.: • Franke, M.: Auch das ist Mathe! Vorschläge für projektorientiertes Unterrichten. Aulis Verlag • Müller, Bettina / Neubert, Bernd: Ein Klassenfest wird vorbereitet. - In: Grundschulunterricht 46(1999)9, S. 30 - 32

42. Resümee • Die Präsentationsform beeinflusst das Lösungsverhalten der Schüler (Zeit, Handlungsebene, mathematische Mittel, Lösungsweg, Motivation...) • Das Bearbeiten von Projekten ist zwar ein Höhepunkt, kann aber nur selten eingesetzt werden. • Mit authentischen Materialien kann „Echtheit“ simuliert werden. Es kann zeitlich unabhängig von der Realität eingesetzt werden. Allerdings ist der Aufwand ebenfalls hoch. • Sachtexte und Bild-Text-Aufgaben sind offene Aufgaben, die sich ebenfalls durch einen realistischen Umweltbezug auszeichnen können. • Textaufgaben und Bildgeschichten sind zwar für den Unterricht aufbereitet, haben aber wegen des schnellen Zugriffs zum Üben weiterhin ihre Berechtigung im Unterricht.