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第三章 平面向量

第三章 平面向量. 3-3 面積與二階行列式. 目錄. 3-3 面積與二階行列式 甲 ﹑ 面積 乙 ﹑ 二階行列式 丙 ﹑ 克拉瑪公式. 請看課本 p.203. 　　面積為幾何圖形的重要特徵之一。在 3-1 節中曾介紹過 , 任給兩不平行的非零向量　　 　它們的線性組合 　　　　　　　 當 0  α  1 且 0  β  1 時 , 由所有終點 P 點所形成的圖形為由　　　 所張成的平行四邊形 OACB 及其內部 . 本節將介紹如何求此一平行四邊形的面積 , 並引入二階行列式及解二元一次聯立方程式的克拉瑪公式. 例題 1.

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第三章 平面向量

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  1. 第三章 平面向量 3-3 面積與二階行列式

  2. 目錄 • 3-3面積與二階行列式 • 甲﹑面積 • 乙﹑二階行列式 • 丙﹑克拉瑪公式

  3. 請看課本p.203 • 　　面積為幾何圖形的重要特徵之一。在 3-1 節中曾介紹過, 任給兩不平行的非零向量　　 　它們的線性組合 　　　　　　　 當0α1且0  β  1 時, 由所有終點 P 點所形成的圖形為由　　　 所張成的平行四邊形OACB及其內部.本節將介紹如何求此一平行四邊形的面積, 並引入二階行列式及解二元一次聯立方程式的克拉瑪公式. 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  4. 甲﹑面積 請看課本p.203 • 　　右圖為由兩不平行向量 • 所張的平行四邊形OACB, • 首先, 過B作直線OA的垂線, • 令垂足為D. 若∠AOB =θ, 則平行四邊形OACB的 • 面積 • 又△OAB的面積為平行四邊形OACB面積的一半, 所以 • △OAB的面積為 sin2θ＋ cos2θ=1.  例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  5. 平行四邊形OACB的面積為  △OAB的面積為 請看課本p.203 • 綜合上述討論, 我們將兩不平行向量　　　 所張成的平行四邊形與三角形的面積公式整理如下： 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  6. 例題1 請看課本p.204 設△ABC中, 求△ABC的面積. • 解： • △ABC的面積 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  7. 隨堂練習1-1 請看課本p.204 設△OAB中, 　　　　　　　 且△OAB的面積為6, 試求 • 解： • 方法一 • 直接代面積公式： • △OAB的面積 • 所以 • 得 • 解得 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  8. 隨堂練習1-1 請看課本p.204 設△OAB中, 　　　　　　　 且△OAB的面積為6, 試求 • 解： • 方法二 • 由△OAB的面積 • 所以　　　　 得 • 故 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  9. 乙﹑二階行列式 請看課本p.204 • 一﹑ 二階行列式 • 設a, b, c, dR,則形如　　　的式子, 稱為二階行列式,它有二行二列, • 其中 　 為第一行, 　 為第二行； • (a , b)為第一列, (c, d)為第二列. • 且將二階行列式 　　 的值定為ad –bc,  前一主題 下一主題 隨堂練習1-2 二階行列式

  10. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 二階行列式 前一主題 下一主題 隨堂練習1-2 二階行列式

  11. 隨堂練習1-2 請看課本p.204 試求下列行列式的值. 　　　　　 • 解： •  •  前一主題 返回 下一主題 隨堂練習1-2

  12. 請看課本p.204 • 　有了二階行列式的定義, 前段介紹的平行四邊形與三角形的面積公式便可改寫如下：　　 • 給予兩個不平行向量 • 則由 　　　所張成的平行四邊形面積為 前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  13. 平行四邊形與三角形的面積公式 設　　　　　　　　　　　為兩不平行的向量, 則 由　 與 　所張成的平行四邊形的面積為　　的絕對值. △OAB的面積為 請看課本p.204 • 此結果我們整理如下： 前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  14. 例題2 請看課本p.205 設A(1, 3), B(3, 2), C(–1, –2), 試求：  由　 與 　所張成的平行四邊形的面積.  △ABC的面積. • 解： •  • 所以由　 與 　所張成的平行四 • 邊形的面積為　　　 的絕對值, • 展開得 • │2(–5) – (–1) (–2)│=│–10 – 2│= 12. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  15. 例題2 請看課本p.206 設A(1, 3), B(3, 2), C(–1, –2), 試求：  由　 與 　所張成的平行四邊形的面積.  △ABC的面積. • 解： •  △ABC的面積為由 　與 　 所張成的平行四邊形面積之半, • 即為　　　　　的絕對值, • 故得△ABC的面積為6. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  16. 隨堂練習2 請看課本p.206 設 試求　　所張成的平行四邊形面積. 試在坐標平面上標示出滿足　　　　　　且0α 2, 0 β 2的P點所在區域, 並求該區域的面積. • 解： • 由　　　　 與　　　　　所張成的平行四邊形 • 面積為　　　 的絕對值, • 展開得|5×(−4) −(−2)×(−2)|=|−20−4|=24. • 坐標平面上滿足 • 且0 ≤ α ≤ 2, 0 ≤ β ≤ 2的P點所在的區域 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  17. 隨堂練習2 請看課本p.206 設 試求　　所張成的平行四邊形面積. 試在坐標平面上標示出滿足　　　　　　且0α 2, 0 β 2的P點所在區域, 並求該區域的面積. • 解： • 如右圖所示：區域面積為由　　　　　與 • 　　　　　 　所張成 的平行四邊形, • 面積為　　　 的絕對值, 展開得 • |10×(−8)−(−4)×(−4)|=|−80−16|=96. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  18. 隨堂練習2 請看課本p.206 設 試求　　所張成的平行四邊形面積. 試在坐標平面上標示出滿足　　　　　　且0α 2, 0 β 2的P點所在區域, 並求該區域的面積. • 註： • 面積為由　 所張成的 平行四邊形面積之2 × 2 = 4倍. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  19. 請看課本p.206 • 二﹑二階行列式的性質 • 　　由二階行列式的定義 　　　　　　　 • 我們可以知道二階行列式具有如下的性質： • 行與列依序互換, 所得行列式值與原行列式值相等. • 即 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  20. 請看課本p.206 • 兩行（列）互換, 所得行列式值為原行列式值的異號. • 即 （兩行對調）； （兩列對調）. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  21. 請看課本p.206 • 某一行（列）乘以實數k,則其行列式值為原行列式值的k倍. • 如： • 同理, 行列式 • 之值均與　　　 的值相同. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  22. 請看課本p.206 • 將某一行（列）乘以k倍加至另一行（列）, 所得行列式值與原行列式值相等. • 如： • 同理, 行列式 • 的值均與　　 的值相同. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  23. 請看課本p.207 • 註：由二階行列式的定義, 另有下列幾個性質： •  某一行（列）全為0, 則其行列式值為0, 如 •  兩行（列）成比例, 則其行列式值為0, 如 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  24. 請看課本p.207 • 當　　　　　　　　　 　為兩非零向量時, • 若　 • （　　　 無法張出一平行四邊形） • 　　行列式值雖然可由其定義直接計算, 不過若能適時運用行列式的性質, 則計算上將更為便捷. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

  25. 例題3 請看課本p.207 試求下列行列式的值. 　　　　　　　  前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  26. 例題3 請看課本p.207 • 解： •  •  •  前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  27. 隨堂練習3 請看課本p.207 試求下列行列式的值. 　　　　　　　　　　　　　 • 解： •  •  •  前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  28. 例題4 請看課本p.208 試證 • 證： 註：同理可得 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  29. 隨堂練習4 請看課本p.208 若　　　　　　　　　　 試求　　　　　　　的值. • 解： 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  30. 例題5 請看課本p.208 已知　　　　　 試求　　　　　　　　的值. • 解： 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  31. 隨堂練習5 請看課本p.208 試以例題4的性質解例題5. 已知　　　　 試求　　　　　　 的值. • 解： •  前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  32. 隨堂練習5 請看課本p.208 試以例題4的性質解例題5. 已知　　　　 試求　　　　　　 的值. • 解： • = 20  0 + 15  5 – 16  (5) – 12  0 • = 0 + 75 + 80 + 0= 155. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  33. 隨堂練習5 請看課本p.208 試以例題4的性質解例題5. 已知　　　　 試求　　　　　　 的值. • 解： •  前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  34. 隨堂練習5 請看課本p.208 試以例題4的性質解例題5. 已知　　　　 試求　　　　　　 的值. • 解： •  = 19 × 6 = 114. 前一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回 下一主題

  35. 丙﹑克拉瑪公式 請看課本p.209 • 　　國中時我們學會了如何利用加減消去法解二元一次方程組, 底下, 我們再藉由此方法與二階行列式來導出二元一次方程組的克拉瑪公式解, 並討論其幾何意義： • 　　設二元一次方程組 • 其中 a1, b1, c1, a2, b2, c2為常數, 則 • (a) 解x時（利用加減消去法消去y）： • 將b2 – b1 , 得 (a1b2−a2b1)x = b2c1−b1c2 • (b)解y時（利用加減消去法消去x）： • 將a1 – a2,得 (a1b2−a2b1)y = a1c2−a2c1   前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  36. 請看課本p.209 • 若令 • 則前述的式與式可寫成 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  37. 克拉瑪公式 方程組　　　　　　 在Δ ≠ 0時, 恰有一組解 請看課本p.209 • 當Δ ≠ 0時, • 得二元一次方程組有唯一解 • 此即為二元一次方程組的公式解, 稱之為克拉瑪 （Cramer, 瑞士, 1704~1752）公式, 整理如下： 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  38. 請看課本p.209 • 當Δ=0時, Δx與Δy至少有一不為0時, 很明顯知道 　　　 • 　　　　 無解. 故原方程組　　　　　　 無解. • 當Δ=Δx=Δy= 0, • 由二階行列式性質可推知a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 , • 故存在實數k使得a1 = ka2 , b1 = kb2 , c1 = kc2 , • 或a2 = ka1 , b2 = kb1 , c2 = kc1 , 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  39. 請看課本p.210 • 所以方程組　　　　　　 的解 • 就是方程式a1x+b1y=c1的解, • 其中, • (a)若a1≠0時, 則其解可表為 • t為任意實數. • (b)若b1≠0時, 則其解可表為 • t為任意實數. • 故當∆=∆x=∆y=0時, 方程組 • 有無限多組解. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  40. 請看課本p.210 • 的解與幾何意義依Δ, Δx, Δy的值分類整理如下︰ • 註：上述之Δ是原方程組　　　　　 中x與y的係數 • 所排成的行列式, 而Δx是將x的係數換成等號右邊的常數所成的行列式, Δy是將y的係數換成等號右邊的常數所成的行列式. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  41. 例題6 請看課本p.210 試利用克拉瑪公式解下列二元一次方程組： 　　　　　　　 • 解： • 因為 • 所以存在唯一解, 可利用克拉瑪公式： • 由 所以方程組的解為(3, 2). 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  42. 例題6 請看課本p.210 試利用克拉瑪公式解下列二元一次方程組： 　　　　　　　 • 解： • 因為 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  43. 例題6 請看課本p.211 試利用克拉瑪公式解下列二元一次方程組： 　　　　　　　 • 解： •  所以方程組有無限多解, • 又在幾何意義上3x – 6y = 9與x – 2y = 3為兩重合直線, • 即表示直線x – 2y = 3上的所有點皆滿足此式, • 令y = t, 則可得x = 2t +3,即方程組之解可表為(x, y) = (2t + 3, t), • t是任意實數. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  44. 隨堂練習6 請看課本p.211 請利用克拉瑪公式解下列二元一次方程組： 　　　　　　　 • 解： •  • 故得　　　　　　　　 • 所以方程組的解為(2, −1). 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  45. 隨堂練習6 請看課本p.211 請利用克拉瑪公式解下列二元一次方程組： 　　　　　　　 • 解： •  • 所以方程組無解, 在幾何意義上, • 2x – y = 5與−4x + 2y = 3為兩平行直線. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  46. 例題7 請看課本p.211 試就實數m的值, 討論方程組 的解, 並說明其幾何意義. • 解： 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  47. 例題7 請看課本p.211 • 解： (a) m≠0且m≠1時（即∆≠0）, 方程組恰有一解： • 表兩直線交於一點. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  48. 例題7 請看課本p.212 • 解： • (b) m=1時（即Δ=0, Δx, Δy不為0）, • 方程組無解；表兩直線平行. • (c) m=0時（即Δ= Δx= Δy=0）, • 方程組有無限多組解；其解為4x+3y=1的解 • （亦可將解寫成參數式：　　　　　　　 　）； 表兩直線重合. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  49. 隨堂練習7 請看課本p.212 試就實數m的值, 討論方程組 的解, 並說明其幾何意義. • 解： 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  50. 隨堂練習7 請看課本p.212 試就實數m的值, 討論方程組 的解, 並說明其幾何意義. • 解： • (1)m≠1且　　 時, • 所求方程組恰有一組解： • 表兩直線交於一點. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

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