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重み付き投票ゲームにおける 投票力指数の計算の高速化

重み付き投票ゲームにおける 投票力指数の計算の高速化. 国立情報学研究所 宇野 毅明 uno@nii.jp. 目的. 重み付き投票ゲームの、投票力指数を計算する 対象は、 Banzhaf, Shapley-Shubik, Deegan-Packel 指数 すでに動的計画法アルゴリズムが提案されている ただし、全プレイヤーの指数を計算すると、同じような計算を繰り返すことになる そこで. 計算方法を工夫して、無駄な計算を省き、計算量を小さくする. 重み付き投票ゲーム. ある議会に、政党（ プレイヤー ） A 、 B 、 C 、 D がある

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重み付き投票ゲームにおける 投票力指数の計算の高速化

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Presentation Transcript

  1. 重み付き投票ゲームにおける投票力指数の計算の高速化重み付き投票ゲームにおける投票力指数の計算の高速化 国立情報学研究所 宇野 毅明 uno@nii.jp

  2. 目的 • 重み付き投票ゲームの、投票力指数を計算する • 対象は、Banzhaf, Shapley-Shubik, Deegan-Packel 指数 • すでに動的計画法アルゴリズムが提案されている • ただし、全プレイヤーの指数を計算すると、同じような計算を繰り返すことになる そこで 計算方法を工夫して、無駄な計算を省き、計算量を小さくする

  3. 重み付き投票ゲーム • ある議会に、政党（プレイヤー） A、B、C、D がある • 票決のとき、同一政党内の議員は同一の投票をする • 賛成票が q = 50人 以上で可決 政党A 45人 政党B 8人 政党D 30人 政党C 17人 各政党の力を示す指数がほしい　=>　議席数？

  4. 勝利提携 と 敗北提携 提携： 政党の集合 　法案成立には、 q人 か、それ以上の議員を含む提携を組む必要がある 勝利提携 ： 提携に属する議員が q人か、それ以上の提携 敗北提携 ： 提携に属する議員が q人以下の提携 政党A 45人 政党B 8人 政党D 30人 政党C 17人

  5. 議席数は良い指標ではない • 勝利提携　　　　　　　　（　政党A（45人），政党D（30人）　） 政党B（8人）　 ：　AB　，　ABC　，　ABD　，　BCD 政党C（17人）　：　AC　，　ABC　，　ACD　，　BCD 　勝利提携の組合せは同じ！　指数は同じになるべき 提携の情報から指数を求めるモデルがよい

  6. もう一度、用語の定義 プレイヤーp1,…,pn： 　政党 プレイヤーの重みw(pi)： 政党の議席数 q： 　成立に必要な票数 提携： プレイヤーの集合 提携 Sの重みw(S)：提携に属するプレイヤーの重みの和 勝利提携 ： 重みが qか、それ以上の提携 敗北提携 ： 重みが q以下の提携

  7. バンザフ（Banzhaf）指数 「ある勝利提携 Sから プレイヤー piが抜けると敗北提携になるとする。このとき、 piは発言力を持つだろう」 このような提携の数を 2n で割ったものを指数とする pi のバンザフ指数 Bz(pi) ＝| { S | pi ∈S，w(S)≧q， w(S＼pi)＜q } |　／ 2n pi q

  8. バンザフ指数を計算する f(pi, y)： プレイヤー集合 { p１,…, pi }に含まれる提携 Sで、 w(S) =yとなるものの数 プレイヤー pｎ に対して、 w(S) ≧ q， w(S＼pn) ＜ q  q - w(pn) ≦ w(S＼pn) ≦ q-１ 重みが q - w(pn)から q-１ の間で、 pn を含まない提携の数 q-１ 　　　　＝Σf(pｎ-1, y) y=q- w(pn) 　　　これを 2nで割るとバンザフ指数になる

  9. 動的計画法 再帰式： f(pi, y) =f( pi-1, y )+f( pi-1, y- w(pi) ) piを含まない提携数　　　　 piを含む提携数 i=１,…,n-１ に対して、 f(pi, y)を順々に求める q q - w(pn) ・・・・・ s p１　 p2 p3 pn-2 pn-1 このグラフで、 f(pi, y) は sから対応する頂点までのパスの数

  10. 計算量 ・f(pi-１, y)から f(pi, y) を求める：　　 Ｏ(q) 時間 ・ f(pn-1, y) を求める：　　　　　　　　　　 Ｏ(nq) 時間 pn 以外のプレイヤーに対しての計算： pn と pi の添え字をつけなおして、同じ方法で計算 ・全員分の計算　　　　　　　　　　　　 Ｏ(n2q) 時間 変更がちょっとしかないので、ほとんど同じ計算を行う 　　　　なんとか無駄な計算を省けないでしょうか？

  11. 不要な計算の省略 pi に対して, 提携 Sのプレイヤーを i 以下とi 以上に分けて考える g(pi, y)： プレイヤー集合 { pi,…, pn }に含まれる提携 Sで、 w(S) =yとなるものの数 重みが q - w(pi)から q-１ の間で、 pi を含まない提携 i 以下の重みが z ， i 以上がq - w(pi) - zから q-１-z の間 q-１　　　　　　　　　　　 q-１-z そのような提携の数　　＝Σf(pi-1, z) Σg(pi+1, y) z=0y=q- w(pi)-z y h(pi, y) =Σ g(pi, z) とするとh(pi+1, q-１-z) - h(pi+1, q-w(pi)-z - 1) z=0

  12. 前後の計算を合わせる q 0 f(pi, y)，g(pi+2, y) から f(pi-1, y)，g(pi+1, y) を計算：　Ｏ(q) g(pi+1, y)から h(pi+1, y)を計算 ：　　　　　　　　　　　　　Ｏ(q) 1プレイヤーの指数を計算 ：　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｏ(q) ・・・・・ ・・・・・ q 0 s p１　 p2 p3 pi-１ pi pi+１ 　　　　　　　　　　　　　　　pn-１ pn 　　全員分の指数をＯ(nq) 時間で計算できる

  13. シャープレイ・シュービック（Shapley-Shubik）指数シャープレイ・シュービック（Shapley-Shubik）指数 「空の提携にプレイヤーが順々に参加し、プレイヤー piが参加して、はじめて S が勝利提携になるとき、 piは発言力を持つ」 このようなプレイヤーの参加順序（順列）の数を n!で割ったものを指数とする pi のシャープレイシュービック指数 Ss(pi) ＝| { 順列 (pj１ pj2,,…, pjn ) | q ≦ w({pj１ pj2,,…, pi }) < q+ w(pi) } | ／ n! pi q

  14. Ss指数を計算する プレイヤー pi より前のプレイヤーの集合が Sとなるような順列の数は |S|!(|n-|S|-1)! pi q S この場合、前に３プレイヤー、後ろに２プレイヤーいるので、 3!×2!＝3!（6-3-1）!＝|S|! (n-|S|-1)! piを加えると勝利提携になる敗北提携について、この総和を取る Ss(pi)×2! 　＝Σ|S|! (n-|S|-1)! S | pi ∈S， q- w(pi) ≦ w(S)≦q-1 ／

  15. Ss指数を計算する f(pi, k, y)： プレイヤー集合 { p１,…, pi }に含まれる、大きさ kの提携 Sで、w(S) =yとなるものの数 重みが q - w(pn)から q-１ の間で、 pn を含まない提携 S に関して |S|!(n-|S|-1)! の和を取る n-1 q-1 ＝ΣΣ f(pn-1,k, y) × k!(n-k-1)! k=0y=q-w(pn) これを n!で割るとSs指数になる 終点が (pn-１, k, y) のパス重みを k!(n-k-1)!=>　パスの重み和

  16. k … 1 0 q 2 1 0 pi-１　　　 pi Ss指数用の動的計画法 再帰式： f(pi, k, y) =f( pi-1, k, y )+f( pi-1, k-１, y- w(pi) ) piを含まない提携数　　　　 piを含む提携数 ・f(pi-１, k, y)から f(pi, k, y) を求める Ｏ(nq) 時間 ・ f(pn-1, k, y) を求める： Ｏ(n2q) 時間 ・全員分の計算 Ｏ(n3q) 時間 バンザフ指数と同じ方法で、高速化を行う

  17. Ss指数の高速化 g(pi, k, y)：(pi, k, y)から (pn, k’, ＊)へのパスの重み和 　　　（重みは k’!(|n-k’-1)!） 重みが q - w(pi)から q-１の間で、 pi を含まない提携 S に 　　関する|S|!(|n-|S|-1)! の和 n-１q-１　　　　　　　　　　　　　　　　 q-１ - z 　　　　＝ΣΣf(pi-1, k, z) × Σ g(pi-1, k, y) k=0z=q-w(pi)y=q- w(pi) - z k １プレイヤー 　　　　Ｏ(nq) 全プレイヤー 　Ｏ(n2q) ・・・ p１ p2 pi-１ pi pi+１ 　　　　　　　　　　　　　pn-１ pn

  18. ディーガン・パックル指数（Deegan-Packel）指数ディーガン・パックル指数（Deegan-Packel）指数 極小勝利提携 ： どのプレイヤーが抜けても敗北になる勝利提携 「 pi が極小勝利提携 Sに所属すれば，発言力1/|S| を持つ」 pi が所属する極小勝利提携すべてに対して発言力の和を取って、極小勝利提携の数 Wで割ったものを指数とする q

  19. ディーガン・パックル指数２ プレイヤーは、重みの大きい順にソートされているとする d(S) ： 提携 S から最小重みのプレイヤー 　　　　（　＝　添え字最大のプレイヤー　）　　を除いた提携 pi のディーガン・パックル指数 Dp(pi) ＝| { S | pi ∈S，w(S)≧q， w(d(S))＜q } |　／ W q

  20. ディーガンパックル指数を計算 Ss 指数計算で用いた、動的計画法のグラフを考える 終点が (pi, k, y) （q-w(pi)≦ y ≦q-１） のパスの重みを 1/k とする pi 上Dp指数の計算： pi を使い、 S から上の条件を満たす点へのパスの重み和　　（重みは １/k’） q ・・・ ・・・ s p１　 p2 p3 pi-1pi pi+1 pn-１ pn 1プレイヤー Ｏ(n2q)　　：　　全プレイヤー　Ｏ(n3q)

  21. Dp指数の動的計画法（高速版） g(pi, k, y)：piを使い、(pi, k, y)から （q-w(pj)≦ z ≦q-１） を 満たす点 (pj, k’, z) へのパスの重み和　　（重みは １/k’） pi を使うパスの重み和： ［ S から (pi-1, k, y) までのパス数 ×g(pi, k, y)　］　の総和 n-1q-1 　　　　＝ΣΣf(pi-1, y) × g(pi, k+１, y+w(pi)) k=0y=q- w(pi) （f(pi, k, y)は Ss 指数での定義と同じ　） ・すべての f(pi, k, y) , g(pi, k, y) を求める： Ｏ(n2q) 時間 ・１プレイヤーの計算：　　　　　　　　　　　　　 Ｏ(nq)時間 ・全員分の計算　　　　　　　　　　　　 　　 Ｏ(n2q) 時間

  22. まとめ • 重み付き投票ゲームの投票力指数を計算する動的計画法に対して、全員分の計算を1人分の計算と同じ計算量で行うアルゴリズムを提案した • バンザフ指数は　　　　　　　　　　　 Ｏ(n2q)＝＞Ｏ(nq) 　 シャープレイ・シュービック指数は　Ｏ(n3q)＝＞Ｏ(n2q) 　 ディーガン・パックル指数は　　　　 Ｏ(n4q)＝＞Ｏ(n2q) 　 と、計算量は減少した 今後の課題： 　　同じテクニックが使える問題はどの程度あるか？

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