函数专题复习一

1. 函数专题复习一 正比例函数 反比例函数 一次函数 上海市宝山实验学校 陈雅英

2. 知识要点： 1、理解平面直角坐标系的有关概念,会由点确定坐标,由坐标确定 点。掌握直角坐标平面上两点间距离公式。 2、理解正比例函数、反比例函数、一次函数的概念，熟悉它们 的解析式，并会用待定系数法求这些函数的解析式。 3、能够画出正比例函数、反比例函数、一次函数的图象，能从 图象观察出它们的一些性质。 4、能初步运用运动变化和数形结合的方法去分析解决有关问题。

3. 例1、下列各式中，哪些是正比例函数？哪些是反比例函数？哪些是一次函数？例1、下列各式中，哪些是正比例函数？哪些是反比例函数？哪些是一次函数？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ； 函数 定义域 定 义 正比例 函数 如果变量x、y有关系 ；(k是不等于零的 常数)；那么，称变量x、y成反比例，函数 叫做反比例函数。 反比例 函数 一次 函数 (3)(4) 是一次函数； (2) 是反比例函数； 解：(3) 是正比例函数； (1)(5) 既不是正比例函数，也不是反比例函数,也不是一次函数； 如果变量x、y有关系y=kx；(k是不等于零的常 数)；那么，称变量x、y成正比例，函数y=kx 叫做正比例函数。 一切实数 除零外的 一切实数 函数y=kx+b；(k、b为常数，k≠0)叫做关于 x 的 一次函数。 一切实数 注：正比例函数是一次函数的特殊情况。当b=0时；一次函数 y=kx+b (k≠0)即为正比例函数y=kx (k≠0)；

4. 例2、已知函数 (1) k为何值时，它是正比例函数，且图象除原点外在第二、四象限？ (2) k为何值时，它是反比例函数？并请说明函数图象所处的象限以及增减性。 (1) (2) ∴当 时，此函数是正比例函数，且图象除原点外在第二、四象限。 (1) (2) ∴ ， ； 由(1)得： 解(1)： 由题意得： 由(2)得： 由(1)得： (2)： 由题意得： 由(2)得： ∴当k=-1时，此函数是反比例函数，图象的两个分支处于第二、四象限内。 在每一个象限内，y随x的增大而增大，且图象的两个分支都无限的接近于 X轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。

5. 图象及性质 函数 定义及定义域 正比例函数 y y 反比例函数 反比例函数解析 式： (k ≠0)； x ≠0的一切实数； x x o o y 一次函数 x o 经过原点 (0,0)和 (1,k)的一 条直线 k>0时；直线经过一、三象限， y随x增大而增大。 正比例函数解析 式：y=kx (k≠0)； x 可取一切实数。 k<0时；直线经过二、四象限， y随x增大而减小。 k>0时；两分支在一、三象限内， 在每一个象限内，y随x增大而减小。 k<0时；两分支在二、四象限内， 在每一个象限内，y随x增大而增大。 双曲线 两分支无限接近x、y轴，但永远 不与x、y轴相交。 当k>0，b>0时； 直线经过一、二、三象限； 经过(0,b) 点且平行 于直线： y=kx的一 条直线。 一次函数解析式： y=kx+b ； (k、b为常数，且 k≠0) ； x 可取一切实数。 当k>0，b<0时； 直线经过一、三、四象限； y随x增大而增大。 当k<0，b>0时； 直线经过一、二、四象限； 当k<0，b<0时； 直线经过二、三、四象限； y随x增大而减小。

6. 1.一次函数y=3x+m的图象不过第二象限,则m的取值范 围是__________。 2.下列函数中,y随x的增大而增大的函数图象是（ ） A. B. C. (x>0) D. 小试牛刀

7. 例3、直线 是一次函数， (1) 它的图象不经过哪些象限？ (2) 它的图象与两坐标轴所围成的面积是多少？ y ∴ ； o x (2) ∵它的图象经过(0,-6)、( ,0)； ∴ ； ∴它的图形与坐标轴所围成面积为 ； 解(1)： 由题意得： ∴k=-4； B 1 ∴它的图象不经过第二象限。 A -6

8. 例4、如图：正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数 的图象交于点A、C， 过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S；试指出S是 否是定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由。 y ； ； 解方程组 得： A ∴A( , )；C( , )； o B x C ∴B( ,0)； ∴D( , )； ∴ ； ∴ ； 解： 过C作CD∥x轴交AB的延长线于D。 ∵AB⊥x轴，B在x轴上，CD∥x轴； D ∴S=1 为定植；

9. 例4、如图：正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数 的图象交于点A、C， 过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S；试指出S是 否是定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由。 y A o B x 1）函数 的图象上的任意一点向两坐标轴 作垂线，与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。 D C 2）正比例函数y=k1x与反比例函数 ，当k1k2>0时，两图象有两个交点； 这两个交点是关于原点对称；当k1k2<0时，这两个图象没有交点。 变式1： 过A作y轴的垂线，垂足为E。 则矩形ABOE的面积是________； 1 变式2： 若A点在双曲线上移动， 则矩形ABOE的面积有何变化？ E 归纳：

10. ∴ ； ∴ 例5、一次函数y=kx+b的图象与直线y=-2x+3没有交点，且过两直线y=4x-5与 y=-3x+2的交点P，求此函数的解析式。 解： ∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=-2x+3没有交点； ∴k=-2； 归纳： ∵直线y=4x-5与y=-3x+2交于点p； 1）直线m1:y=k1x+b1；直线m2:y=k2x+b2； (k1k2≠0) m1∥m2 ∴P(1,-1)； m1与m2交于y轴上同一点(0,b) ∵ 直线y=-2x+b过p(1,-1)； ∴b=1； m1与m2重合 ∴此一次函数解析式为y=-2x+1； 2）两个二元一次方程的公共解即为 这两个方程的图象的交点。

11. 小结： 本节课我们复习了正比例函数、反比例函数、一次函数的有关内容， 回顾了这三个函数的解析式、定义域、图象所处的象限以及增减性的有 关知识。 正比例函数是特殊的一次函数（b=0时），它们的图象都是直线。两 条直线之间的位置关系有三种（同一平面内）：平行 比例系数相等、 截距不相等，重合 比例系数和截距都相等，相交 方程组的公共解 即为交点（相交于Y轴上同一点 截距相等、比例系数不相等）。 反比例函数 图象上的任意一点向坐标轴作垂线所围成的矩形面 积为。

12. 习题 2、若 为反比例函数，求 。 4、正比例函数y=ax与反比例函数 的图象有两个交点，且其中一个 交点的横坐标为1，求a的值和两个函数解析式。 B 5、一次函数y=kx-4的图象与正比例函数 的图象交于点A(3,m)， 求这个一次函数解析式。 D A C P y Q B 2 x A o -2 P 1、一次函数y=(2a-1)x+(1-4a)，当a____时，y随x增大而增大；当a____时， 直线经过原点；当a____时，直线在y轴上的截距为-3；当a____时，直线 与直线y=-3x-1平行。 3、等腰三角形的周长为50，设底边长为y，腰长为x， 求y、x的函数关系式和x的取值范围。 6、直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为8， 且直线在y轴上的截距小于零，求这条直线的解析式。 7、如图：∠BAD=450，BC⊥AD于C，P是射线CD上的一个动 点，且450≤∠ABP≤900，BC=1；设CP=x，S△ABP=y，求y、x的函数解析式。 8、如图：已知直线y=kx+4交x轴于点P ，交y轴于点Q， 点A的坐标为(-2,0)，AB∥y轴，交直线PQ于B，若梯形 ABQO面积为6，求直线PQ的解析式。

13. 习题刊登在宝山教育信息网， 网址为www.eicbs.com。