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第五章 二叉树及应用

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  1. 第五章 二叉树及应用 一种重要的非线性结构

  2. 学习要点: • 二叉树的递归概念,这与二叉树各种基本运算具有密切关联。 • 满二叉树和完全二叉树概念,二叉树和完全二叉树基本性质。 • 二叉树的顺序存储与二叉链表存储结构。 • 二叉树遍历的基本思想和基于递归与非递归实现算法。 • 线索二叉树概念,二叉树的线索化和遍历。 • Huffman树概念与基本算法;Huffman编码和实现算法。

  3. §5.1 二叉树及其基本性质 5.1.1 二叉树基本概念 “二叉树”是一个满足下述条件的由结点组成的有限集合E: ① 当E为空集时,定义其为空二叉树; ② 当E非空时,分为两种情形。 ● 如果E为单元素集合,定义其为一棵根二叉树; ● 如果E为多于一个结点的集合,则E中应当具有唯一一个结点r称其为根结点,而集合E’=E \{r}也是一棵二叉树,称为r的子二叉树。此时,结点r至多只能有两棵不相交的子二叉树,并且相应子二叉树有左右之分,分别称为r的左子树和右子树。

  4. 其它一些相关概念: 结点的度:结点拥有的子树棵数 结点的深度(层次):根结点看做第0层,其余结点的层次值为其父结点所在层值加1 树的度:树中所有结点度的最大值 树的深度:树中最大层次数 根结点、叶结点、内部结点 子结点、父结点、兄弟结点、堂兄弟结点、 子孙结点、祖先结点; 4

  5. 5.1.1 二叉树基本概念2 1、二叉树的特征 • 二叉树可以没有任何结点,即是一个空二叉树。 • 二叉树中每个结点至多只有两棵子树,而这两棵子树作为结点集合互不相交; • 二叉树中结点的两棵子树有左、右之分,次序不能颠倒。 2、二叉树基本类型

  6. 5.1.2 满二叉树和完全二叉树 1、满二叉树 如果一棵二叉树满足下述条件,就称其为满二叉树(full binary tree): ① 每个结点或是度数为2(具有两个非空子树)的结点,或是度数为0的(叶)结点; ② 所有叶结点都在同一层。

  7. 5.1.2 满二叉树和完全二叉树2 2、完全二叉树 若一棵二叉树满足下述条件,就称其为完全二叉树(complete binary tree): ① 至多只有最下两层中结点的度数小于2; ② 最下一层的叶结点都依次排列在该层最左边位置。

  8. 5.1.2 满二叉树和完全二叉树2 2、完全二叉树2 重点理解: • 满二叉树是完全二叉树,但完全二叉树却不一定是满二叉树。 • 空二叉树和根二叉树既是满二叉树,也是完全二叉树。 • 完全二叉树可以看作是在满二叉树的最下一层,从右向左连续去掉若干个结点后得到二叉树。 • 完全二叉树中的一个结点如果没有左子结点,就一定没有右子结点。

  9. 练习: × √ • 1、完全二叉树某结点若无右子树则定无左子树。 • 2、完全二叉树某结点若无左子树则定无右子树。

  10. 5.1.3 二叉树基本性质 2i 性质5-1 一棵二叉树第i(i≥0)层上至多只能有个结点。 证明:应用数学归纳法。 二叉树第0层有一个结点,即当i=0时,2i=20=1成立。 假设结论对第i层成立,即第i层至多只能有2i个结点。注意到二叉树每个结点的度最多为2,第i+1层结点个数至多只能是第i层结点个数的2倍,即2*2i = 2i+1,归纳完成,命题得证。

  11. 5.1.3 二叉树基本性质2 性质5-2 树高为k(k≥0)的二叉树,最多有个结点。 2k+1-1 证明: 由性质5-1可知在树高为k的二叉树当中,第0层有20个结点,第1层有21个结点,第2层有22个结点,……,第k层有2k个结点。由此可知,树高为k的二叉树结点个数总数为20 + 21 + 22 +…+ 2k。这是一个公比为p=2的等比数列,前k+1项和Sk+1为: Sk+1 =(a0– akp)/(1−p)= (20−2k2)/(1−2) = (1−2k+1)/(1−2) = 2k+1−1

  12. 5.1.3 二叉树基本性质3 n0=n2+1 性质5-3 如果二叉树中度为0结点数为n0,度为2结点数为n2, 则成立。 证明:设结点总数 n = n0+ n1+ n2 又因为:结点数n = 边数+1 边数 = n1+ 2*n2 即n0 + n1 + n2 = n1 + 2n2 + 1 所以:n0 = n2 + 1 结点数n = 边数+1

  13. 练习: 一棵树的度为4,n4=2, n3=3, n2=4,求n0? 解: 结点数 = 边数 + 1 n0+ n1+n2 +n3+n4 = n1+ 2*n2 + 3*n3 + 4*n4 + 1 n0 + 2 + 3 + 4 = 8 + 9 + 8 + 1 n0=17

  14. 练习: 设完全二叉树有1000个结点,求叶子结点个数?有多少个度为1的结点?度为2的结点呢? n0 = 500 n1 = 1 n2 =499 解:设二叉树中叶子结点、度为1、度为2的结点数目 分别n0、 n1、n2, 其中完全二叉树中n1只能为1或0,则: n0+ n1+ n2 = 1000 n0 = n2+ 1 n1= 0 或n1=1 14

  15. 复习两个概念: 2k+1-1 (1)满二叉树:深度为k的满二叉树有个结点。 对满二叉树按层次从上到下,从左到右,不留一个空位进行编号,号码1~n。 (2)完全二叉树:结点数为n的完全二叉树上各个结点与同深度的满二叉树前n个相应位置结点编号一一对应。

  16. 性质5-4 设BT为具n个结点的完全二叉树,将BT所有结点按照从上到下、从左到右的顺序(二叉树的层序)进行编号。则BT中任意结点N的序号i(1≤i≤n)具有下述性质。 (1)若i=1,则N为BT根结点,N无父结点; (2)若i>1,则N父结点序号为 (即i除以2后向下取整); (3)若2i>n,则N无左子树,否则其左子结点(即左子树的根结点)序号为2i; (4)若2i+1>n,则N无右子树,否则其右子结点(即右子树的根结点)序号为2i+1。 5.1.3 二叉树基本性质4

  17. 练习: 500 int(log2n) 1、1000个结点的完全二叉树最大的分支结点编号为。 2、n个结点的完全二叉树深度为。

  18. §5.2 二叉树存储 5.2.1 二叉树顺序存储 预留最大空间 深度为k的二叉树预留2k+1-1个存储单元,按编号顺序存储,遇空结点留空位。

  19. 5.2.1 二叉树顺序存储2 • 适合满(完全)二叉树,求双亲、孩子方便 • 不适合深度较大、结点不多的二叉树

  20. 5.2.2 二叉树链式存储 1、二叉链表存储 让一个存储结点只包含与其子树的邻接关系,那么就是二叉树的二叉链表存储结构。

  21. 5.2.2 二叉树链式存储 1、二叉链表存储2 用C语言定义二叉链表的结构类型如下: struct node {DataType data; /* 定义数据域,DataType代表实际需要的类型 */ struct node *lch; /* 定义左孩子域,指向左孩子地址 */ struct node *rch; /* 定义右孩子域,指向右孩子地址 */ }; typedef struct node bitree; /* 定义二叉树结点类型为bitree */

  22. 1、二叉链表存储3 算法5-1 创建一棵只有根结点的二叉树算法。 创建只有以x为根结点的二叉树Bt,x的数据类型为DataType,相应结点的Lchild和Rchild域均取值NULL,返回指向根结点的指针。 00 Create_Bt(DataType x) 01 { 02 bitree *Bt,*ptr; 03 ptr = (bitree *) malloc (sizeof(bitree)); /* 申请存储结点 */ 04 Bt=ptr; 05 ptr->data = x; 06 ptr->lch = NULL; 07 ptr->rch = NULL; 08 return (Bt); 09 }

  23. 1、二叉链表存储4 算法5-2 在指定左子结点处插入一个新结点。 已知二叉链表Bt,在指针Parent所指结点左子结点处插入一个数据元素值为x的新结点,使之成为Parnet所指结点新的左子树根结点。 bitree *Inl_Bt(bitree *Bt, bitree *Parent, DataType x) {if (Parent == NULL) { printf ("位置错!"); return (NULL); } ptr = (bitree *) malloc (sizeof(bitree)); /* 申请存储结点空间 */ ptr->data = x; ptr->lch = NULL; ptr->rch = NULL; if (Parent->lch == NULL) /* Parent所指结点左子树为空 */ Parent->lch = ptr; else /* Parent所指结点左子树非空 */ { ptr->lch = Parent->lch; Parent->lch = ptr; } return(Bt) }

  24. 5.2.2 二叉树链式存储2 2、三叉链表存储 同时反映当前结点与其左子树的根结点、右子树的根结点和与其父结点关联。

  25. 5.2.2 二叉树链式存储2 2、三叉链表存储2

  26. §5.3 二叉树的遍历 按照某种确定方式对二叉树进行访问,但要求二叉树中每个结点被访问一次且只被访问一次。 1、先序、中序和后序遍历 对左、右子树,限定“先访左后访右”,那么访问结点的顺序有三种不同的组合形式:TLR、LTR、LRT。 通常,称TLR为二叉树的先序(先根)遍历, LTR为中序(中根)遍历, LRT为后序(后根)遍历。

  27. 例子: 以三种遍历方式访问如图所示的二叉树。 解:先序遍历序列 A-B-D-H-E-C-F-I-G-J-K 中序遍历序列 D-H-B-E-A-I-F-C-J-G-K 后序遍历序列 H-D-E-B-I-F-J-K-G-C-A

  28. 例子: 已知二叉树先序遍历序列是A-B-C-D-E-F-G,中序遍历序列是C-B-D-A-E-G-F。由这两个序列可唯一确定一棵二叉树。 解:从先序遍历序列第一个结点可知二叉树根结点是A。由结点A在中序遍历序列里位置可知该根结点左子树包含结点C-B-D,右子树包含结点E-G-F,如图5-22所示。由中序序列片段C-B-D可知,B是A左子树根结点,再结合先序序列片段B-C-D可知,C和D分别是B的左右子结点。由先序序列片段E-F-G可知,E是A的右子结点,再由先序序列片段F-G和中序序列片段G-F可知,F不能是E的左子结点,故只能是E的右子结点,并且G是F的左子结点。

  29. 练习: • 1、已知二叉树先序遍历序列为ABCDEFGH,中序遍历序列为CDBAFEHG,试画出此二叉树。 • 2、已知二叉树后序遍历序列为DCBFHGEA,中序遍历序列为CDBAFEHG,求先序遍历序列。

  30. §5.3 二叉树的遍历2 2、基于递归遍历算法 递归步骤(先序遍历): ① 访问根结点; ② 先序遍历访问左子二叉树; ③ 先序遍历访问右子二叉树。

  31. 2、基于递归遍历算法2 算法5-4 二叉树先序遍历递归算法。 已知二叉树Bt,对其进行先序遍历,若二叉树为空,则为空操作;否则进行如下操作:访问二叉树根结点;先序遍历二叉树的左子树;先序遍历二叉树的右子树。 00 Pret_Bt(bitree *Bt) 01 { 02 if (Bt != NULL) 03 { 04 printf ("%c", Bt->data); /* 访问根结点 */ 05 Pret_Bt(Bt->lch); /* 先序遍历左子树 */ 06 Pret_Bt(Bt->rch); /* 先序遍历右子树 */ 07 } 08 }

  32. 2、基于递归遍历算法2 基于递归调用先序遍历:

  33. 2、基于递归遍历算法2 先序递归算法应用实例:先序建立二叉树 bitree *creat() { bitree *t; int x; scanf(“%d”,&x); if (x==0) t=NULL; else { t=(bitree *) malloc (sizeof(bitree)); t->data=x; t->lch=creat(); t->rch=creat();} return t; }

  34. 2、基于递归遍历算法2 先序递归算法应用实例:先序建立二叉树(续) 主程序调用: main() { bitree *root; root=creat(); } 例:建立如图二叉树应该如何输入? 练习: 测试用例:1 2 3 0 0 4 0 5 0 0 6 0 0 问:画出建立的二叉树?

  35. 2、基于递归遍历算法3 算法5-5 二叉树中序遍历递归算法。 已知二叉树Bt,对其进行中序遍历,若二叉树为空,则为空操作;否则进行如下操作:中序遍历二叉树的左子树;访问二叉树根结点;中序遍历二叉树的右子树。 00 Indt_Bt(bitree *Bt) 01 { 02 if (Bt != NULL) 03 { 04 Indt_Bt(Bt->lch); /* 中序遍历左子树 */ 05 printf ("%c", Bt->data); /* 访问根结点 */ 06 Indt_Bt(Bt->rch); /* 中序遍历右子树 */ 07 } 08 }

  36. 2、基于递归遍历算法3 基于递归调用中序遍历:

  37. 2、基于递归遍历算法4 算法5-6 二叉树后序遍历递归算法。 已知二叉树Bt,对其进行后序遍历,若二叉树为空,则为空操作;否则进行如下操作:后序遍历二叉树的左子树;后序遍历二叉树的右子树;访问二叉树根结点。 00 Postv_Bt(bitree *Bt) 01 { 02 if (Bt != NULL) 03 { 04 Postv_Bt(Bt->lch); /* 后序遍历左子树 */ 05 Postv_Bt(Bt->rch); /* 后序遍历右子树 */ 06 printf ("%c", Bt->data); /* 访问根结点 */ 07 } 08 }

  38. 2、基于递归遍历算法4 基于递归调用后序遍历:

  39. §5.3 二叉树的遍历3 3、基于非递归遍历算法 非递归遍历算法中,需要做出三条假设: ① 设置一个一维数组Ss作为顺序栈以临时保存遍历时遇到的结点信息,其栈顶指针为Ss-top,初始时为0。 ② 采用二叉链表结构保存需要遍历的二叉树,起始指针为Bt,每个结点包含Data、Lchild和Rchild等三个域。 ③ 对结点进行的“访问”理解为将该结点的Data域的值打印出来。

  40. 3、基于非递归遍历算法2 00 Pre_Bt(bitree *Bt) 01 { 02 bitree *p; 03 bitree *stack[10]; /* 定义栈数组 */ 04 int top=-1; /* 定义栈顶下标top并赋初值-1 */ 05 printf("\nOutput preorder:"); 06 p= Bt; 07 while(p!=NULL || top!=-1) 08 if (p!=NULL) 09 { 10 printf("%d ",p->data); /* 访问该结点 */ 11 top=top+1;stack[top]=p; /* 访问后入栈 */ 12 p=p->lch; /* 继续深入左孩子 */ 13 } 14 else 15 { 16 p=stack[top];top=top-1; /* 遇空出栈,栈顶给p */ 17 p=p->rch; /* 转向右孩子 */ 18 } 19 } 算法5-7 先序遍历二叉树的非递归算法。 已知二叉树Bt,顺序栈Ss,要求打印出该二叉树的先序遍历序列。

  41. 3、基于非递归遍历算法2 基于非递归二叉树先序遍历:

  42. 3、基于非递归遍历算法3 中序非递归遍历算法流程: bitree *p; 定义及初始化栈; p=root; while(p!=NULL || 栈不空) if (p!=NULL) {p进栈;p=p->lch;} else {栈顶给p并出栈;输出p;p=p->rch;}

  43. 3、基于非递归遍历算法3 00 In_Bt(bitree *Bt) 01 { 02 bitree *stack[10]; /* 定义栈数组 */ 03 int top=-1; /* 定义栈顶下标top并赋初值-1 */ 04 bitree *ptr; 05 ptr = Bt; /* ptr是工作指针 */ 06 do 07 { 08 while (ptr != NULL) /* 一直朝左子树深入下去 */ 09 { 10 top++; /* 调整栈顶指针 */ 11 stack[top] = ptr; /* ptr所指结点进栈 */ 12 ptr = ptr->lch; 13 } 14 if (Ss_top !=-1 ) 15 { 16 ptr = stack[top] ; /* 栈顶元素赋值给ptr */ 17 top -- ; /* 出栈 */ 18 printf ("%d ", ptr->data); /* 访问该结点 */ 19 ptr = ptr->rch; /* 进入右子树访问 */ 20 } 21 }while((ptr !=NULL)||(top!=-1)); 22 } 算法5-8 中序遍历二叉树的非递归算法。 已知二叉树Bt,顺序栈Ss,要求打印出该二叉树的中序遍历序列。

  44. 3、基于非递归遍历算法3 基于非递归二叉树中序遍历(1-4趟):

  45. 3、基于非递归遍历算法3 基于非递归二叉树中序遍历(1-4趟): 46

  46. 3、基于非递归遍历算法4 算法5-9 后序遍历二叉树的非递归算法(略)。 已知二叉树Bt,顺序栈Ss,要求打印出该二叉树的后序遍历序列。 算法要点: 由于后序遍历是“左、右、根”,因此在后序遍历过程中搜索到某个结点时,不是马上访问它,而是将其作为相应子树根结点保存在工作栈中,然后沿着其左子树继续深入直到“最左下”结点。完成对其左子树访问后,从工作栈顶元素中获得相应根结点信息,但仍然不能马上进行访问,而是在工作栈中对其进行第二次保存,同时对其右子树进行遍历。在访问完右子树后,从工作栈中得到根结点信息,由此实现对相应根结点访问。

  47. 3、基于非递归遍历算法4 基于非递归二叉树后序遍历第1-3趟运算变化:

  48. 3、基于非递归遍历算法4 基于非递归二叉树后序遍历第4趟运算变化:

  49. 3、基于非递归遍历算法4 基于非递归二叉树后序遍历第5-7趟运算变化: