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§ 4.6 二次曲线的仿射理论

§ 4.6 二次曲线的仿射理论. 双曲型. 相异的实点. 抛物型.  A 33 的符号仿射不变.  × l ∞ =. 重合的实点 . 椭圆型. 共轭的虚点. 一、二阶曲线与无穷远直线的关系. 二、二阶曲线的中心. 有心 ： ( A 31 , A 32 , A 33 ); 无心 ： ( A 31 , A 32 , 0) 或 ( a 12 , – a 11 ,0) 或 ( a 22 , – a 12 ,0). 三、直径与共轭直径. 性质 . 在以有心二阶曲线  的中心为束心的线束中 , 直径与共轭直径的对应是一个对合.

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§ 4.6 二次曲线的仿射理论

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  1. § 4.6 二次曲线的仿射理论 双曲型 相异的实点 抛物型 A33的符号仿射不变. ×l∞= 重合的实点 椭圆型 共轭的虚点 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 三、直径与共轭直径 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共轭直径的对应是一个对合.

  2. § 4.6 二次曲线的仿射理论 实 双曲线 注3. 有两条 渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 虚 椭 圆 四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论.

  3. § 4.6 二次曲线的仿射理论 双曲线 双曲型对合 椭 圆 椭圆型对合 (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 的两条不变直线. 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径.

  4. § 4.6 二次曲线的仿射理论 法一. 利用对合不变元素. 在 中, 令k=k'得不变元素方程为 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入 即可得两渐近线方程. 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 求Γ的渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线.

  5. § 4.6 二次曲线的仿射理论 法二. 利用中心和渐近方向. 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l∞的交点, 从而它们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式).

  6. § 4.6 二次曲线的仿射理论 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因为 由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而 将中心坐标代入, 得 由此又得 从而, 过中心的切线(渐近线)方程为 令 得渐近线方程为 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而为已知.

  7. § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 例1. (P.142, 例4.22) 求双曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐近线方程. 解. 法一、法二. 见教材. 以下分析法三. 有两种途径. 途径一. 直接计算|aij|和A33, 然后求出, 即可写出方程(4.42). 途径二. 因为渐近线的方程为 (4.42)表示一条退化二阶曲线, 退化为两条相交直线(渐近线). 故 从中解出, 代入(4.42)即可. 这是教材上的方法.

  8. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例2. (P.143, Ex. 5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径 解. 经验证, 两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆), 有公共的中心为坐标原点. 所以可能有公共的共轭直径. 两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为 联立上述, 解出公共的共轭方向为 分别代入直径方程(4.37), 得到公共共轭直径的方程为

  9. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例3. 双曲线的任一切线交两渐近线于两点, 求证：切点是此二交点连线的中点. 证明. 如图, 只要证(PQ, MN∞)=–1. 为此, 只要证CM, CN∞为一对共轭直径. M的极线为PQ CM的极点为l∞PQ=N∞ C的极线为l∞ CM, CN∞为一对共轭直径. N∞的极线为CM CN∞的极点为l∞CM=M∞ C的极线为l∞

  10. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例4. (P.144, Ex.9)任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段. 证明. 目标：PA=BQ. 取AB中点M, 则 从而, M在N∞的极线上. CM, CN∞为一对共轭直径. 于是有 即M也是PQ的中点, 于是有PA=BQ.

  11. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例5. 求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线围成的三角形面积为定值. 证明. 目标：三角形ABC面积为定值. 只要证 只要证 只要证 只要证AB', A'B, l∞共点于P∞. 因为AB, A'B', t, t'构成的一个外切四线形, 根据定理4.10的对偶, 我们有, 这个四线形两双对顶的连线(即AB', A'B)与两组对边上切点的连线(即l∞与AB, A'B'上的切点连线)必定四线共点. 立即得结论.

  12. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例6. (P.144, Ex.10)从双曲线上任一点分别作平行于两渐近线的直线, 求证：这两直线与两渐近线围成的平行四边形面积为定值. 证明. 目标：四边形ACBM面积为定值. 过M作的切线, 分别交的两渐近线于P, Q. 则M为PQ的中点. 由例5, 三角形CPQ的面积为定值. 上述图形在欧氏平面上如右. 利用例5及初等几何知识, 立即可得结论. 思考：对于上述例3－例6, 你能够用解析几何的方法证明吗？如果能, 请将证明过程与高等几何的证明过程作比较.

  13. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例6. (P.144, Ex.11)设PP'是二阶曲线的直径. 任一点Q处的切线交P处的切线于R, P'Q交PR于X. 求证：PR=RX. 证明. 因为PP'是直径, 所以P, P'处的切线交于P∞. 只要证 设Q处的切线交P'处的切线于T. 则P∞RT为的一个外切三线形. 据定理4.12的对偶, PT, P'R, P∞Q三线共点于U. 从而, RUTP∞为一个完全四点形. 由此立即可得 故R为PX的中点, 即PR=RX. 应限定为有心二阶曲线； 或者限定P不是无穷远点. 问：本题是否有问题？

  14. § 4.6 二次曲线的仿射理论 透视关系 射影关系 射影关系 五、应用举例 例7. (P.143, Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦中点的轨迹为另一条二阶曲线. 例7. 证明. 设P为不在渐近线上的定点, 过P的动弦为x, x上的无穷远点为P. 则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分. 设此直径为p. x绕P变动 P沿l变动 p绕C变动 问题：为什么要求P不在渐近线上？ x与p的交点轨迹为一条二阶曲线

  15. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例8. 如图, 设T为抛物线的弦PQ的极点, 过T的直径交弦PQ于N. 求证：线段TN被抛物线平分. 证明. 如图, 设TN与抛物线交于M. 因为TN为直径, 故TN过抛物线上的无穷远点M∞. T的极线为PQ, 故(TN, MM∞)= –1, 即M为TN的中点.

  16. 今日作业 P.143, 4(1), 8 The Class is over. Goodbye!

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