第一节传热基本原理第二节铸件凝固温度场的解析解法

第一节传热基本原理 第二节铸件凝固温度场的解析解法

第一节传热基本原理 一、温度场基本概念二、热传导过程的偏微分方程三、凝固温度场的求解方法

一、温度场基本概念 • 不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间变化的温度场： • 稳定温度场：不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函数）：

等温面：空间具有相同温度点的组合面。 • 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 • 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。

二、热传导过程的偏微分方程 • 三维傅里叶热传导微分方程为：式中: ——导温系数，； ——拉普拉斯运算符号。 • 二维传热： • 一维传热：

对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。 • 初始条件：初始条件是指物体开始导热时（即 t = 0 时）的瞬时温度分布。 • 边界条件：边界条件是指导热体表面与周围介质间的热交换情况。

常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数 • 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。

三、凝固温度场的求解方法 （一）解析法（二）数值方法

（一）解析法 • 解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是解析解。 • 优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。 • 缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。

（二）数值方法 • 数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的近似解（数值解），又称为数值模拟或计算机模拟。 • 差分法: 差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的温度问题，转化为求在时间领域和空间领域内有限个离散点的温度值问题，再用这些离散点上的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的解题基础是用差商来代替微商，这样就将热传导微分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程组，得到各节点的数值解。有限元法: 有限元法是根据变分原理来求解热传导问题微分方程的一种数值计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为有限个单元组成的离散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方程转化为等价的线性方程组，最后求解全域内的总体合成矩阵。

第二节铸件凝固温度场的解析解法 一、半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场二、铸件凝固时间计算三、界面热阻与实际凝固温度场四、铸件凝固方式及其影响因素

T T T10 T10 铸型 λ2 c2 ρ2 铸型 λ2 c2 ρ2 铸件 λ1 c1ρ1 铸件 λ1 c1ρ1 Ti Ti T20 T20 x x 0 0 图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布一、半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场剩余液相铸型已凝固铸件

推导过程 • 假设：（1）凝固过程的初始状态为：铸件与铸型内部分别为均温，铸件起始温度为浇铸温度，铸型的起始温度为环境温度或铸型预热温度；（2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计；（3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放；（4）铸件的热物理参数与铸型的热物理参数不随温度变化；（5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在界面处等温Ti。

求解一维热传导方程： 通解为： erf（x）为高斯误差函数，其计算式为：

T T10 铸型侧铸件侧 Ti T20 • 代入铸件（型）的边界条件得：由在界面处热流的连续性条件可得： • 铸件侧： • 铸型侧： • 图2-4为半无限大平板铸铁件分别在砂型和金属型铸模中浇铸后在 t = 0.01h、0.05h、0.5h时刻的温度分布曲线。

二、铸件凝固时间计算 铸件的凝固时间：是指从液态金属充满型腔后至凝固完毕所需要的时间。铸件凝固时间是制订生产工艺、获得稳定铸件质量的重要依据。 • 无限大平板铸件的凝固时间 (理论计算法) • 大平板铸件凝固时间计算（凝固系数法） • 一般铸件凝固时间计算的近似公式（模数法）

T T10 铸型侧铸件侧 Ti T20 • 对于铸型： • 所以： • 凝固时间 t 内导出的总热量： • 至凝固结束时刻，铸件放出的总热量（包括潜热L）： • 根据能量守恒定律得：

对于大平板铸件，凝固层厚度 ξ与凝固层体积 V1 、铸件与铸型间接触面积 A1 三者间满足关系式：令（K —凝固系数，与铸件与铸型材料有关，可由试验测定，见表2-3 ） • 得：或：

将式（2-29）中的V1与A1推广理解为一般形状铸件的体积与表面积，并令：将式（2-29）中的V1与A1推广理解为一般形状铸件的体积与表面积，并令： • 可得一般铸件凝固时间的近似计算公式： • R为铸件的折算厚度，称为“模数”。“模数法” 也称为“折算厚度法则”。

砂型金属型

从传热学角度来说，模数代表着铸件热容量与散热表面积之间的比值关系，凝固时间随模数增大而延长。对于形状复杂的铸件，其体积与表面积的计算都是比较麻烦的，这时可将复杂铸件的各部分看作是形状简单的平板、圆柱体、球、长方体等单元体的组合，分别计算出各单元体的模数，但各单元体的结合面不计入散热面积中。一般情况下：从传热学角度来说，模数代表着铸件热容量与散热表面积之间的比值关系，凝固时间随模数增大而延长。对于形状复杂的铸件，其体积与表面积的计算都是比较麻烦的，这时可将复杂铸件的各部分看作是形状简单的平板、圆柱体、球、长方体等单元体的组合，分别计算出各单元体的模数，但各单元体的结合面不计入散热面积中。一般情况下：模数最大的单元体的凝固时间即为铸件的凝固时间。

三、界面热阻与实际凝固温度场 • 上述关于铸造过程凝固温度场的分布以及凝固时间的讨论均将铸件与铸型的接触当作是理想状态下的紧密接触，实际界面存在热阻。界面局部接触，有间隙铸型型腔内表面常存在涂料热阻来源实际界面接触状况与涂料状况对界面热阻大小有重要影响。

根据铸件、铸型的热物理性能与界面状况，铸件凝固过程温度场的分布特点可分为四种情况来讨论：根据铸件、铸型的热物理性能与界面状况，铸件凝固过程温度场的分布特点可分为四种情况来讨论： 1. 金属铸件与绝热型铸型 2. 界面热阻较大的金属铸型 3. 界面热阻很小的金属铸型 4. 非金属铸件与金属铸型

T L S’ T20 金属铸型 0 x 非金属铸件时的凝固温度分布 T T T L L L S’ S’ S’ T20 T20 T20 金属铸型非金属铸型金属铸型 0 x 0 x 0 x 以界面热阻为主的凝固温度分布绝热型铸型时的凝固温度分布界面热阻很小时的凝固温度分布

四、铸件凝固方式及其影响因素 （一）铸件动态凝固曲线（二）铸件凝固方式分类（三）铸件凝固方式的影响因素

根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分为逐层凝固方式与体积凝固方式（或糊状凝固方式）。根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分为逐层凝固方式与体积凝固方式（或糊状凝固方式）。 • 当固液两相区很窄时称为逐层凝固方式，反之为糊状凝固方式，固液两相区宽度介于两者之间的称为“中间凝固方式”。 • 铸件凝固方式对凝固液相的补缩能力影响很大，从而影响最终铸件的致密性和热裂纹产生几率。

（二）铸件动态凝固曲线 • 铸型型腔内各个部位的凝固状况的动态变化，可通过在浇注前在铸型型腔内预置测温热电偶，来记录凝固过程中各点的温度变化，从而可以绘制出各个瞬间铸型内的凝固状况。所得图形称为铸件动态凝固曲线。 • 可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的横向距离直观地得出铸件内各部位的开始凝固时刻与凝固结束时刻，也可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的纵向距离得出凝固过程中的任一时刻铸件断面上已凝固固相区、固液两相区和尚未凝固的液相区的宽度。

图2-10 不同碳钢的动态凝固曲线

铝合金的动态凝固曲线 温度梯度 G 对凝固方式的影响: G大 → 两相区窄 G小 → 两相区宽实际铸件凝固中的温度梯度受很多因素影响, 包括铸型的导热性能、预热温度、合金的浇注温度等。

窄陡宽平逐层凝固中间凝固体积凝固（三）铸件凝固方式的影响因素合金凝固温度区间的影响温度梯度的影响

（一）铸件凝固方式分类 固-液液-固固相区固液相区液相区图2-8 凝固区域结构示意图

K / ( ) 常见材料的凝固系数 / ( )

凝固终了对合面部位的疏松 Al-10%Cu 合金凝固枝晶间的疏松

本章结束

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