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二、微分的几何意义

§2.5 函数的微分. 一、微分的概念. 二、微分的几何意义. 三、微分的运算法则. 四、微分在近似计算中的应用. 得增量. 时 ,. 时为. 高阶无穷小. 称为函数在 的微分. 一、微分的概念. 其. 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 ,. 边长由. 变到. 问此薄片面积改变了多少 ?. 取. 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则. 当 x 在. 面积的增量为. 关于△ x 的 线性主部. 故. 在点 的增量可表示为. 而 称为. 在点 可微的 充要条件 是.

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二、微分的几何意义

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Presentation Transcript

  1. §2.5函数的微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用

  2. 得增量 时, 时为 高阶无穷小 称为函数在 的微分 一、微分的概念 其 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 取 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 当 x 在 面积的增量为 关于△x的线性主部 故

  3. 在点 的增量可表示为 而 称为 在点 可微的充要条件是 定义:若函数 ( A为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 的微分, 记作 即 定理:函数 即

  4. 在点 可微的充要条件是 在点 可微 , 在点 的可导, 定理 : 函数 且 即 在点 处可导, 证: “必要性” 则 已知 故 且

  5. 在点 可微的充要条件是 在点 的可导, 定理 : 函数 且 即 在点 处可导, 已知 则 “充分性” 即

  6. 注: 当 时 , 故当 与 是等价无穷小, 时 所以 很小时, 有近似公式

  7. yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy= f(x0)Dx 例1求函数yx2在x1和x3处的微分 函数yx2在x1处的微分为 解 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例2求函数 yx3当x2Dx002时的微分 先求函数在任意点x的微分 解 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, Dx=0.02 =3220.02=0.24 =3x2| x=2, Dx=0.02

  8. 二、微分的几何意义 当x从x0变到x0+Dx时 Dy是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0 f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|Dx|很小时|Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 记 记作 自变量的微分, 导数也叫作微商 从而 则有

  9. 三、微分的基本公式和运算法则 1.基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x (tan x)sec2x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (ax)axln a (ex)ex d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(ax)axln adx d(ex)exdx

  10. 导数公式: 微分公式:

  11. 2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C为常数) 3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 微分形式不变

  12. 例4 若yf(u) uj(x) 则dyf(u)du 例3ysin(2x1) 求dy 把2x1看成中间变量u 则 解 dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 解

  13. 求 例5. 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.

  14. 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 当 很小时, 得近似等式: 使用原则:

  15. 很小) 特别当 很小时, 常用近似公式: 证明: 令 得

  16. 取 例7. 求 的近似值 . 例8. 计算 的近似值 . 解:设 解: 则

  17. 例9. 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜 , 用铜多少克 . 解:已知球体体积为 镀铜体积为 V在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g )

  18. 2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量A 的绝对误差限 称为测量A 的相对误差限

  19. 误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 按公式 计算y值时的误差 故 y的绝对误差限约为 相对误差限约为

  20. 例10.设测得圆钢截面的直径 测量D 的 欲利用公式 计算 绝对误差限 圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为 (mm) A 的相对误差限约为

  21. 练习 1.

  22. 4.设 由方程 确定, 求 得 解: 方程两边求微分, 时 当 由上式得

  23. 作业：p- P123习题2-4 3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ;9(2)

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