数字电子技术
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数字电子技术. 湖南计算机高等专科学校李中发 胡锦 制作. 第 1 章 数字电子技术基础. 学习要点: 二进制、二进制与十进制的相互转换 逻辑代数的公式与定理、逻辑函数化简 基本逻辑门电路的逻辑功能. 第 1 章 数字电子技术基础. 1.1 数字电子技术基础. 1.2 数制与编码. 1.3 逻辑代数基础. 1.4 逻辑函数的化简. 1.5 逻辑函数的表示方法及其相互转换. 1.6 门电路. 退出. 1.1 数字电路概述. 1.1.1 数字信号与数字电路. 1.1.2 数字电路的特点与分类.

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数字电子技术

湖南计算机高等专科学校李中发 胡锦 制作


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1章 数字电子技术基础

  • 学习要点:

  • 二进制、二进制与十进制的相互转换

  • 逻辑代数的公式与定理、逻辑函数化简

  • 基本逻辑门电路的逻辑功能


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1章 数字电子技术基础

1.1 数字电子技术基础

1.2 数制与编码

1.3 逻辑代数基础

1.4 逻辑函数的化简

1.5 逻辑函数的表示方法及其相互转换

1.6 门电路

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1.1 数字电路概述

1.1.1 数字信号与数字电路

1.1.2 数字电路的特点与分类

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1.1.1 数字信号与数字电路

数字信号:在时间上和数值上不连续的(即离散的)信号。

模拟信号:在时间上和数值上连续的信号。

u

u

t

t

模拟信号波形

数字信号波形

对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。

对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。


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1.1.2 数字电路的的特点与分类

1、数字电路的特点

(1)工作信号是二进制的数字信号,在时间上和数值上是离散的(不连续),反映在电路上就是低电平和高电平两种状态(即0和1两个逻辑值)。

(2)在数字电路中,研究的主要问题是电路的逻辑功能,即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。

(3)对组成数字电路的元器件的精度要求不高,只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。


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2、数字电路的分类

(1)按集成度分类:数字电路可分为小规模(SSI,每片数十器件)、中规模(MSI,每片数百器件)、大规模(LSI,每片数千器件)和超大规模(VLSI,每片器件数目大于1万)数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。

(2)按所用器件制作工艺的不同:数字电路可分为双极型(TTL型)和单极型(MOS型)两类。

(3)按照电路的结构和工作原理的不同:数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有记忆功能,其输出信号只与当时的输入信号有关,而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有记忆功能,其输出信号不仅和当时的输入信号有关,而且与电路以前的状态有关。


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本节小结

数字信号的数值相对于时间的变化过程是跳变的、间断性的。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。模拟信号通过模数转换后变成数字信号,即可用数字电路进行传输、处理。


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1. 2 数制与编码

1.2.1 数制

1.2.2 数制转换

1.2.3 编码

退出


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1.2.1 数制

(1)进位制:表示数时,仅用一位数码往往不够用,必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制,简称进位制。

(2)基 数:进位制的基数,就是在该进位制中可能用到的数码个数。

(3) 位 权(位的权数):在某一进位制的数中,每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数,这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。


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1、十进制

数码为:0~9;基数是10。

运算规律:逢十进一,即:9+1=10。

十进制数的权展开式:

5×103=5000

103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。

5×102= 500

5×101=  50

任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和,称权展开式。

5×100=   5 

5 5 5 5

=5555

同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。

即:(5555)10=5×103+5×102+5×101+5×100

又如:(209.04)10= 2×102+0×101+9×100+0×10-1+4 ×10-2


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2、二进制

数码为:0、1;基数是2。

运算规律:逢二进一,即:1+1=10。

二进制数的权展开式:

如:(101.01)2= 1×22+0×21+1×20+0×2-1+1 ×2-2 =(5.25)10

各数位的权是2的幂

二进制数只有0和1两个数码,它的每一位都可以用电子元件来实现,且运算规则简单,相应的运算电路也容易实现。

运算规则

加法规则:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10

乘法规则:0.0=0, 0.1=0 ,1.0=0,1.1=1


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3、八进制

数码为:0~7;基数是8。

运算规律:逢八进一,即:7+1=10。

八进制数的权展开式:

如:(207.04)10= 2×82+0×81+7×80+0×8-1+4 ×8-2 =(135.0625)10

各数位的权是8的幂

4、十六进制

数码为:0~9、A~F;基数是16。

运算规律:逢十六进一,即:F+1=10。

十六进制数的权展开式:

如:(D8.A)2= 13×161+8×160+10 ×16-1=(216.625)10

各数位的权是16的幂


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结论

①一般地,N进制需要用到N个数码,基数是N;运算规律为逢N进一。

②如果一个N进制数M包含n位整数和m位小数,即 (an-1 an-2 … a1 a0 · a-1 a-2 … a-m)2

则该数的权展开式为:

(M)2= an-1×Nn-1+an-2 ×Nn-2+ … +a1×N1+a0×N0+a-1 ×N-1+a-2 ×N-2+… +a-m×N-m

③由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。


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1.2.2 数制转换

将N进制数按权展开,即可以转换为十进制数。

1、二进制数与八进制数的相互转换

(1)二进制数转换为八进制数: 将二进制数由小数点开始,整数部分向左,小数部分向右,每3位分成一组,不够3位补零,则每组二进制数便是一位八进制数。

0 0

1 1 0 1 0 1 0 . 0 1

= (152.2)8

0

(2)八进制数转换为二进制数:将每位八进制数用3位二进制数表示。

(374.26)8

= 011 111 100 . 010 110


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2、二进制数与十六进制数的相互转换

二进制数与十六进制数的相互转换,按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。

0 0 0

1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1

0

= (1E8.6)16

(AF4.76)16

= 1010 1111 0100 . 0111 0110

3、十进制数转换为二进制数

  • 采用的方法 — 基数连除、连乘法

  • 原理:将整数部分和小数部分分别进行转换。

  • 整数部分采用基数连除法,小数部分

  • 采用基数连乘法。转换后再合并。


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整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。

小数部分采用基数连乘法,先得到的整数为高位,后得到的整数为低位。

所以:(44.375)10=(101100.011)2

采用基数连除、连乘法,可将十进制数转换为任意的N进制数。


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1.2.3 整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。编码

数字系统只能识别0和1,怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢?用编码可以解决此问题。

用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。

用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。

二-十进制代码:用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 ~ 9 十个数码。简称BCD码。

用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码,因各位的权值依次为8、4、2、1,故称8421 BCD码。

2421码的权值依次为2、4、2、1;余3码由8421码加0011得到;格雷码是一种循环码,其特点是任何相邻的两个码字,仅有一位代码不同,其它位相同。


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本节小结整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。

日常生活中使用十进制,但在计算机中基本上使用二进制,有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时,整数部分采用基数除法,小数部分采用基数乘法。利用1位八进制数由3位二进制数构成,1位十六进制数由4位二进制数构成,可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互转换。

  二进制代码不仅可以表示数值,而且可以表示符号及文字,使信息交换灵活方便。BCD码是用4位二进制代码代表1位十进制数的编码,有多种BCD码形式,最常用的是8421 BCD码。


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1.3 整数部分采用基数连除法,先得到的余数为低位,后得到的余数为高位。逻辑代数基础

1.3.1 逻辑代数的基本概念

1.3.2 逻辑代数的公式、定理和规则

1.3.3 逻辑函数的表达式

退出


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  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有0和1两种逻辑值,有与、或、非三种基本逻辑运算,还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。

  逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。

  事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ,称为逻辑0状态和逻辑1状态。

逻辑代数中的变量称为逻辑变量,用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1,0 和 1 称为逻辑常量,并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态。


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1.3.1   逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有基本逻辑运算

1、与逻辑(与运算)

  与逻辑的定义:仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A,B,C,…)均满足时,事件(Y)才能发生。表达式为:

Y=ABC…

开关A,B串联控制灯泡Y


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A  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有断开、B接通,灯不亮。

A、B都断开,灯不亮。

A接通、B断开,灯不亮。

A、B都接通,灯亮。

两个开关必须同时接通,灯才亮。逻辑表达式为:

Y=AB


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将开关接通记作  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有1,断开记作0;灯亮记作1,灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系:

功能表

真值表

这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。

逻辑符号

实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号:

Y=AB


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2  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、或逻辑(或运算)

  或逻辑的定义:当决定事件(Y)发生的各种条件(A,B,C,…)中,只要有一个或多个条件具备,事件(Y)就发生。表达式为:

Y=A+B+C+…

  开关A,B并联控制灯泡Y


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A  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、B都断开,灯不亮。

A断开、B接通,灯亮。

A接通、B断开,灯亮。

A、B都接通,灯亮。

两个开关只要有一个接通,灯就会亮。逻辑表达式为:

Y=A+B


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功能表  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有

真值表

逻辑符号

实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号:

Y=A+B


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Y=A  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有

3、非逻辑(非运算)

  非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件(Y)发生的条件(A)满足时,事件不发生;条件不满足,事件反而发生。表达式为:

开关A控制灯泡Y


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Y=A  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有

A接通,灯灭。

A断开,灯亮。

真值表

功能表

逻辑符号

实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号:


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4  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、常用的逻辑运算

(1)与非运算:逻辑表达式为:

(2)或非运算:逻辑表达式为:


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  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有3)异或运算:逻辑表达式为:

(4) 与或非运算:逻辑表达式为:


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5  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、逻辑函数及其相等概念

  (1)逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量,等式左边的字母Y称为输出逻辑变量,字母上面没有非运算符的叫做原变量,有非运算符的叫做反变量。

  (2)逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值,则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为

注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变量还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两种不同的状态,没有数量的含义。


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  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有3)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数

  它们的变量都是A、B、C、…,如果对应于变量A、B、C、…的任何一组变量取值,Y1和Y2的值都相同,则称Y1和Y2是相等的,记为Y1=Y2。

  若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之,若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。因此,要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表,看看它们的真值表是否相同即可。

证明等式:


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1.3.2   逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有逻辑代数的公式、定理和规则

1、逻辑代数的公式和定理

(1)常量之间的关系

(2)基本公式

分别令A=0及A=1代入这些公式,即可证明它们的正确性。


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  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有3)基本定理

利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A:


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证明分配率:  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有A+BA=(A+B)(A+C)

证明:

分配率A(B+C)=AB+AC

(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC

=A+AB+AC+BC

等幂率AA=A

分配率A(B+C)=AB+AC

=A(1+B+C)+BC

=A+BC

0-1率A+1=1


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互补率  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有A+A=1

(4)常用公式

分配率A+BC=(A+B)(A+C)

0-1率A·1=1


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互补率  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有A+A=1

分配率A(B+C)=AB+AC

0-1率A+1=1


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2  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、逻辑代数运算的基本规则

 (1)代入规则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

  例如,已知等式       ,用函数Y=AC代替等式中的A,根据代入规则,等式仍然成立,即有:

 (2)反演规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称为反演规则。例如:


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 (  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有3)对偶规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式Y',Y'称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如:

  对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如:

注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后非运算,否则容易出错。


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1.3.3   逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有逻辑函数的表达式

  一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。

  一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同,但逻辑功能是相同的。


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1  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有、逻辑函数的最小项及其性质

  (1)最小项:如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量,其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个乘积项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项:

  (2)最小项的表示方法:通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定:把最小项中的原变量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为:


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ABC  逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有

ABC

(3)最小项的性质:

①任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1。

②任意两个不同的最小项的乘积必为0。

③全部最小项的和必为1。


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  对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式  对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式A+A=1 和A(B+C)=AB+BC来配项展开成最小项表达式。

2、逻辑函数的最小项表达式

  任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式


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m  对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式1=ABC

m5=ABC

m1=ABC

m3=ABC

  如果列出了函数的真值表,则只要将函数值为1的那些最小项相加,便是函数的最小项表达式。

  将真值表中函数值为0的那些最小项相加,便可得到反函数的最小项表达式。


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本节小结  对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式

逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数,可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述,并且可以用逻辑运算的方法,解决逻辑电路的分析和设计问题。

  与、或、非是3种基本逻辑关系,也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。

  逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。


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1.4   对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式逻辑函数的化简

1.4.1 逻辑函数的最简表达式

1.4.2 逻辑函数的公式化简法

1.4.3 逻辑函数的图形化简法

1.4.4 含随意项的逻辑函数的化简

退出


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  逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。  逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。

1.4.1 逻辑函数的最简表达式

1、最简与或表达式

  乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。

最简与或表达式


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2  逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。、最简与非-与非表达式

  非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。

②用摩根定律去掉下面的非号

①在最简与或表达式的基础上两次取反

3、最简或与表达式

 括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。

①求出反函数的最简与或表达式

②利用反演规则写出函数的最简或与表达式


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4  逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。、最简或非-或非表达式

  非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。

①求最简或非-或非表达式

③用摩根定律去掉下面的非号

②两次取反

5、最简与或非表达式

  非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。

②用摩根定律去掉大非号下面的非号

①求最简或非-或非表达式


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利用公式A+A=  逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单,实现它的电路越简单,电路工作越稳定可靠。1,将两项合并为一项,并消去一个变量。

1.4.2 逻辑函数的公式化简法

  逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。

1、并项法

运用分配律

若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量,而其他因子都相同时,则这两项可以合并成一项,并消去互为反变量的因子。

运用分配律

运用摩根定律


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(2)利用公式A+AB=AB,消去多余的变量。(2)利用公式A+AB=AB,消去多余的变量。

2、吸收法

(1)利用公式A+AB=A,消去多余的项。

  如果乘积项是另外一个乘积项的因子,则这另外一个乘积项是多余的。

运用摩根定律

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子,则这个因子是多余的。


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(1)利用公式A=A(B+B),为某一项配上其所缺的变量,以便用其它方法进行化简。(1)利用公式A=A(B+B),为某一项配上其所缺的变量,以便用其它方法进行化简。

3、配项法

(2)利用公式A+A=A,为某项配上其所能合并的项。


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利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

4、消去冗余项法


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利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。:化简函数

解:①先求出Y的对偶函数Y',并对其进行化简。 

②求Y'的对偶函数,便得Y的最简或与表达式。


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1.4.3 利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。逻辑函数的图形化简法

  逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示,利用卡诺图来化简逻辑函数。

1、卡诺图的构成

  将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式,并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列,这样构成的图形就是卡诺图。

每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻

每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻

  卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。(相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量,其余因子均相同,又称为逻辑相邻项) 。


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每个利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。4变量的最小项有4个最小项与它相邻

最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的

最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的

两个相邻最小项可以合并消去一个变量

逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并


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2利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。、逻辑函数在卡诺图中的表示

 (1)逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出:在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1,其余的方格内填入0。

m4

m1

m3

m11

m7

m14

m6

m15


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AD的公因子利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

  说明:如果求得了函数Y的反函数Y,则对Y中所包含的各个最小项,在卡诺图相应方格内填入0,其余方格内填入1。

BC的公因子

 (2)逻辑函数以一般的逻辑表达式给出:先将函数变换为与或表达式(不必变换为最小项之和的形式),然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项(该乘积项就是这些最小项的公因子)相对应的方格内填入1,其余的方格内填入0。

变换为与或表达式


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3利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。、卡诺图的性质

 (1)任何两个(21个)标1的相邻最小项,可以合并为一项,并消去一个变量(消去互为反变量的因子,保留公因子)。


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 (利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。2)任何4个(22个)标1的相邻最小项,可以合并为一项,并消去2个变量。


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 BD利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

BD

AD

BD


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利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

 (3)任何8个(23个)标1的相邻最小项,可以合并为一项,并消去3个变量。

小结:相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项,并消去个变量。包含的最小项数目越多,即由这些最小项所形成的圈越大,消去的变量也就越多,从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。


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4利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。、图形法化简的基本步骤

逻辑表达式或真值表

1

1

卡诺图


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利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。圈越大越好,但每个圈中标1的方格数目必须为 个。②同一个方格可同时画在几个圈内,但每个圈都要有新的方格,否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标1的方格。

ACD

2

2

CD

BD

冗余项

将代表每个圈的乘积项相加

3

合并最小项

3

最简与或表达式


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ACD+BCD+ABC+AD利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

BCD+ABC+AD

两点说明:

  ① 在有些情况下,最小项的圈法不只一种,得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同,哪个是最简的,要经过比较、检查才能确定。

不是最简

最简


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AC+ABD+ABC+BCD利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

AC+ABD+ABC+ABD

  ② 在有些情况下,不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。


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A B C D利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。

Y

A B C D

Y

说 明

0 0 0 0

1

1 0 0 0

1

0 0 0 1

0

1 0 0 1

0

0 0 1 0

1

1 0 1 0

×

不会出现

0 0 1 1

0

1 0 1 1

×

不会出现

0 1 0 0

1

1 1 0 0

×

不会出现

0 1 0 1

0

1 1 0 1

×

不会出现

0 1 1 0

1

1 1 1 0

×

不会出现

0 1 1 1

0

1 1 1 1

×

不会出现

1.4.4 含随意项的逻辑函数的化简

1、含随意项的逻辑函数

随意项:函数可以随意取值(可以为0,也可以为1)或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项,也叫做约束项或无关项。

例如:判断一位十进制数是否为偶数。


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  输入变量利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,将冗余项BC消去。A,B,C,D取值为0000~1001时,逻辑函数Y有确定的值,根据题意,偶数时为1,奇数时为0。

A,B,C,D取值为1010 ~1111的情况不会出现或不允许出现,对应的最小项属于随意项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。

  随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件,用一个值恒为 0 的条件等式表示。


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  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

2、含随意项的逻辑函数的化简

  在逻辑函数的化简中,充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式,因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中,随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲,如果随意项对化简有利,则取1;如果随意项对化简不利,则取0。

不利用随意项的化简结果为:

利用随意项的化简结果为:


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3  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:、变量互相排斥的逻辑函数的化简

  在一组变量中,如果只要有一个变量取值为1,则其它变量的值就一定为0,具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。

简化真值表


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本节小结  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简,这种方法适用于各种复杂的逻辑函数,但需要熟练地运用公式和定理,且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简,这种方法简单直观,容易掌握,但变量太多时卡诺图太复杂,图形法已不适用。在对逻辑函数化简时,充分利用随意项可以得到十分简单的结果。


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1.5   含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:逻辑函数的表示方法及其相互转换

1.5.1 逻辑函数的表示方法

1.5.2 逻辑函数表示方法之间的转换

退出


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1.5.1   含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:逻辑函数的表示方法

1、真值表

   真值表:是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。

  真值表列写方法:每一个变量均有0、1两种取值,n个变量共有2i种不同的取值,将这2i种不同的取值按顺序(一般按二进制递增规律)排列起来,同时在相应位置上填入函数的值,便可得到逻辑函数的真值表。

  例如:当A=B=1、或则B=C=1时,函数Y=1;否则Y=0。


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2  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:、逻辑表达式

3、卡诺图

  逻辑表达式:是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。

 卡诺图:是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。

  逻辑函数卡诺图的填写方法:在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1,其余的方格内填入0,便得到该函数的卡诺图。

  函数的标准与或表达式的列写方法:将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加,便得到函数的标准与或表达式。


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  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

4、逻辑图

5、波形图

  波形图:是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。

  逻辑图:是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。

Y=AB+BC

Y=AB+BC

AB

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 0 0

1 1 1 1

BC


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1.5.2   含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:逻辑函数表示方法之间的转换

1、由真值表到逻辑图的转换

真值表

1

1

逻辑表达式或卡诺图

化简

2

2

最简与或表达式


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A  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

B

B

C

C

A

&

&

&

≥1

&

&

&

&

ABC

ABC

AB

AB

AC

最简与或表达式

3

B

3

A

Y

画逻辑图

A

AC

C

若用与非门实现,将最简与或表达式变换乘最简与非-与非表达式

B

A

Y

A

C


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≥1  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

B

A

B

C

&

A

Y

≥1

A

≥1

C

2、由逻辑图到真值表的转换

逻辑图

从输入到输出逐级写出

1

1

逻辑表达式

化简

2

2

最简与或表达式


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最简与或表达式  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

3

3

真值表


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本节小结  含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:

①逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图5种方式表示,它们各具特点,但本质相通,可以互相转换。

 ②对于一个具体的逻辑函数,究竟采用哪种表示方式应视实际需要而定。

 ③在使用时应充分利用每一种表示方式的优点。由于由真值表到逻辑图和由逻辑图到真值表的转换,直接涉及到数字电路的分析和设计问题,因此显得更为重要。


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1.6   含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式:门电路

1.6.1 半导体器件的开关特性

1.6.2 分立元件门电路

1.6.3 TTL集成门电路

1.6.4 CMOS集成门电路

退出


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

  基本和常用门电路有与门、或门、非门(反相器)、与非门、或非门、与或非门和异或门等。

  逻辑0和1: 电子电路中用高、低电平来表示。

  获得高、低电平的基本方法:利用半导体开关元件的导通、截止(即开、关)两种工作状态。

1.6.1 半导体器件的开关特性

1、二极管的开关特性

+ uD  -

二极管符号:

负极

正极


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U  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。i<0.5V时,二极管截止,iD=0。

Ui>0.5V时,二极管导通。

uo

uo

ui=5V时,二极管导通,如同0.7V的电压源,uo=4.3V。

ui=0V时,二极管截止,如同开关断开,uo=0V。

二极管的反向恢复时间限制了二极管的开关速度。


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2  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、三极管的开关特性


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+V  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。CC

+VCC

Rc

Rc

Rb

Rb

b

c

b

c

0.3V

0.7V

e

e

饱和区

截止区

饱和状态

截止状态

iB≥IBS

ui=UIL<0.5V

uo=+VCC

uo=0.3V

ui=UIH


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。ui=0.3V时,因为uBE<0.5V,iB=0,三极管工作在截止状态,ic=0。因为ic=0,所以输出电压:

uo=VCC=5V

③ui=3V时,三极管导通,基极电流:

①ui=1V时,三极管导通,基极电流:

三极管临界饱和时的基极电流:

因为0<iB<IBS,三极管工作在放大状态。iC=βiB=50×0.03=1.5mA,输出电压:

因为iB>IBS,三极管工作在饱和状态。输出电压:

uo=UCES=0.3V

uo=uCE=UCC-iCRc=5-1.5×1=3.5V


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+V  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。DD

RD

D

ui

G

ui

S

+VDD

+VDD

RD

RD

G

G

D

D

S

S

3、场效应管的开关特性

工作原理电路

转移特性曲线

输出特性曲线

截止状态

导通状态

uo=+VDD

uo≈0

ui>UT

ui<UT


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1.6.2   逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。分立元件门电路

1、二极管与门

Y=AB


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2  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、二极管或门

Y=A+B


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3  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、三极管非门

三极管临界饱和时的基极电流为:

iB>IBS,三极管工作在饱和状态。输出电压uY=UCES=0.3V。

①uA=0V时,三极管截止,iB=0,iC=0,输出电压uY=VCC=5V

②uA=5V时,三极管导通。基极电流为:


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。当uA=0V时,由于uGS=uA=0V,小于开启电压UT,所以MOS管截止。输出电压为uY=VDD=10V。

②当uA=10V时,由于uGS=uA=10V,大于开启电压UT,所以MOS管导通,且工作在可变电阻区,导通电阻很小,只有几百欧姆。输出电压为uY≈0V。


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1.6.3 TTL  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。集成门电路

1、TTL与非门


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0.3V  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

3.6V

1V

①输入信号不全为1:如uA=0.3V, uB=3.6V

则uB1=0.3+0.7=1V,T2、T5截止,T3、T4导通

uY≈5―0.7―0.7=3.6V

忽略iB3,输出端的电位为:

输出Y为高电平。


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3.6V  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

3.6V

2.1V

②输入信号全为1:如uA=uB=3.6V

则uB1=2.1V,T2、T5导通,T3、T4截止

输出端的电位为:

uY=UCES=0.3V

输出Y为低电平。


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真值表  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

功能表

逻辑表达式

输入有低,输出为高;输入全高,输出为低。


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74LS00  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。内含4个2输入与非门,74LS20内含2个4输入与非门。


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2  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、TTL非门、或非门、与或非门、与门、或门及异或门

TTL非门

①A=0时,T2、T5截止,T3、T4导通,Y=1。

②A=1时,T2、T5导通,T3、T4截止,Y=0。


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TTL  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。或非门

①A、B中只要有一个为1,即高电平,如A=1,则iB1就会经过T1集电结流入T2基极,使T2、T5饱和导通,输出为低电平,即Y=0。

②A=B=0时,iB1、i'B1均分别流入T1、T'1发射极,使T2、T'2、T5均截止,T3、T4导通,输出为高电平,即Y=1。


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TTL  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。与或非门

①A和B都为高电平(T2导通)、或C和D都为高电平(T‘2导通)时,T5饱和导通、T4截止,输出Y=0。

②A和B不全为高电平、并且C和D也不全为高电平(T2和T‘2同时截止)时,T5截止、T4饱和导通,输出Y=1。


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Y=AB=AB  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

Y=A+B=A+B

与门

或门

异或门


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3  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、OC门及TSL门

OC门

问题的提出:

为解决一般TTL与非门不能线与而设计的。

接入外接电阻R后:

①A、B不全为1时,uB1=1V,T2、T3截止,Y=1。

②A、B全为1时,uB1=2.1V,T2、T3饱和导通,Y=0。

外接电阻R的取值范围为:


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。E=1时,二极管D截止,TSL门的输出状态完全取决于输入信号A的状态,电路输出与输入的逻辑关系和一般反相器相同,即:Y=A,A=0时Y=1,为高电平;A=1时Y=0,为低电平。

TSL门

①E=0时,二极管D导通,T1基极和T2基极均被钳制在低电平,因而T2~T5均截止,输出端开路,电路处于高阻状态。

结论:电路的输出有高阻态、高电平和低电平3种状态。


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。作多路开关:E=0时,门G1使能,G2禁止,Y=A;E=1时,门G2使能,G1禁止,Y=B。

②信号双向传输:E=0时信号向右传送,B=A;E=1时信号向左传送,A=B 。

TSL门的应用:

③构成数据总线:让各门的控制端轮流处于低电平,即任何时刻只让一个TSL门处于工作状态,而其余TSL门均处于高阻状态,这样总线就会轮流接受各TSL门的输出。


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4  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、TTL系列集成电路及主要参数

TTL系列集成电路

①74:标准系列,前面介绍的TTL门电路都属于74系列,其典型电路与非门的平均传输时间tpd=10ns,平均功耗P=10mW。

②74H:高速系列,是在74系列基础上改进得到的,其典型电路与非门的平均传输时间tpd=6ns,平均功耗P=22mW。

③74S:肖特基系列,是在74H系列基础上改进得到的,其典型电路与非门的平均传输时间tpd=3ns,平均功耗P=19mW。

④74LS:低功耗肖特基系列,是在74S系列基础上改进得到的,其典型电路与非门的平均传输时间tpd=9ns,平均功耗P=2mW。74LS系列产品具有最佳的综合性能,是TTL集成电路的主流,是应用最广的系列。


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TTL  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。与非门主要参数

(1)输出高电平UOH:TTL与非门的一个或几个输入为低电平时的输出电平。产品规范值UOH≥2.4V,标准高电平USH=2.4V。

(2)高电平输出电流IOH:输出为高电平时,提供给外接负载的最大输出电流,超过此值会使输出高电平下降。IOH表示电路的拉电流负载能力。

(3)输出低电平UOL:TTL与非门的输入全为高电平时的输出电平。产品规范值UOL≤0.4V,标准低电平USL=0.4V。

(4)低电平输出电流IOL:输出为低电平时,外接负载的最大输出电流,超过此值会使输出低电平上升。IOL表示电路的灌电流负载能力。

(5)扇出系数NO:指一个门电路能带同类门的最大数目,它表示门电路的带负载能力。一般TTL门电路NO≥8,功率驱动门的NO可达25。

(6)最大工作频率fmax:超过此频率电路就不能正常工作。


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。7)输入开门电平UON:是在额定负载下使与非门的输出电平达到标准低电平USL的输入电平。它表示使与非门开通的最小输入电平。一般TTL门电路的UON≈1.8V。

(8)输入关门电平UOFF:使与非门的输出电平达到标准高电平USH的输入电平。它表示使与非门关断所需的最大输入电平。一般TTL门电路的UOFF≈0.8V。

(9)高电平输入电流IIH:输入为高电平时的输入电流,也即当前级输出为高电平时,本级输入电路造成的前级拉电流。

(10)低电平输入电流IIL:输入为低电平时的输出电流,也即当前级输出为低电平时,本级输入电路造成的前级灌电流。

(11)平均传输时间tpd:信号通过与非门时所需的平均延迟时间。在工作频率较高的数字电路中,信号经过多级传输后造成的时间延迟,会影响电路的逻辑功能。

(12)空载功耗:与非门空载时电源总电流ICC与电源电压VCC的乘积。


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1.6.3 CMOS  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。集成门电路

1、CMOS非门

(1)uA=0V时,TN截止,TP导通。输出电压uY=VDD=10V。

(2)uA=10V时,TN导通,TP截止。输出电压uY=0V。


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2  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、CMOS与非门、或非门、与门、或门、与或非门和异或门

CMOS与非门

①A、B当中有一个或全为低电平时,TN1、TN2中有一个或全部截止,TP1、TP2中有一个或全部导通,输出Y为高电平。

②只有当输入A、B全为高电平时,TN1和TN2才会都导通,TP1和TP2才会都截止,输出Y才会为低电平。


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CMOS  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。或非门

①只要输入A、B当中有一个或全为高电平,TP1、TP2中有一个或全部截止,TN1、TN2中有一个或全部导通,输出Y为低电平。

②只有当A、B全为低电平时,TP1和TP2才会都导通,TN1和TN2才会都截止,输出Y才会为高电平。


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Y=AB=AB  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

Y=A+B=A+B

与门

或门

CMOS与或非门


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CMOS  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。异或门

3、CMOS OD门、TSL门及传输门

CMOS OD门


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①E=1  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。时,TP2、TN2均截止,Y与地和电源都断开了,输出端呈现为高阻态。

②E=0时,TP2、TN2均导通,TP1、TN1构成反相器。

可见电路的输出有高阻态、高电平和低电平3种状态,是一种三态门。

CMOS TSL门


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  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。C=0、 ,即C端为低电平(0V)、 端为高电平(+VDD)时, TN和TP都不具备开启条件而截止,输入和输出之间相当于开关断开一样。

②C=1、 ,即C端为高电平(+VDD)、 端为低电平(0V)时,TN和TP都具备了导通条件,输入和输出之间相当于开关接通一样,uo=ui。

CMOS 传输门


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4  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。、CMOS数字电路的特点及使用时的注意事项

CMOS数字电路的特点

(1)CMOS电路的工作速度比TTL电路的低。

(2)CMOS带负载的能力比TTL电路强。

(3)CMOS电路的电源电压允许范围较大,约在3~18V,抗干扰能力比TTL电路强。

(4)CMOS电路的功耗比TTL电路小得多。门电路的功耗只有几个μW,中规模集成电路的功耗也不会超过100μW。

(5)CMOS集成电路的集成度比TTL电路高。

(6)CMOS电路适合于特殊环境下工作。

(7)CMOS电路容易受静电感应而击穿,在使用和存放时应注意静电屏蔽,焊接时电烙铁应接地良好,尤其是CMOS电路多余不用的输入端不能悬空,应根据需要接地或接高电平。


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使用集成电路时的注意事项  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

(1)对于各种集成电路,使用时一定要在推荐的工作条件范围内,否则将导致性能下降或损坏器件。

(2)数字集成电路中多余的输入端在不改变逻辑关系的前提下可以并联起来使用,也可根据逻辑关系的要求接地或接高电平。TTL电路多余的输入端悬空表示输入为高电平;但CMOS电路,多余的输入端不允许悬空,否则电路将不能正常工作。

(3)TTL电路和CMOS电路之间一般不能直接连接,而需利用接口电路进行电平转换或电流变换才可进行连接,使前级器件的输出电平及电流满足后级器件对输入电平及电流的要求,并不得对器件造成损害。


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本节小结  逻辑门电路:用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。简称门电路。

①利用半导体器件的开关特性,可以构成与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门等各种逻辑门电路,也可以构成在电路结构和特性两方面都别具特色的三态门、OC门、OD门和传输门。

  ②随着集成电路技术的飞速发展,分立元件的数字电路已被集成电路所取代。

  ③TTL电路的优点是开关速度较高,抗干扰能力较强,带负载的能力也比较强,缺点是功耗较大。

  ④CMOS电路具有制造工艺简单、功耗小、输入阻抗高、集成度高、电源电压范围宽等优点,其主要缺点是工作速度稍低,但随着集成工艺的不断改进,CMOS电路的工作速度已有了大幅度的提高。


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