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Factorisation d’une différence de carrés.

Factorisation d’une différence de carrés. Factorisation d’une différence de carrés. Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. Facteurs conjugués. ( x - 5) ( x + 5). Exemple :. Les binômes. sont appelés facteurs conjugués. Ils sont composés des mêmes termes :.

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Factorisation d’une différence de carrés.

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Presentation Transcript

  1. Factorisation d’une différence de carrés.

  2. Factorisation d’une différence de carrés. Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. Facteurs conjugués (x - 5) (x + 5) Exemple : Les binômes sont appelés facteurs conjugués. Ils sont composés des mêmes termes : - dans un des binômes, les termes sont unis par le signe de soustraction; - dans l’autre binôme, les termes sont unis par le signe d’addition. Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

  3. Le dernier terme est un carré. Le premier terme est un carré. Les deux termes sont unis par le signe de soustraction. Ces caractéristiques créent un polynôme particulier. Effectuons le produit de ces deux facteurs conjugués. (x - 5) (x + 5) x (x + 5) – 5 (x + 5) x2 + 5x - 5x - 25 Les deux termes du milieu s’annulent. x2 + 0x - 25 x2- 25 C’est ce qu’on appelle une différence de carrés.

  4. Tous les facteurs conjugués produisent une différence de carrés. (x - 4) (x + 4) (x - 7) (x + 7) (2x - 3) (2x + 3) x (x + 4) - 4 (x + 4) x (x + 7) - 7 (x + 7) 2x (2x + 3) - 3 (2x + 3) x2 + 4x - 4x - 16 x2 + 7x - 7x - 49 4x2 + 6x - 6x - 9 x2 + 0x - 16 x2 + 0x - 49 4x2 + 0x - 9 x2- 16 x2- 49 4x2- 9

  5. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Addition. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x2 - 64 Oui. x2 - 169 Oui. x2 + 121 Non. 4x2 - 4 Oui.

  6. Ce terme n’est pas un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Soustraction. Ce terme n’est pas un carré. Ce terme est un carré. Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x - 64 Non. x2 - 11 Non. x2 - 1 Oui. Remarque : Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques. Il est un carré : 12 = 1. Il est aussi un cube : 13 = 1. Il est aussi …

  7. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Soustraction. Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x3 - 64x Non, mais elle en contient un. x (x2 - 64) La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme. 2x2 - 72 Non, mais elle en contient un. 2(x2 - 36)

  8. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Soustraction. Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. (x + 3)2 - 64 Oui. le binôme (x + 3) est affecté de l’exposant 2, Remarque : il est donc un carré. (x - 2)2 - 16 Oui.

  9. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Factoriser une différence de carrés Avant de factoriser un polynôme par la technique de la différence de deux carrés, il faut analyser l’expression à partir de ces critères : - les deux termes sont des carrés; - les deux termes sont unis par le signe de soustraction. x2 - 64 Oui. On extrait alors la racine carrée de chaque terme; x2 - 64 x 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, (x – 8) (x + 8) donc

  10. Factorise les différences de carrés suivantes. (x – 13) (x + 13) x2 - 169 = (x – 11) (x + 11) x2 - 121 = (x – 1) (x + 1) x2 - 1 = x (x – 8) (x + 8) x (x2 – 64) = x3 - 64x = 2 (x – 6) (x + 6) 2 (x2 – 36) = 2x2 - 72 = (2x – 2) (2x + 2) 4x2 - 4 4 (x2 – 1) 4x2 - 4 = 4x2 - 4 = Soit Soit 4 (x – 1) (x + 1) 2 (x – 1) 2 (x + 1) 4 (x – 1) (x + 1) Remarque : Il est habituellement préférable de factoriser au maximum une expression algébrique.

  11. la dernière étape consiste à factoriser l’expression finale par une différence de carré. Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes, une d’elles s’appelle la technique de complétion du carré. C’est une technique comportant quelques étapes; La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique. Pour l’instant, voyons comment factoriser cette étape.

  12. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. (x + 3) (x + 3) - 8 + 8 ( x + 3 ( x + 3 - 8 ) + 8 ) Soit factoriser (x + 3)2 - 64 On extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x + 3)2 - 64 (x + 3) 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, donc En complétant les calculs : (x - 5) (x + 11)

  13. Preuve de l’équivalence Développons les deux expressions : (x - 5) (x + 11) (x + 3)2 - 64 x (x + 11) - 5 (x + 11) ( (x + 3) (x + 3) ) - 64 x2 + 11x - 5x - 55 ( x (x + 3) + 3 (x + 3) ) - 64 ( x2 + 3x + 3x + 9 ) - 64 x2 + 6x - 55 (x2 + 6x + 9) - 64 x2 + 6x + 9 - 64 x2 + 6x - 55

  14. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. (x - 2) (x - 2) + 4 - 4 ( x - 2 ( x - 2 - 4 ) + 4 ) Soit factoriser (x - 2)2 - 16 On extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x - 2)2 - 16 (x - 2) 4 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, donc En complétant les calculs (x - 6) (x + 2)

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