第九章張力與壓力

第九章張力與壓力 9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數 9-2 容許應力及安全因數 9-3 蒲松氏比 9-4 應變的相互影響 9-5 體積應變與體積彈性係數

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數 1 張應力與壓應力在第Ⅰ冊中，我們已經知道力學的研究範圍包括剛體力學與非剛體力學兩大類，而在第Ⅰ冊中，我們已經對剛體力學有了完整的概念。而本冊則將針對非剛體力學中的材料力學予以討論。剛體力學是研究物體受外力作用後的外效應。然而，自然界中並無剛體存在，也就是說，物體受外力作用後，除了產生外效應外，物體本身也會產生變形。所以，探討物體受外力作用後，所產生之內應力及變形狀態者，稱為材料力學。如圖9-1(a)所示，足球選手將球踢出，我們看見球往球門飛射，這是球的外效應；而在圖9-1(b)中，當球在踢出的那一刻，球會產生變形，這便是球的內效應了。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數材料所承受的負荷常見的有張力（Tension）、壓力（Compression）、剪力（Shear）、彎曲力矩（Bending Moment）及扭矩（Torque）等五種，如圖9-2 所示。本章將就張力及壓力對材料的影響詳加討論。至於另三種負荷，將於往後章節中介紹之。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數物體受外力作用後，若沒有發生運動，則從任一截面的自由體圖中可知，物體的內部必產生一個與外力大小相等、方向相反的抵抗力，這個抵抗力稱為內力（Internal Force），如圖9-3 所示。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數如果內力是離開截面者，稱為張力（或拉力）；相反的，若內力是指向截面者，則稱為壓力。因為力是向量，故我們定義張力為「正」，壓力為「負」。如圖9-4 所示。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數 2 張應變與壓應變

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數 3 彈性係數我們若將一軟鋼材料測試棒，置於張力試驗機（Tensile-testMachine）中作張力試驗，如圖9-10 所示。若將此一材料的應力與應變之關係，繪製成一直角座標圖，則此直角座標圖即稱為應力－應變圖（Stressstrain Diagram）。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數上圖中，各區域及各點之意義如下：（1）OA 區域：為線性區域（Linear Region），在此區域內應力與應變成正比。（2）A 點：為應力與應變成正比之最大界限，稱為比例限度（Proportional Limit）。另外，材料受外力作用，而將外力移去後，材料會恢復原狀的最大界限，稱為彈性限度（Elastic Limit）。一般而言，彈性限度會稍大於比例限度，但在比例限度與彈性限度之間，並非成線性關係。（3）B 點：為降伏點（Yielding Point），材料在此處開始產生降伏現象。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數（4）BC 區域：此區域稱為完全塑性（Perfect Plasticity）或降伏（Yielding）。材料在通過A點後，受外力變形會無法完全恢復原狀，而產生永久變形，此性質稱為塑性。在此區域內，應力並沒有顯著增加，但應變卻增加迅速，此現象即為降伏。（5）CD 區域：此區域為應變硬化（Strain Hardening）區。所謂應變硬化是指材料在此區間，負荷增大後會繼續變形，但其應力與應變間已無線性關係。另從材料的觀點來說，此區代表了材料因變形改變其內部原子及晶體結構，產生了對進一步變形的阻力，這種因變形而增強強度的作用，稱為應變硬化。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數（6）D 點：為材料之極限應力（Ultimate Stress），即材料能承受之最大應力值。（7）DE 區域：材料在此區域會產生頸縮（Necking）現象。所謂頸縮現象是指材料在通過極限應力後，在材料即將破壞時，其截面直徑會有迅速縮小的現象。其材料試驗結果，如圖9-12 所示。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數（8）E 點：材料之破壞斷裂處，其應力值會小於極限應力。（9）在上述應力應變圖中，實線部分的應力係以材料未變形前之截面積（為一定值）來計算的結果，而虛線部分的應力則是以實際變形後的截面積（逐漸變小）計算的結果。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數英國人虎克（Robert Hooke, 1635-1703）於1678 年發表了虎克定律（Hooke's Law），即在比例限度範圍內，應力與應變成正比。但遲至1802 年才由英國人湯姆斯．楊（Thomas Young, 1773-1829）推算出多種材料的應力與應變之比值，此比值稱為彈性係數（Modulus of Elasticity）或楊氏係數（Young'sModulus）。彈性係數的值只與材料之種類有關，彈性係數愈大者，材料愈不容易變形；反之，彈性係數愈小者，材料則愈容易變形。

9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數由上式可知，材料受外力作用變形後，在比例限度內，其變形量與外力大小及長度成正比，而與面積及彈性係數成反比。上式中的AE值稱為材料的軸向剛度（Axial Rigidity），AE值愈大，表示材料受軸向負荷後，愈不容易伸長或縮短。

9-2 容許應力及安全因數 1 容許應力一般而言，延性材料（Ductile Material）如鋼、銅及鋁等材料的應力應在降伏應力以下，以避免材料超過此限度而產生永久之變形；而脆性材料（Brittle material）如鑄鐵、木材及混凝土等材料的應力應在極限應力以下，以避免材料超過此限度而產生破壞。但是，在實際的情形下，若我們以材料的降伏應力或極限應力來計算材料之受力大小，會有相當程度的危險。例如：某材料之極限應力為50 MPa，斷面積為40mm2，那麼此材料能承受的負荷為2000 N。試想，當負荷只要超過一些，材料便會有破壞的危險。

9-2 容許應力及安全因數 另外，任一材料在使用一段時間後，都會產生疲勞的現象，久而久之，便無法再承受原先應有的負荷。所以，我們必須限制負荷之大小，使其所產生之應力低於降伏應力或是極限應力，如此，材料在使用時就不致發生危險，此應力稱為容許應力（Allowable Stress）或工作應力（Working Stress）。

9-2 容許應力及安全因數

9-2 容許應力及安全因數 設計安全因數的主要因素，是為了材料在設計或使用時，容許其：（1）外加負荷的誤差。（2）材料性質的誤差。（3）材料幾何形狀的誤差。（4）其他元件破壞所引起的連鎖效應。安全因數愈大，則容許應力愈小，此時，材料的安全性愈高，但比較浪費材料；相反的，若安全因數愈小，則容許應力愈大，此時，雖比較節省材料，但材料的安全性則較低。

9-2 容許應力及安全因數 一般而言，延性材料安全因數可取3～5 之間。而脆性材料，因降伏應力不明顯，故定義安全因數為極限應力與容許應力之比值，而此類脆性材料之安全因數會比延性材料之安全因數大。常用材料之安全因數的參考值，如表9-1 所示。

9-2 容許應力及安全因數

9-3 蒲松氏比

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