一個數學家的心路歷程

1. 一個數學家的心路歷程 丘成桐教授 浙江大学 哈佛大学 二零零四年三月二十五日

2. 我在香港的郊區──元朗和沙田──長大。 那裏沒有電，也沒有自來水。小時候就在河 中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可 憐。五歲時參加某著名小學的入學試，結果 沒考上。原因是用了錯誤的記號，如把57反 寫成75，69反寫成96等。

3. 我只能上一所小小的鄉村學校。那裏有很多 來自農村的粗野小孩。受到這些小孩的威 嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身 患重病。在家中養病的半年，我思索如何跟 同學老師相處。升上小六時，我已經是一群 小孩的首領，帶著他們在街頭亂闖。

4. 家父是位教授。他教了我不少中國文學。可 是，他並不知道我曾曠課好一段日子。﹙或 者這是因為我在家中循規蹈矩，他教授的詩 詞我也能背誦如流。﹚逃學的原因是老師不 怎樣教學，在學校悶得發慌，不久連上街也 覺得無聊了。當時香港有統一的升中試。我 考得並不好，但幸好分數落在分界線上。

5. 政府允許這些落在分界線上的學生申請私立 中學，並提供學費。我進入了培正中學。培 正是一所很好的中學。中學生涯的第一年乏 善可陳。我的成績不大好，老師常常對我很 生氣。大概剛從鄉村出來，“野性”未改吧。 我熱中於養蠶、養小魚，到山上去捉各種小 動物。沙田的風景美麗清新，在大自然的懷抱裏， 倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。

6. 當時武俠小說盛行，我很喜歡讀這些小說， 沒有錢去買，就向鄰居借。父親不贊成我讀 這些小說，認為膚淺，但我還是偷偷去看， 也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說 岳全傳、東周列國志等雜書。

7. 父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典 小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記 等。父親堅持我在看這些小說時，要背誦其 中的詩詞。當時雖以為苦，但順口吟誦，也 慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說来得刺激。

8. 但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中 國古典文學深深影響了我做學問的氣質和修 養。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶 深刻的︰ 「路是人行出來的，自己的路更要 自己去走。」

9. 我們家中常有父親的學生來訪，往往興高采 烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學，雖然 我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印 象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做 學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法 的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了 我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭 與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學 對我的印象深厚。

10. 我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤 其著迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗 鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到 現在，我還不時批閱這書。史學大師駐足高 涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風 雲，干宇宙之奧秘遙相呼應。

11. 在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀 馮友蘭寫的新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點收 穫。 晉‧陶淵明 好讀書，不求甚解， 每有會意，便欣然忘食。 其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣， 不一定要全懂，慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做 到︰ 不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。 這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得 自然之趣，我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息，需 要同樣的精神。

12. 在以後的日子裏，我都以此作為原則，以研 讀學問為樂事，不以為苦。在父親的循循善 導下，我開始建立我對人生的看法。 到如今，我讀史記至以下一段時，仍然使我心志清 新︰ 司馬遷 孔子世家贊 天下君王至於賢人，眾矣！ 當時則榮，沒則已焉，孔子布衣， 傳十餘世，學者宗之。

13. 假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。 韓愈 苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。 我讀左傳，始知有不朽的事情。 左傳 叔孫豹論三不朽 太上有立德，其次有立功，其次有立言， 雖久不廢，此之謂不朽。 以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道 立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。

14. 我有一個學生在南京大學電視台訪問自炫︰ 「會當凌絕頂，一覽眾山小」，真輕妄浮誇 之言。其實遠山微小，越近越覺其宏大。往 往眾人合作才能跨過困難的地方，在沒有嘗 試創作性的學問時，才會說這種膚淺的說話。

15. 在培正的第二年，我多言多動，老師要記我 小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是 為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿著 微薄的薪酬後，大為震動。此後在她悉心栽 培下，我在課堂上規矩多了。 就在這年，我們開始學習平面幾何。

16. 同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常 聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做 法，我一點也不覺得見外。 學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了 幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定 理，實在令人神往。

17. 對幾何的狂熱，提高了對數學──包括代數 ──的鑑賞能力。當你喜歡某科目時，所有 有關的東西都變得淺易。 我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作 一整體觀。 事件是如何發生的？ 到底是甚麼原故？ 將來會如何？

18. 就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他 跟學生談話，總是說應整體地看歷史。這種 觀念深深地影響了我。 這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找 研究項目。 父親的書對我有很深的影響。

19. 書中第一頁的引言︰ 文心雕龍 諸子 身與時舛，志共道申。 標心於萬古之上，而送懷與千載之下。 這是何等的胸襟。

20. 哲學史的目的有三， 一曰求因，哲學思潮其源甚夥，必先上溯以求之。 二曰明變，往昔哲學思想交纏屈結，故重理其脈絡，是為要務。 三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，作警策精闢之言。 這三點和自然科學的研究有密切的關係，再 加上創新，則可以概括研究的方法了。

21. 十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生 中最大的打擊。在一段頗長的日子裏，對父 親離開了我和家人的事實，我都不能置信。 家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得 母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們 才倖免如此。

22. 家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷 暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以 前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。 我花了整整半年，研習古典文學和中國歷 史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人 欣賞自然之美。

23. 我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這些難題都我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這些難題都 解決掉後，我開始創造自己認為有挑戰性的題目。 由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學 校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。 我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書本。我讀了華 羅庚先生寫的很多參考書，無論在分析或數論上的討論，都 漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題，例如陳明哲寫的一些 小冊子，一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習 題，所以聽數學課是一程享受。

24. 打從十五歲起，我開始替低年級學生當家 教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法， 使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我 覺得有點飄飄然。 我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到 教學相長的道理。

25. 我們的數學老師十分好。他教授的內容，比 課程要求來得艱深，但我覺得絲毫不費氣 力。其實我的同學們雖然叫苦，但是總的來 說，數學都不錯，這叫做取法乎其上，得乎 其中。 近代數學的教學方法，恐怕適得其反，取法 乎其中，得乎其下。

26. 當時我們的物理老師不太行，對此不無失 望。中學時養成不了物理上的基本直觀，至 今於心還有戚戚焉。 國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。 他教導我們思想要不落俗套。

27. 國文教師說思惟要自出機杼，讀好書之餘， 爛書也無妨一讀，以資比較。因此我甚麼書 都啃。他這種觀點，就是放諸我日後的科學 生涯中，也有其可取之處。 作文堂的一個典型題目︰ 豬的哲學觀 於是大伙兒興高采烈，自由發揮。 在班裏我並非名列前茅，數學科的等級也不見得最 高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。

28. 中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國 文和歷史。 現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的 是立志，覺得做學問是一輩子的志願。 典論 論文 曹丕 蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時 而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，夫若文章 之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇 籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於 後。

29. 立志之後，必需培養興趣，而做習題和思考 是不二法門︰ 論語 學而時習之，不亦樂乎。 學而不思則罔，思而不學則殆。 楚辭 路曼曼其修遠兮 吾將上下而求索

30. 做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲 折有致，必須要有毅力，才能持久。 楚辭 亦余心之所善兮 雖九死其猶未悔 抽思 惟郢路之遼遠兮 魂一夕而九逝

31. 在中學和大學的教育中最重要的一環是︰ 培養氣質 孟子︰我知言，我善養吾浩然之氣。 曹丕︰譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟。 岑參︰性靈出萬象。

32. 但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷 雅志。 汪中︰撫弦動曲，乃移我情。

33. 琴苑要錄︰『伯牙學琴于成連，三年而成；至於精神寂寞，情之專一，未能得也。成連曰︰吾學不能移人之情，吾師有方子春，在東海中。乃齎糧從之。至蓬萊山，留伯牙曰︰「吾將迎吾師。」刺船而去，旬時不返。伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林窅冥，群鳥悲號。仰天歎曰︰「先生將移我情。」乃援琴作歌。』「移情」二字本此。琴苑要錄︰『伯牙學琴于成連，三年而成；至於精神寂寞，情之專一，未能得也。成連曰︰吾學不能移人之情，吾師有方子春，在東海中。乃齎糧從之。至蓬萊山，留伯牙曰︰「吾將迎吾師。」刺船而去，旬時不返。伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林窅冥，群鳥悲號。仰天歎曰︰「先生將移我情。」乃援琴作歌。』「移情」二字本此。

34. 做學問，無論是自然科學或文學都有氣質的 問題，從文章中，往往可以看出作者的修養。 古代注重音樂，從樂聲中可以看見國家的盛 衰，也是同樣的道理。

35. 季札觀樂﹙左傳﹚ 吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召 南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣…… 為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先 亡乎。 為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風也哉。表東海 者，其太公乎…… 為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文 王之德乎。

36. 在培養氣質上，師友的關係至為重要。 韓愈 師者，傳道授業解惑者也。 論語 三人行，必有我師焉。

37. 在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。 善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。 中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是 屈原的天問篇︰ 遂古之初，誰傳道之，上下未形， 何由考之……。日月安屬，列星安陳。 以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個 原因。

38. 善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇 善而固執之。 楚辭 民生各有所樂兮 余獨好修以為常 雖體解吾猶未變兮 豈余心之可懲 涉江 苟余心其端真兮 雖僻遠之何傷

39. 很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方 面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關 係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰 心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自 己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。 離騷 何昔日之芳草兮， 今直為此蕭艾也。 豈其有他故兮， 莫好修之害也。

40. 以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考︰ 韓愈 答李翊書 始者非三代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處 若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注 於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！…… 其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有 人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又惧 其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖 然，不可以不養也。行之乎仁義之途，遊之乎詩、書之源， 無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。

41. 一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱 著濃厚的興趣，我還是選擇了數學作為我的 事業。 就在這時，中學時唸的高等數學漸漸消化， 開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比 班中同輩高明不少。

42. 大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都 可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了 解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜 悅。這是本人賞析數學之始。 一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提 芬沙拉夫﹙Stephen Salaff﹚。他對我大為讚賞， 我們合寫了一本有關常微分方程的書。

43. 另外一位老師布狄﹙Brody﹚來自普林斯 頓。他有一套獨特的教學法。他找來一本高 深的數學著作，然後要求學生在書中找尋錯 誤，並提出改正的方法。 這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時 也訓練了我對書本上定理採取存疑的態度。 我有時將某些定理推廣了，在課堂上說出 來，他聽了很高興。

44. 這些教導的重要性在於 ── 培養成獨立思考的習慣 ── 在人前表達數學同時在表達數學的時候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。 這不論對自己或對自己日後的教學都十分要 緊。

45. 古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而 施教也。 孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法， 而孔門弟子因此各有所長。 孔子教學有禮樂射御書數。 西方Plato教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱 數學。 古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。

46. 現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的 工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓 練他們可能有不同的層次。 但是有一點很重要的︰作為一個知識份子必需要具 有推理的能力。 自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。 在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理 系統。熟習證明使我們思考清晰。

47. 良好的中學教科書，必需要包含公理系統的 學習。平面幾何的本身可能沒有用途，但是 它的方法卻是最重要的。 正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要， 但我們要學他的文字的應用，書寫流暢的做 法。 學習需要融匯貫通，更需要博聞強記。

48. 有些人以為數學每一步都可推理，不宜強 記，這是極為可笑的說法，我還沒有親眼看 過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做 研究的時候，我們不能不記憶前人或近人的 工作，使我們能夠向前作新的研究。

49. 往往記熟某一門技巧後，我們會突然融匯貫 通，所以多做習題是很緊要的事，假如能夠 讓學生在課堂上有所表現，不單老師對他們 瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。

50. 學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕 妙之處。 同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生 能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏 定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不 同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解 不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發 展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所 以不可少看這些不同的證明。