Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS)

1. Soutenabilité, risques climatiquesetéquations de Reynolds moyennées (RANS) Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

2. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Introduction Couplage finance – économie – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) - RANS (à 1 d° de fermeture), Finance- Economie (FE) - couplages : + FE - RANS + Black & Scholes (BSC) - RANS Soutenabilité et quelques problèmes mathématiques - critère d’optimisation et soutenabilité - maximisation du critère s.c. FE-RANS- FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence, unicité Première partie : motivation Deuxième partie : RANS 3D stationnaire sans convection avec viscosités non bornées régularisées en 0 1- Cas scalaire (sans pression et sans convection) stationnaire- formulation variationnelle : espaces de Sobolev à poids dépendant des solutions- densité de fonctions régulières / Sobolev à poids- estimations à priori- passages à la limite 2 - Cas périodique stationnaire sans convection avec pression et viscosité concave - construction de solutions régulières ( ) - estimations à priori - passages à la limite Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

3. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Climat Finance - Economie Externalités CLIMAT (RANS) ETAT Réglementation, contrôle (taxation, dépenses) Financement Capitalisation Transfert de risques Prix PRODUCTEURS FINANCE Production Epargne Consommation Sensibilité CONSOMMATEURS ECONOMIE Offre, demande, dommages Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

4. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Climat Finance - Economie Politique environnementale CLIMAT (RANS) ETAT Revenus PRODUCTEURS FINANCE Financement Capitalisation Transfert de risques Prix Production Epargne Consommation CONSOMMATEURS ECONOMIE Gestion de l’environnement, agrégation de comportements, maximisation des profits et satisfactions Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

5. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Modèles FE - RANS et BSC - RANS RANS symbolisant le climat :- océans et atmosphère centraux pour le climat => NS incompressible - équations chaotiques => probabilités => RANS- forces, domaines, sources et puits dépendant de l’économiegrande complexité => HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS difficultés dues aux- viscosités turbulentes- terme quadratique de production d’ECT- cascade inverse en ECT Finance / Economie: - T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure du capital et renouvellement des matières premières- absence d’opportunité d’arbitrage - transfert de risques par les options grande complexité mais PAS (trop) D’HYPOTHESES REDUCTRICES =>ouvertures - analyse fondamentale = Keynes, néo-classiques, théorie des jeux …- analyse technique = modélisation statistico-financière Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

6. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Soutenabilité : - dépend des sociétés et cultures qui la définissent => consensus international et hiérarchisation de situations insoutenables - soutenabilité  vérification de contraintes sur les variables d’état => critère d’optimisation = 1 dans le domaine et sinon - critère défini à priori ( = celui des forces politiques en place ) Exemple : limitation de la températureLe problème à résoudre : maximiser (f est intégrable et = 1 lorsque la limitation est vérifiée et sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec les contrôles des forces politiques en place) Soutenabilité et contrôle optimal Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

7. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Sous problème : existence de solutions du modèle RANS 3D + stationnaires + sans convection + avec des conditions homogènes + viscosités non bornées( cas des viscosités bornées : Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97, Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02, Bernardi-Chacon-Lewandowski-Murat 03) (ouvert borné et régulier 3D)Cas physique : Première partie : motivation Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

8. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Contexte : - viscosités turbulentes + non bornées + dérivables en 0 et + vérifiant - terme de production quadratique - cas tri-dimensionnel stationnaire sans convectionContributions : - existence de solutions dans le cas scalaire (sans pression ni convection) sans terme de cascade inverse - existence dans le cas tri-dimensionnel périodique (avec pression) sans convection avec cascade inverse pour des viscosités concaves : estimation L infini sur l’ECT Première partie : motivation Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

9. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Deuxième partie : analyse d’équations RANS 1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Murat-Tartar, Nonlinear analysis TMA 03)Définitions : (ouverts bornés Lipschitziens simplement connexes)Généralisations : si le poids b et son inverse sont p-fois intégrables avec Représentation du dual, réflexivité, Banach, injections continues.Résultat : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

10. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Densité : résultat connu (Cattiaux-Fradon). Preuve originale et plus courte (avec T. Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L. Tartar)3 étapes : densités respectives de1. Par troncature et Lebesgue2. et Lebesgue.3. Convolution et convergence faible en utilisant la régularité de b puis Hahn-Banach Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

11. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Résultat principalSolutions d’énergie : etSystème approché : viscosités bornées (existence par R.L.) et troncature du membre de droite de l’équation de k. Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

12. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Cas scalaire en 3D : estimations à prioriEstimation standard : Boccardo-Gallouët : Principale estimation : Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

13. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Cas scalaire en 3D : passages à la limite (en utilisant la densité …) Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

14. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Cas scalaire en 3D : passages à la limite Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

15. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT 2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse et viscosité concave(J.Lederer et R. Lewandowski, accepté pour publication dans Ann. IHP, analyse non linéaire) Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

16. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Dans l’article, cas plus général : Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

17. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse (avec R. Lewandowski)NB : la condition ci-dessus est due au terme de cascade inverse Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

18. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Preuve en quatre étapes :1 – Transformation du système2 – Construction d’un système approché par régularisation des viscosités et du terme de production d’ECT 3 – Estimations à priori4 – Passages à la limite dans les équations Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

19. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT 1- Transformation du système : (Kirchoff)en notant encore au lieu de le système devientNB : Comme on a Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

20. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT 2- Solutions approchées : - et deux fois dérivables et bornées - avec Par point fixe (Leray-Schauder), on résoutoù est étendu par 0 dans le complémentaire de Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

21. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT 3 – Estimations à priori : - pour les mêmes raisons que dans le cas scalaire, - comme et - on dérive formellement l’équation pour le champ de vitesse :en multipliant par et en intégrant par parties (conditions périodiques), Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

22. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT En intégrant encore par parties, D’après l’équation pour k, donc dans ce cas, comme la viscosité turbulente est minorée par une constanteComme la viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE donc Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

23. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT On conclut en utilisant la borne pour : - une borne pour la vitesse (en particulier pour ) - une borne pour l’ECT (et en particulier L infini) car second membre de carré intégrable 4 – Passages à la limite :on peut remplacer par une troncature de niveau assez élevé et nous ramener au cas habituel des viscosités bornées Deuxième partie : analyse des équations RANS Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

24. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Soutenabilité => contrôle optimal … (financements F.A.O., banque mondiale, … ? ) Problèmes posés restant ouverts : + Limitation de la température sc FE-RANS + Coûts des risques climatiques sc FE-RANS + Existence et unicité pour FE-RANS et BSC-RANS + Existence et unicité pour RANS ° Cas stationnaire avec des viscosités non bornées dont l’inverse n’est pas bornée ° Cas stationnaire non scalaire sans terme de transport dans des ouverts lipschitziens bornés simplement connexes ° Prise en compte du terme de transport ° Cas d’évolution pour des viscosités non bornées avec et sans terme de transport + De Rham pour Sobolev à poids avec des poids et inverses non bornés à l’infini + Densité des espaces de fonctions vectorielles à divergence nulle très régulières dans les espaces de Sobolev à divergence nulle Conclusion Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

25. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Un domaine d’application nouveau : définition de politiques soutenables Contribution : deux résultats d’existence pour RANS, un résultat de densitéTrois conjectures : + le résultat de densité sur les espaces de Sobolev à poids devrait se généraliser au cas d’espaces de Banach en remplaçant la condition par + le cas périodique devrait s’étendre au cas d’ouverts lipschitziens bornés et simplement connexes + De Rham : Conclusion Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

26. FINEn remerciant les membres du jury et l’assistance Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski