{ 范例 3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度

1. {范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度 火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。如果火箭在自由空间飞行，不受引力或空气阻力等任何外力的影响，其飞行速度公式是什么？ 如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射，燃料的燃烧速率为α，在不太高的范围内，不计空气阻力，其飞行速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？ 假设火箭发射前的质量为M0 = 2.5×106kg，燃料的燃烧速率为α= 1.0×104kg/s，燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的速率为u = 3.0×103m/s，火箭点燃的60s内，高度、速度和加速度随时间变化的规律是什么？最后达到什么值？

2. {范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度 [解析]在无重力的空间，把火箭和剩下的燃料作为研究对象。 如图所示，在t时刻火箭的质量为M，速度大小为v，则动量大小为p = Mv。 经过时间dt，火箭喷出质量为dm的气体，喷出的速度相对火箭为定值u，相对自由空间的速度为v - u，动量为(v - u)dm。 v v+dv M M-dm v-u 火箭的质量为M – dm，速度增为v + dv，动量为(M - dm)(v + dv)。 dm v u u 总动量为p' = (M - dm)(v + dv) + (v - u)dm。 由于M0 = M + m，所以dm = -dM。 即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。 根据动量守恒定律得Mv = (M + dM)(v + dv) - (v - u)dM。 化简后略去二阶无穷小量dMdv，可得Mdv + udM = 0。

3. {范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度 Mdv + udM = 0 积分得v = -ulnM + C 分离变量得 这是著名的齐奥尔科夫斯基公式。 设火箭的质量为M0时，其速度为v0，可得C = v0 + ulnM0，因此 火箭质量从M0减少到M时，火箭的速度则由v0增加到v。 如果火箭开始飞行时速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭剩下的质量为m0，由上式可计算火箭能够达到的最大速度。 但是这两项都受到技术限制。 M0/m0称为质量比，火箭的喷气速度越大，质量比越大，所能达到的速度就越大。 火箭起飞时,第一级火箭开始工作；当燃料烧尽后，第一级的外壳就自动脱落，第二级火箭接着工作，使火箭进一步加速。 这就是多级火箭的工作原理。 前一级火箭脱落，使后一级火箭减负，提高了质量比，因而可获得更大的最终速度。

4. {范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度 假设火箭在地球表面向上发射，其初速度为零，初始质量为M0。 取向上的方向为正，经过飞行时间t，火箭剩下的质量为M = M0 - αt，α是燃料燃烧的速率dm/dt； 重力加速度g使火箭速度减少gt，因此火箭在地面上发射的速度为 依速度公式v = dz/dt，可得dz = [ulnM0 – uln(M0 – αt) – gt]dt， 积分得 当t = 0时，z = 0，可得 火箭上升的高度为 否则，火箭无法起飞。 火箭的加速度为 当t = 0时，由于a > 0，必有条件αu > M0g，

5. 火箭的速度随时间的延长而加速增加，最后的速度达到235.3m/s。火箭的速度随时间的延长而加速增加，最后的速度达到235.3m/s。 火箭的高度随时间的延长也是加速增加的，最后的高度达到5931m。 火箭一点火，加速度就不为零，约为2.2m/s2；火箭的加速度随时间的延长仍然是加速增加的，最后的加速度接近6m/s2。