1 / 62

机器学习研究 第六讲： 流形学习

中国科学院研究生院 2006 年 6 月. 机器学习研究 第六讲： 流形学习. 杨 剑. 维数约简. 增加特征数. 提高准确性. 增加信息量. 增加训练分类器的难度. 维数灾难. 解决办法：选取尽可能多的 , 可能有用的特征 , 然后根据需要进行特征约简. 维数约简. 依据某一标准选择性质最突出的特征. 特征选择. 维数约简. 经已有特征的某种变换获取约简特征. 特征抽取. 试验数据分析，数据可视化（通常为 2 维或 3 维）等都需要维数约简. Outline. 线性维数约简方法 : PCA, MDA. 流形和维数约简 .

deon
Download Presentation

机器学习研究 第六讲： 流形学习

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 中国科学院研究生院 2006年6月 机器学习研究第六讲：流形学习 杨 剑 中国科学院自动化研究所

  2. 中国科学院自动化研究所 维数约简 增加特征数 提高准确性 增加信息量 增加训练分类器的难度 维数灾难 解决办法：选取尽可能多的, 可能有用的特征, 然后根据需要进行特征约简.

  3. 维数约简 中国科学院自动化研究所 依据某一标准选择性质最突出的特征 特征选择 维数约简 经已有特征的某种变换获取约简特征 特征抽取 试验数据分析，数据可视化（通常为2维或3维）等都需要维数约简

  4. 中国科学院自动化研究所 Outline • 线性维数约简方法: PCA, MDA. • 流形和维数约简. • 流形学习的一些数学基础. • 几种流形学习算法简介：LLE, Isomap, LSTA. • 流形学习问题的简单探讨.

  5. 中国科学院自动化研究所 • 线性约简方法 • 通过特征的线性组合来降维. • 本质上是把数据投影到低维线性子空间. • 线性方法相对比较简单且容易计算. • 两种经典的寻找有效的线性变换的方法: • 主成分分析 (PCA); • 多重判别分析 (MDA).

  6. Principal component 中国科学院自动化研究所 主成分分析 ( PCA ) • 目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间. • 求解：对样本的散布矩阵进行特征值分解, 所求子空间为过样本均值, 以最大特征值所对应的特征向量为方向的子空间.

  7. 中国科学院自动化研究所 主成分分析 • PCA对于椭球状分布的样本集有很好的效果, 学习所得的主方向就是椭球的主轴方向. • PCA 是一种非监督的算法, 能找到很好地代表所有样本的方向, 但这个方向对于分类未必是最有利的.

  8. 中国科学院自动化研究所 线性判别分析(LDA)1 • LDA是一种监督的维数约简方法. • 思想: 寻找最能把两类样本分开的投影直线. • 目标: 使投影后两类样本的均值之差与投影样本的总类散布的比值最大. Best projection direction for classification

  9. 中国科学院自动化研究所 线性判别分析(LDA)2 • 求解: 通过推导有关总类内散布矩阵和总类间散 布矩阵的广义特征值问题, 将原问题转化为矩阵求 逆的问题.

  10. 中国科学院自动化研究所 多重判别分析 (MDA) • MDA把LDA推广到多类的情况. • 对于c-类问题, MDA把样本投影到 c-1 维子空间. • 目标和解法与LDA相似,只是类内散布矩阵的定义更为复杂, 求解的广义特征值问题也更为复杂.

  11. 中国科学院自动化研究所 线性方法的缺点 • 线性方法对于很多数据不能进行有效的处理. • 现实中数据的有用特性往往不是特征的线性组合. R

  12. 中国科学院自动化研究所 流形学习和维数约简 • 流形是线性子空间的一种非线性推广. • 流形是一个局部可坐标化的拓扑空间. • 流形学习是一种非线性的维数约简方法.

  13. 中国科学院自动化研究所 流形学习的可行性 • 很多高维采样数据都是由少数几个隐含变量所决定的，如人脸图像采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸部肌肉等因素决定. • 在认知科学研究中, 有学者认为人的认知过程是基于认知流形和拓扑连续性的. R

  14. 中国科学院自动化研究所 流形学习的一些数学基础 • 参考文献: • 陈省身, 陈维桓, 微分几何讲义. 北京大学出版社, 1983 • M Berger, B Gostiaux. Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces, GTM115. Springer-Verlag, 1974 • 陈维桓, 微分流形初步(第二版). 高等教育出版社, 2001

  15. 中国科学院自动化研究所 拓扑 • 集合上的拓扑 是 的满足以下性质的子集族: • 对属于它的任意多元素的并集是封闭的; • (ii) 对属于它的有限多元素的交集是封闭的; • 且 , • 称 是一个拓扑空间, 的元素叫做开集.

  16. 中国科学院自动化研究所 Hausdorff 空间 • 拓扑空间的任一开集称为它的每一个点及每一个子集的一个领域. • 如果对空间 中的任意两点 存在 和 使得 称 是一个Hausdorff 拓扑空间. 。x A 。y B

  17. U 同胚映射 。 P M 中国科学院自动化研究所 流形的定义 设 M是一个Hausdorff 拓扑空间, 若对每一点 都有P 的一个开领域 U和 的一个开子集同胚,则称 M 为 n 维拓扑流形, 简称为 n 维流形.

  18. M Rn z x: coordinate for z x2 R2 x x1 中国科学院自动化研究所 坐标卡 假定 是同胚, 其中 是 中的开集, 则称 为流形 M的一个坐标卡, 并且把 在 中的坐标 称为点 的坐标. 流形在本质上是局部可坐标化的拓扑空间.

  19. 中国科学院自动化研究所 相关 设 是 n维流形M 的两个坐标卡. 若当 时, 和它的逆映射都是 次可微的, 则称 是 相关的.

  20. 中国科学院自动化研究所 微分结构 • 设M是 n 维流形, 假定 是 M 上 • 坐标卡的一个子集合, 且满足以下条件: • 构成 M的一个开覆盖; • (2) 属于 的任意两个坐标卡都是 相关的; • 是极大的, • 则称 是M上的一个 微分结构.

  21. 微分流形 中国科学院自动化研究所 设 M是 n维流形, 若在 M上指定了一个 微分结构 , 则称 为一个 n维 微分流形. 属于 的坐标卡 称为该微分流形的容许坐标卡. 当 时, 称 M为光滑流形.

  22. 。 M R 中国科学院自动化研究所 光滑函数 设 是定义在光滑流形 M上的连续函数. 若在点 , 存在 M的一个容许坐标卡 使得 , 是在点 处光滑的函数, 则称函数 在点 处是光滑的.

  23. 中国科学院自动化研究所 光滑映射 设 M, N分别是 m维, n 维光滑流形, 是连续映 射. 设 , 若存在 M在点 x 处的容许坐标卡 及 N在点 处的容许坐标卡 , 使得 是在点 处光滑的映射, 则称映射 在点 处是光滑 的. 处处光滑的映射称为光滑映射.

  24. 。 M 。 N 中国科学院自动化研究所 光滑映射示意图

  25. 中国科学院自动化研究所 切向量 • 光滑流形M在点 x 的切向量 是一个满足下列条件的映 • 射 • 有 • 有 • 有 • 光滑流形的切向量是曲线的切向量的一种推广.

  26. S1 M x S2 T2 T1 中国科学院自动化研究所 切空间 设M是 m 维光滑流形, , 用 表示M在点 处 的全体切向量的集合, 则在 中有自然的线性结构,使得 成为m维向量空间, 称其为 M在点 的切空间.

  27. 中国科学院自动化研究所 Riemann 流形 • 黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间 • 上指定了欧氏内积的微分流形. R

  28. 中国科学院自动化研究所 与流形学习有关的参考文献 • 与机器学习, 统计学等相关的各种杂志和会议论文. • http://www.cse.msu.edu/~lawhiu/manifold/

  29. 中国科学院自动化研究所 流形学习问题 设 是一个低维流形, 是一个光滑嵌入, 其中 D>d . 数据集 是随机生成的, 且经过 f 映射为观 察空间的数据 流形学习就是在给定观察样本 集 的条件下重构f和 . V. de Silva and J. B. Tenenbaum. Global versus local methods in nonlinear dimensionality reduction . Neural Information Processing Systems 15 (NIPS'2002), pp. 705-712, 2003.

  30. 中国科学院自动化研究所 几种流形学习算法 • 局部线性嵌入(LLE). • S.T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, 2000, 290: 2323--2326. • 等距映射(Isomap). • J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, 2000, 290: 2319--2323. • 局部切空间排列(LTSA). Z.Y. Zhang, H.Y. Zha. Principal manifolds and nonlinear dimensionality reduction via tangent space alignment. SIAM Journal of Scientific Computing, 2005, 26(1): 313-338.

  31. 中国科学院自动化研究所 局部线性嵌入(LLE) • 前提假设：采样数据所在的低维流形在局部是线性的，即每个采样点可以用它的近邻点线性表示. • 学习目标：在低维空间中保持每个邻域中的权值不变，即假设嵌入映射在局部是线性的条件下, 最小化重构误差. • 求解方法：特征值分解.

  32. 中国科学院自动化研究所 LLE算法 1 计算每一个点 的近邻点, 一般采用K 近邻或者 邻域. 2 计算权值 使得把 用它的K个近邻点线性表示 的误差最小, 即通过最小化 来求出 . 3 保持权值 不变, 求 在低维空间的象 , 使 得低维重构误差最小.

  33. 中国科学院自动化研究所 LLE算法示意图

  34. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的求解 1计算每一个点 的近邻点. 2 对于点 和它的近邻点的权值 , 3 令 , 低维嵌入 是 M 的最小的第 2到第 d＋1 个特征值对应的特征向量.

  35. LLE算法的例子(1) 中国科学院自动化研究所

  36. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的例子(2)

  37. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的优点 • LLE算法可以学习任意维数的低维流形. • LLE算法中的待定参数很少, K和 d. • LLE算法中每个点的近邻权值在平移, 旋转,伸缩变换下是保持不变的. • LLE算法有解析的整体最优解,不需迭代. • LLE算法归结为稀疏矩阵特征值计算, 计算复杂度相对较小, 容易执行.

  38. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的缺点 • LLE算法要求所学习的流形只能是不闭合的且在局部是线性的. • LLE算法要求样本在流形上是稠密采样的. • LLE算法中的参数 K, d有过多的选择. • LLE算法对样本中的噪音比较敏感. R

  39. 中国科学院自动化研究所 多维标度 (MDS) • MDS 是一种非监督的维数约简方法. • MDS的基本思想: 约简后低维空间中任意两点间的距离 应该与它们在原高维空间中的距离相同. • MDS的求解: 通过适当定义准则函数来体现在低维空间 中对高维距离的重建误差, 对准则函数用梯度下降法求解, 对于某些特殊的距离可以推导出解析解法.

  40. 中国科学院自动化研究所 MDS的准则函数

  41. 中国科学院自动化研究所 MDS的示意图

  42. 中国科学院自动化研究所 MDS的失效

  43. 中国科学院自动化研究所 等距映射(Isomap)的基本思想 • 建立在多维尺度变换(MDS)的基础上, 力求保持 • 数据点的内在几何性质, 即保持两点间的测地距离.

  44. 中国科学院自动化研究所 Isomap的前提假设 • 高维数据所在的低维流形与欧氏空间的一个子 集是整体等距的. • 与数据所在的流形等距的欧氏空间的子集是一 个凸集.

  45. 中国科学院自动化研究所 Isomap算法的核心 • 估计两点间的测地距离: • 1 离得很近的点间的测地距离用欧氏距离代替. • 2 离得较远的点间的测地距离用最短路径来逼近.

  46. 中国科学院自动化研究所 测地距离估计

  47. 中国科学院自动化研究所 Isomap算法 1 计算每个点的近邻点 (用K近邻或 邻域). 2 在样本集上定义一个赋权无向图 如果 和 互为近邻点, 则边的权值为 3 计算图中两点间的最短距离, 记所得的距离矩阵为 . 4 用MDS求低维嵌入流形 , 令 低维嵌入是 的最大的 d个特征值所对应的特征向量.

  48. 中国科学院自动化研究所 图距离逼近测地距离 • M. Bernstein, V. Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum 证明了如下的渐进收敛定理. • 假设采样点是随机抽取的, 则 • 渐进收敛定理 给定则只要样本集充分大且适当选择K , 不等式 • 至少以概率 成立.

  49. 中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(1) The input consists of a sequence of 4096-dimensional vectors. Applied to N =698 raw images, Isomap (K =6) learns a three-dimensional embedding of the data’s intrinsic geometric structure.

  50. 中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(2) Isomap applied to N=1000 handwritten “2”s from the MNIST database. Used e-Isomap (with e=4.2).

More Related