2.4 傅里叶变换的基本性质

2.4傅里叶变换的基本性质 • 1. 线性特性 • 2. 共轭对称特性 • 3. 对称互易特性 • 4. 展缩特性 • 5. 时移特性 • 6. 频移特性 • 7. 时域卷积特性 • 8. 频域卷积特性 • 9. 时域微分特性 • 10. 积分特性 • 11. 频域微分特性 • 12. 能量定理

1. 线性特性 其中a和b均为常数。

2.奇偶虚实性 x(t)的付氏变换式X(f)可由实部虚部组成：如果x(t)是实偶函数,则X(f)为实偶函数。如果x(t)是实奇函数,则X(f)为虚奇函数。同理:如x(t)是虚偶函数，X(f)也为虚偶函数；如x(t)是虚奇函数， X(f)为实奇函.

3．时移特性 式中t0为任意实数证明：令u= t-t0，则du=dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。

[例1]试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数X1(jw)。[例1]试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数X1(jw)。 [解] 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，其对应的频谱函数为因为故，由延时特性可得

4. 频移特性（调制定理） • 若 • 则式中ω0为任意实数证明：由傅立叶变换定义有

5. 展缩特性 证明: 令u=at，则du=adt ，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。

6.互易对称特性

信号x(t)与余弦信号cosw0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。信号x(t)与余弦信号cosw0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。同理

[例2] 试求矩形脉冲信号x(t)与余弦信号cosw0 t相乘后信号的频谱函数。 [解] 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为应用频移特性可得

7.时域微分特性 • 若 • 则

[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 • [解] 由上式利用时域微分特性，得因此有

8.积分特性 若信号不存在直流分量即X(0)=0

9.频域微分特性 • 若证明：将上式两边同乘以j得

10.时域卷积特性 证明：

11.频域卷积特性(调制特性) 证明：

傅立叶变换性质一览表 • 1. 线性特性 • 2. 对称互易特性 • 3. 展缩特性 • 4. 时移特性 • 5. 频移特性 • 6. 时域卷积特性 • 7. 频域卷积特性 • 8. 时域微分特性 • 9. 积分特性 • 10. 频域微分特性

2.4 傅里叶变换的基本性质