计算方法

1. 计算方法 主讲： 西北工业大学网络教育学院

2. 计算方法 主讲： 西北工业大学网络教育学院

3. 计算方法 主讲： 西北工业大学网络教育学院

4. 计算方法 第一章 绪论 第二章　求方程根的近似方法 第三章　线性代的方程组解法 第四章　矩阵特征值和特征向量计算 第五章　插值法

5. §1.1计算方法的任务与特点 计算方法 第一章:绪论 实际问题　　数学问题　　提供计算方法 程序设计　　上机计算　　结果分析

6. 基本的数学问题: 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。

7. 求精确解(值)一般非常困难。例如： 1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。 2. 特征值定义

8. 3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如 希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 数值方法。

9. §1.2 误差基础知识 一 .误差来源（分类） 1. 模型误差。 2. 观测误差。 3. 截断误差，如 右端是截断误差。

10. 4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下： 舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。

11. 二．误差基本概念 1．绝对误差。设 ——准确值， ——近似值。 称 　为 的绝对误差。 为 的绝对误差限。 2．相对误差。称 　　为 的相对误差。 实用中，常用 表示 的相对误差。 称 为 的相对误差限。

12. 3．有效数字 设 若 (1.1) 则说 具有n位有效数字，分别是 若 ，则称 为有效数。

13. 例1.1 设 =0.0270是某数 经“四舍五入”所得，则 误差 不超过 末位的半个单位，即： 又 ,故该不等式又可写为 由有效数字定义可知, 有3位有效数字，分别 是2,7，0。

14. 例1.2 = 32.93, = 32.89, 故 有3位有效数字，分别是3,2，8。 由于 中的数字9不是有效数字，故 不是有效数。

15. 三、有效数位与误差的关系 1. 有效数位n越多，则绝对误差 越小 (由定义1.1) 2.定理1.1 若近似数 具有n位有效数字，则 (1.2) 反之， 若 则 至少有n位有效数字。

16. 四、数值运算的误差估计 1. 一元函数情形 设 则 ，由Taylor展开公式 （1.3） 两边除以　 得 (1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函 数值的误差的近似式（误差传播）。 (1.4)

17. 2. 多元函数情形 设 ， 则， 由多元函数的Taylor展开公式类似可得 （1.5） （1.6） ,可得 , 在（1.6）式中，分别取 （1.7） ( 同号) （1.8） （1.9）

18. 例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的 近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将 换为 s=ab, 则 相对误差限为

19. §1.3 选用算法应遵循的原则 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为 若采用递推算法, 则乘法次数仅为n. 又如

20. 2.防止大数“吃掉”小数 当|a|>>|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则 3.尽量避免相近数相减 例如，当x很大时，应 ， 当x接近于0时，应

21. 4.避免绝对值很小的数做分母 当|b|<<|a|时，应尽量避免 。 5. 选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速 增长 例如 若 （误差 ）则计算 时误差扩大了 倍,而 （n=1,2,…） 是稳定的。

22. 基本要求： 1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法； 2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念； 3.熟悉公式（1.2）--（1.9）； 4.熟悉选用算法应遵循的原则； 作业： 作业集（A）第一章 1，2，3，4，5，6，7，8

23. 计算方法 第二章 求方程根的近似方法 f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求 （找近似有效简单方法）。 §2.1 区间二分法 理 论 : f(x) ∈ C[a,b],单调， f(a)f(b)<0 f(x)=0在(a,b)有惟一根。 根分离：画草图，试算. 多项式方程根的模 的上下界。

24. 例2.1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 f(2)=14>0 -(1,2)+ f(1.25)<0 (1.25,1.5) f(1.375)>0 (1.25,1.375) f(1.313)<0 (1.313,1.375) f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) f(1.368)>0 (1.360,1.368) f(1.5)>0 (1,1.5)

25. ，则 （事后估计） 优点：条件简单. 缺点：收敛慢. 不易求偶数重根. 如图 y x

26. §2.2 迭代法 一. 迭代法的建立与收敛性

28. 2.收敛定理（定理2.2）

30. (2) (＊ )1 ，故收敛。

31. (3) 注：L越小，收敛越快。

32. 3．编程停机判断 （取定初值 ）计算，当 由 时，由（＊） 3式知 比较小，此时停机， 二、迭代加速公式（略）

33. §2.3Newton 迭代法 一 Newton 迭代法 1.迭代公式建立 在 点Taylor展开 将 ——Taylor展开线性化（重要思想） 近似于 ，则 解出 记为

34. 2.Newton迭代法的几何意义 过 切线 与 求交点，解出 , 则

35. 3. Newton迭代法收敛定理（定理 2.6） 设 在 有根α，且 在 （1） 连续，且分别不变号； （2） 取初值 ,使 则 Newton 迭代法（2.1）产生的数列 的收敛到根α。 证： 以 为例证明（其它情况类似）

36. 将 处Taylor展开 说明数列 有下界α 故 单调递减。 又 ， 收敛。设 则由（2.1），

37. 例2.2 用 Newton 迭代法求 解：设 ，则由（2.1） 取

38. 基本要求 • 熟悉区间＝分法； • 熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理； • 熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。 • 作业： • 作业集（B）第二章 • 1、2、3、4、6

39. 计算方法 二.迭代法的收敛阶(收敛速度) 1.定义:设 若有实数p>0,使 p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法. 特别, 则称 p=1时叫线性收敛, p=2时叫平方收敛. p越大越好(why?)

40. 2.定理2.7

41. (2)由2.6的证明有： 所以，此时Newton法至少二阶收敛.

42. 3. Newton法改进： §2.4 弦截法——(略)

43. 第三章 线性代数方程组解法 解线性方程组

44. §3.1直接法 一、 Gauss　消去法 设 有 线性代数：方法不好时工作量非常大， 工作量小的方法是 Gauss 消去法。 消 元：

45. 二 列主元素消去法---计算结果可靠

46. 到此原方程组化为

47. 到此原方程组化为

48. (n-1) 原方程组化为 (上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。 (n) 回代求解公式 （3.3) （3.3) 是回代过程。

49. 说明： (1)也可采用无回代的列主元消去法(叫Gauss- --Jordan消去法)，但比有回代的列主元消 去法的乘除运算次数多。 (2)有回代的列主元消去法所进行的乘除运算 次数为 ，量很小。 三、 Gauss 全主元消去法： 优点------计算结果更可靠； 缺点------挑主元花机时更多， 次序有变动，程序复杂。

50. 四、应用 （1）求行列式 （2）求逆矩阵 (以上过程都应选主元)