第 3 章单相正弦交流电路

第3章单相正弦交流电路 在日常生活中所用的就是单相正弦交流电，简称交流电。本章主要介绍交流电的相量表示法及电阻、电感、电容元件在交流电路中的电流、电压和功率的分析法。

3.1 交流电的三要素 • 幅值、频率和初相 • 3.1.1 幅值 • 交流电的瞬时值表达式为 • u＝Umsin(ωt＋ψ) (3.1) • Um幅值,又称最大值。 • 有效值U与幅值的关系为 • （3.2）

3.1.2 频率 每秒内交流电变化的次数，称为频率f（Hz）。交流电变化一次所需要的时间称为周期T（s）。频率与周期的关系为（3.3） f ＝50Hz 称为工频。 ω （red／s）称为角频率。 ω＝2πf ＝ (3.4)

【例3.1】 已知我国的交流电f ＝50 Hz, 试求T 和ω。解： ω＝2πf ＝2×3.14×50＝314rad/ s

3.1.3 初相 u＝Umsin(ωt＋ψ) (ωt＋ψ)称为相位。它表示交流电在某一时刻所处的变化状态，决定该时刻瞬时值的大小、方向和变化趋势。 ψ称为初相，它表示计时开始时交流电所处的变化状态幅值、频率和初相分别表示交流电变化的幅度、快慢和起始状态。称为交流电的三要素。

3.2 交流电的相量表示法 交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。用复数的运算方法进行交流电的分析和计算，称为交流电的相量表示法。

3.2.1 复数的二种表示形式 图3.2称为复平面图，A为复数，横轴为实轴+1，a是A的实部，A与实轴的夹角ψ称为辐角，纵轴为虚轴j = 。b是A的虚部，r为A的模。这些量之间的关系为

3.2.2 相量与复数 交流电的相量交流电的有效值I ＝r 交流电的初相ψ＝ψ

3.2.3 相量的运算 相量只是正弦交流电的一种表示方法和运算的工具，只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算，所以相量运算只含有交流电的有效值（或幅值）和初相两个要素。

【例3.2】 已知u1、u2的有效值分别为U1＝100V， U2＝60V， u1 超前于 u2 600，求(1)总电压 u＝u1＋u2 的有效值，并画出相量图；(2)总电压 u 与 u1 及 u2 的相位差。解：只有同频率的交流电才能进行相量运算，所以 = =ψ1－ψ2＝600，如选ψ1＝00，则

3.3 单一参数的交流电路 单一参数是指在电路中只有电阻R、电感L或电容C其中的一种元件。掌握了单一参数在电路中的作用，混合参数电路的分析就很容易掌握了。

3.3.1电阻电路 1．R上电压与电流关系如选择 i＝Imsinωt 则 u＝Ri＝RImsinωt＝Umsinωt u与i同频同相。其有效值及相量的关系分别为 U＝RI

2.R上功率 p＝ui＝UmImsin2ωt＝U I (1－cos2ωt) ＝U I－U Icos2ωt 平均功率为 P ＝UI＝I2R＝ P为正值，R 吸收功率为耗能元件 P又称有功功率

3.3.2电感电路 1．L上电压与电流关系如 i＝Imsinωt则电感电路u超前i 900，有效值的关系为U＝XL I XL＝ωL＝2πf L ，XL （Ω）称为感抗，f愈高XL愈大。

2. L上功率 p＝ui＝UmImsin(ωt＋900)sinωt ＝UmImcosωtsinωt＝UIsin2ωt 在0-π/2区间p为正值，电感吸收功率，在π/2-π区间p为负值，电感发出功率，不消耗功率，为储能元件。电感的平均功率P＝0。电感与电源之间能量的互换用无功功率Q来计量。 Q＝UI＝I2XL＝(var)

【例3.3】 在功放机的电路中，有一个高频扼流线圈，用来阻挡高频而让音频信号通过，已知扼流圈的电感L＝10mH，求它对电压为5伏，频率为f1＝500kHz的高频信号及对f2＝1kHz的音频信号的感抗及无功功率分别是多少？解：XL1＝2πf1 L＝2×3.14×500k×10m＝31.4kΩ Q1＝I1U＝0.16m×5＝0.8mvar XL2＝2πf2 L＝2×3.14×1k×10 m＝62.8Ω Q＝I2U＝79.62 m×5＝398mvar

3.3.3 电容电路 1．C上电压与电流关系如 u＝Umsinωt则电容i 超前u900，有效值 U＝XC I （Ω） XC称为容抗，与频率f成反比，f愈高XC愈小。电容有隔直通交作用。电容两端的电压与电流的相量关系为

2. C上功率 p＝ui＝UmImsinωtsin(ωt＋900) ＝UmImsinωtcosωt＝UIsin2ωt 在0-π/2区间p为正值，电容吸收功率，在π/2-π区间p为负值，电容发出功率，不消耗功率，也为储能元件。 P＝0，电容与电源之间互换的能量用无功功率Q来计量，单位是乏（var）

【例3.4】 在收录机的输出电路中，常利用电容来短掉高频干扰信号，保留音频信号。如高频滤波的电容为0.1μF，干扰信号的频率f1＝1000KHz，音频信号的频率f2＝1kHz，求容抗分别为多少？解：

3.4 电阻、电感、电容串联的电 3.4.1 阻抗三角形 R、L、C串联后对电流的阻碍作用称为阻抗，用字母Z （Ω）表示，复数式为Z＝R＋jXL＋(－jXC)＝R＋j(XL－XC)＝R＋jX X （Ω）称为电抗 X＝XL－XC 阻抗值为 |Z|、R、X三者之间符合直角三角形的关系，称其为阻抗三角形。阻抗角＝arctan

3.4.2 电压三角形 与之间的相位差　＝ψu－ψi＝arctan ＝ arctan

3.4.3 功率三角形 将电压三角形的各个边乘以电流I，就可得到功率三角形。 P＝UR I＝S cos （W） Q＝QL－QC=S sin （var） S＝U I＝＝　　（VA）阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算R、L、C串联或其中两种元件串联的重要依据。

3.5功率因数的提高 功率因数：在只有电感或电容元件的电路中，P＝0，S＝Q，＝0；在只有电阻元件的电路中， Q＝0，S＝P，＝1 ；当L很大时，并接电容提高功率因数

【例3.5】 某供电设备输出220V，额定视在功率为220kVA，如果向额定功率为33kW，功率因数为0.8的工厂供电，能供给几个工厂？若把功率因数提高到0.95，又能供给几个工厂？每个工厂应并接多大的电容？解：供电设备输出的额定电流为当 1＝0.8时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为个厂当＝0.95时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为1个厂应并接的电容式中1＝arccos0.8＝36.90＝arccos0.95＝18.20 916μF 1

3.6 电路中的谐振 所谓谐振，是指在含有电容和电感的电路中，当调节电路的参数或电源的频率，使电路的总电压和总电流相位相同时，整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振。谐振分为串联谐振和并联谐振。

3.6.1串联谐振 R、L、C串联当与同相时, 即＝0，电路产生串联谐振。串联谐振的条件是 XL＝XC 即

串联谐振的特点： （1）电路的阻抗最小并呈电阻性，根据阻抗三角形（2）电路中的电流最大，谐振时的电流为（3）当XL＝XC＞＞R时，UL＝UC＞＞U故又称其为电压谐。串联谐振电路的品质因数

【例3.6】 某收音机的输入电路，各地电台发射的无线电波在天线线圈中分别产生感应电动势e1、、e2、e3等。如果线圈的电阻为16Ω，电感为0.3mH，今欲收听中央人民广播电台560kHz的广播，应将调谐的可变电容C调到多少？如果调谐回路中感应电压为2μV，求谐振电流及谐振线圈上的电压UL及谐振电路的品质因数Q。

解：串联谐振频率 电容谐振时 XL＝2πf0L＝2×3.14×560k×0.3m＝1kΩ UL＝I0XL＝0.13μ×1k＝130μV

3.6.2并联谐振 当R＜＜ωL，同相时，即＝0，电路产生并联谐振。并联谐振的条件是XL＝XC。谐振频率。并联谐振的特点：（1）阻抗最大，呈电阻性，（2）电路的总电流量小，（3）谐振总电流和支路电流的相量关系如图。并联谐振各支路电流大于总电流，所以并联谐振又称其为电流谐振。

本章小结 1.幅值、频率和初相是正弦交流电的三要素。 2.正弦交流电主要有瞬时表达式，波形图和相量表示法三种形式。相量表示法是利用复数的运算方法对正弦交流电进行分析和运算。 3.电阻电路电压与电流同相，电感电路电压超前电流900，电容电路电压滞后电流900.电阻为耗能元件，电感、电容均为储能元件。利用相量图可得出R、L、C串联电路的阻抗三角形、电压三角形和功率三角形。 4.串联谐振的条件是XL＝XC ，同相。特点是阻抗最小|Z0|＝R，电流最大，如果XL＝XC＞＞R，则UL＝UC＞＞U ，所以串联谐振又称电压谐振。并联谐振在R＜＜XL时，（一般情况都能满足），其谐振条件也为XL＝XC ，同相。特点是阻抗最大，总电流I0最小，IL≈IC＞＞I0所以并联谐振又称电流谐振。

第 3 章 单相正弦交流电路