第九章弯曲变形静不定梁

第九章弯曲变形静不定梁 §9-1 概述一、工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

二、弯曲变形的基本概念 1.挠曲线挠曲线

规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正 2.挠度和转角挠曲线方程：转角方程：

曲线的曲率为 §9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式

梁的挠曲线近似微分方程:

二、用积分法求梁的变形 式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。

解：由边界条件：得：

梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。

解：由边界条件：得：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 vmax。

解：得：由边界条件：得：由对称条件：

AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。

解：由对称性，只考虑半跨梁ACD

由连续条件： 由边界条件：由对称条件：

§9-3 用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算 一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

例：用叠加法求

解：

例：已知梁的为常数，今欲使梁的挠曲 线在处出现一拐点，则比值为多少？

解：由梁的挠曲线近似微分方程 知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：

例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？

例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？

例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。

解：

例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？

解：

例：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。

解：

例：求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD。

解：

例：求图示梁C点的挠度 vC。

解：

例：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 vB、 vC。

解：

例：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。

解：

例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角θB（ｋ为弹簧系数）。

解：弹簧缩短量

例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。

例：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 。求C端挠度vC。

解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 (2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为 (3)C点总挠度为

第九章 弯曲变形 静不定梁