2.2.2 对数函数及其性质

1. 2.2.2 对数函数及其性质

2. y y y=1 y=1 (0,1) (0,1) 0 x 0 x 复习回顾：函数 y = ax ( a＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R. 0 < a < 1 a > 1 图 象 定 义 域 : R 性 质 值 域 : (0 ,+∞) 过点(0,1),即x=0 时,y = 1. 在R上是增函数 在R上是减函数

3. 思考 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用 估计出土文物或古遗址的年代。 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系 ，都有唯 一确定的年代 t 与它对应，所以，t 是P的函数。 t 能不能看成是 P 的函数？

4. 一般地，函数y = loga x(a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞） 判断：以下函数是对数函数的是 （ ） A y=log2(3x-2) B y=log(x-1)x C y=log1/3x2 D y=lnx

5. 例1 求下列函数的定义域： 求定义域：（4）对数的真数大于零，底数大于零不等于1.

6. 对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质 在同一坐标系中用描点法画出对数函数 的图象。 作图步骤:①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。

7. 和 的图象： y= log x 列 表 -1 0 1 2 3 1 0 -1 -2 -3 y 思考 5 4 3 2 1 y＝log2x 这两个函数的图象有什么关系呢？ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 关于x轴对称

8. 对数函数的图象和性质 a>1 y 0<a<1 x=1 y y=logax(a>1) x=1 o x (1, 0) (1, 0) o x y=logax (0<a<1) (1)定义域: (0, +∞) (2)值 域: R (3)过点(1, 0),即x=1时, y=0. (4)在(0, +∞)上是增函数. (4)在(0, +∞)上是减函数.

9. 底数大小对图象的影响 y 1 x 1 o 当底数大于1时，底数越大， 图象越靠近 x轴

10. 底数大小对图象的影响 y 1 x 1 o 底数大于零不等于1时，底数越小， 图象越靠近 x 轴

11. y y=log x 2 y=log x 10 0 1 x y=log x 0.1 y=log x 0.5 图 形 补充性质一 底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称。 补充性质二 底数a>1时,底数越大,其图像越接近x轴。 底数0<a<1时,底数越小,其图像越接近x轴。

12. 例8、比较下列各组数中两个数的大小： （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2x在 ( 0 , + ∞) 上是增函数 且 3 . 4 ＜8 . 5 ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5

13. 例8、比较下列各组数中两个数的大小： （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解：∵ y = log 0 . 3x在 ( 0 , + ∞) 上是减函数 且 1 . 8 ＜2 . 7 ∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 7 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.

14. 例8、比较下列各组数中两个数的大小： ( a＞ 0, 且 a ≠ 1 ) （3）loga 5 . 1 与 loga5 . 9 若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

15. 例2：比较下列各组数中两个值的大小： （1）log 6 7与 log 7 6 （2） log 3 π与 log 2 0 . 8 解：∵ log 6 7＞ log 6 6 = 1 解：∵ log 3 π＞ log 3 1 = 0 且 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 6 7＞ log 7 6 ∴ log 3 π＞ log 2 0 . 8 若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较

16. 例2：比较下列各组数中两个值的大小： （3） log 2 7与 log 3 7 （4） log 0 . 2 0 . 8与 log 0 . 3 0 . 8 解：∵ log 7 3＞ log 7 2 ＞0 解：∵ log 0 . 8 0 . 2＞ log 0 . 8 0 . 3 且 log 0 . 8 0 . 2、 log 0 . 8 0 . 3 ＞0 ∴ log 2 7＞ log 3 7 ∴ log 0 . 2 0 . 8＜ log 0 . 3 0 . 8 若真数为同一常数,先用公式变为底数为同一常数， 再利用对数函数的单调性进行判断.

17. 口答：比较下列各题中两个值的大小 > < < >

18. 比较两个对数值的大小的方法： (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若真数为同一常数,先用公式变为底数为同一常数，再利用对数函数的单调性进行判断. (3)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较　

19. 解: 根据对数的运算性质，有 在(0,+∞)上，随着[H+]的增大，　 减少，相应地，　　 也减少，即pH减少．所以，随着[H+]的增大，pH减少．即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小． 例9：溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。 (1)、根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

20. (2)、已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。(2)、已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。 解：当[H+]=10-7时，pH= -lg10-7=7．所以，纯净水的pH是７． 胃酸中氢离子的浓度是2.5×10－２摩尔/升，胃酸的pH是多少？ 胃酸pH= -lg 2.5×10－２ 　　　　　= -lg2.5 +2≈1.6

21. 探究 在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由． 根据指数与对数的关系： 对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在Ｒ中都有唯一确定的的值和它对应．也就是说，可以把y看作为自变量，x作为y的函数．

22. 这时我们就说x=log2y (y∈(0,+∞))是函数y=2x(x ∈R)的反函数． 习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量，y是x的函数 把x=log2y 写成y=log2x 因此，对数函数y=log2x (x∈(0,+∞))是指数函数y=2x(x ∈R)的反函数． 　指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞))互为反函数．

23. 　　一般地，指数函数y=ax(x ∈R， a＞ 0 且 a ≠ 1)与对数函数y=logax (x∈(0,+∞)，a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数．

24. y y=x x o 对数函数y=log2x与指数函数y=2x的图象

25. 对数函数y=log x与指数函数y= ( )x的图象 y y=x y=log x x o

26. 　　一般地，指数函数y=ax(x ∈R， a＞ 0 且 a ≠ 1)与对数函数y=logax (x∈(0,+∞)，a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数． 互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

27. 小 结 一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.