ba03 deskriptivn ge ometrie n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
BA03 Deskriptivn í ge ometrie PowerPoint Presentation
Download Presentation
BA03 Deskriptivn í ge ometrie

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 56

BA03 Deskriptivn í ge ometrie - PowerPoint PPT Presentation


  • 250 Views
  • Uploaded on

BA03 Deskriptivn í ge ometrie. Mgr. Jan Šafařík. přednášková skupina P-B1VS 2 učebna Z240 letní semestr 20 13 -20 14. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie. Deskriptivní geometrie BA03. Kontakt:. Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Žižkova 17, 662 37 Brno

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'BA03 Deskriptivn í ge ometrie' - demetrius-glover


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
ba03 deskriptivn ge ometrie

BA03Deskriptivní geometrie

Mgr. Jan Šafařík

přednášková skupina P-B1VS2

učebna Z240

letní semestr 2013-2014

kontakt

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Kontakt:

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie

Žižkova 17, 662 37 Brno

místnost Z221

telefon: 541147606

e-mail:safarik.j@fce.vutbr.cz

www: http://vyuka.safarikovi.org/

konzultační hodiny:čtvrtek, 10:00 – 11:00

V případě potřeby je možné domluvit konzultaci i mimo stanovený čas po individualní domluvě.

z kladn literatura

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Základní literatura:
  • Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
z kladn literatura1

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Základní literatura:
  • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
  • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
  • Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:Vyrovnávací kurz deskriptivní geometrie BA91 , Fakulta stavební VUT v Brně, 2007. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
  • Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.
  • Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část B, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.
doporu en literatura

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Doporučená literatura:
  • Stránky Deskriptivní geometrie pro 1. ročník kombinovaného studia FAST, http://math.fce.vutbr.cz/ks_dg.php.
  • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie I. - Kuželosečky, Fakulta stavební VUT, Brno 1988.
  • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie II. - Promítací metody, Fakulta stavební VUT, Brno 1989.
  • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
  • Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
  • Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie I, SNTL/SVTL, Praha 1966.
  • Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
  • Vala, Josef: Deskriptivní geometrie I, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
  • Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
c l p edm tu

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Cíl předmětu:

Zvládnout konstrukci kuželoseček na základě ohniskových vlastností. Pochopit principy perspektivní kolineace a perspektivní afinity a umět je použít při řešení příkladů. Pochopit a zvládnout základy promítání: Mongeova, kolmé axonometrie a lineární perspektivy. Rozvinout prostorovou představivost a zvládnout prostorové řešení jednoduchých úloh. Umět zobrazit jednoduchá geometrická tělesa a plochy v jednotlivých projekcích, jejich řezy. V lineární perspektivě zvládnout zobrazení stavebního objektu. Seznámit se se stručným výběrem poznatků z teorie křivek a ploch, umět konstrukci šroubovice ze zadaných prvků a konstrukci pravoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy. Seznámit se se stručným výběrem z teorie zborcených ploch, umět konstrukci hyperbolického paraboloidu a konoidů ze zadaných prvků.

http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

harmonogram p edm tu

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Harmonogram předmětu:
  • Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip promítání středového a rovnoběžného. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.
  • Systém základních úloh, užití na příkladech. Mongeovo promítání. Základní pojmy. Základní úlohy.
  • Mongeovo promítání. Základní úlohy. Průmět kružnice. Zavedení třetí průmětny.
  • Mongeovo promítání. Zobrazení tělesa. Řezy těles, příklady.
  • Kolmá axonometrie. Základní pojmy. Konstrukce v souřadnicových rovinách, kružnice v souř. rovině. Úlohy polohy.
  • Kolmá axonometrie. Zobrazení tělesa. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Zářezová metoda. Šikmé promítání na nárysnu (konstrukce v půdorysně, těleso s podstavou v půdorysně)

http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

harmonogram p edm tu1

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Harmonogram předmětu:
  • Úvod do středového promítání. Lineární perspektiva. Promítací aparát. Průsečná metoda.
  • Lineární perspektiva. Vynášení výšek. Metoda sklopeného půdorysu. Délky úseček v základní rovině. Metody volné perspektivy.
  • Lineární perspektiva. Další metody konstrukcí perspektivy (metoda dvou úběžníků, měřících bodů, hloubkových přímek). Kružnice v základní a svislé rovině. Gratikoláž.
  • Prostorová křivka. Šroubovice (zadání: (o, A, v/vo, točivost), (o,t); oskulační rovina v bodě šroubovice). Úvod do teorie ploch.
  • Přímý šroubový konoid. Zborcené plochy. Zborcené plochy druhého stupně. Zborcený hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
  • Zborcené plochy vyššího stupně. Kruhový a parabolický konoid, Marseillský a Montpellierský oblouk.
  • rezerva

http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

harmonogram cvi en

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Harmonogram cvičení:
  • Ohniskové vlastnosti kuželoseček.
  • Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Křivka afinní ke kružnici. Konstukce sdružených průměrů.
  • Konstrukce elipsy založené na afinitě, Rytzova konstrukce, proužková konstrukce. Mongeova projekce. Základní konstrukce.
  • Mongeova projekce. Základní úlohy. Rozbor jednoduchých konstruktivních úloh. Užití třetí průmětny.
  • Mongeova projekce. Zobrazení tělesa. Řezy těles.
  • 1. kontrolní práce. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách. Zobrazení tělesa.
  • Kolmá axonometrie. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Šikmé promítání. Konstrukce v půdorysně (kružnice).
  • Lineární perspektiva
  • Lineární perspektiva.
  • Lineární perspektiva.
  • 2. kntrolní práce. Šroubovice. Šroubový konoid v kolmé axonometrii
  • Hyperbolický paraboloid. Kruhový konoid.
  • Rezerva. Zápočty.

http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

po adavky k z po tu

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Požadavky k zápočtu
  • dvě zápočtové písemky – úspěšnost alespoň 30% ze součtu obou písemek

1. zápočtová písemka – 6. týden semestru

2. zápočtová písemka – 11. týden semestru

  • 2 rysy – jednotné zadání pro všechny studijní skupiny, zadání budou upřesněna během semestru, rýsujte tužkou, na kladívkový papír, popis šablonkou
  • účast na cvičeních je povinná, tolerují se maximálně dvě omluvené neúčasti (viz studijní řád)
  • kontrola sešitu, vypracované typové příklady ze cvičení
  • domácí úlohy – řeší vyučující individuálně
okruhy k p semn zkou ce

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Okruhy k písemné zkoušce
  • Budou upřesněny během semestru na stránkách

http://vyuka.safarikovi.org/

geometrie a s tavitelstv

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Geometrie a stavitelství

Návrh

geometrie

Konstrukce

Prostředí

Stavba

Technologie

provádění

Ekonomika

Náklady

Materiál

geometrie v n vrhu

Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie BA03

Geometrie v návrhu

Transformace

operace s objekty

Tvary

Tělesa

Křivky

Plochy

Dimenze

Proporce

Zobrazení objektu

Skicování

Promítací metody

Počítačové zobrazování

hyperbolick paraboloid

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Hyperbolický paraboloid

Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna,

Calgary, Alberta, Canada

hyperbolick paraboloid1

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Hyperbolický paraboloid

Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo

hyperbolick paraboloid2

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Hyperbolický paraboloid

F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie

kulov plocha

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Kulová plocha

K zastřešení užito trojúhelníkových úsečí kulových ploch o shodném poloměru R=74.0m

arch. Jørn Utzon, 1973,

Opera v Sydney,

Nový Jižní Wales , Austrálie

jednod ln hyperboloid

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Jednodílný hyperboloid

arch. Oscar Niemeyer, 1970,

Cathedral of Brasília

(Catedral Metropolitana Nossa

Senhora Aparecida)

jednod ln hyperboloid1

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Jednodílný hyperboloid

The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.

jednod ln hyperboloid2

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Jednodílný hyperboloid

Chladící věže jaderných elektráren

rota n paraboloid

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Rotační paraboloid

Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966

arch. Norman Foster a Ken Shuttleworth, 2001-2004,

30 St Mary Axe, Londýn, velká Británie

rota n plocha

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Rotační plocha
  • Nejedná se o jednodílný rotační hyperboloid
  • Hyperbola rotuje kolem asymptoty
  • Zbytek plochy rotací spline funkcí

Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966

roubov plocha

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Šroubová plocha

Šroubování krychle o ¼ závitu; po stranách otevřené pravoúhlé přímkové šroubové plochy (svidřík)

arch. Santiago Calatrava, 2001-2005, Turning Torso

roubov plocha1

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Šroubová plocha

arch. Santiago Calatrava,

2007-2011, Fordham Spire

roubov plocha2

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Šroubová plocha

Fordham Spire

- návrh

p m roubov konoid

Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe

Deskriptivní geometrie BA03

Přímý šroubový konoid

Lednice - Minaret

Schodová plocha

jak zvl dnout deskriptivu

Deskriptivní geometrie BA03

Jak zvládnout deskriptivu?

Tajemství úspěchu není dělat

jen to, co se nám líbí, ale najít

zalíbení v tom, co děláme.

T. A. Edison

p edn ka 1

Přednáška č.1

Rozšířený euklidovský prostor.

Dělící poměr.

Princip středového a rovnoběžného promítání.

Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.

roz en euklidovsk prostor

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Rozšířený euklidovský prostor
  • každá vlastní přímka má jeden nevlastní bod (je incidentní s jedním nevlastním bodem),
  • nevlastní bod je určen směrem přímky, která je s tímto bodem incidentní,
  • všechny vzájemně rovnoběžné přímky se protínají v jediném nevlastním bodě,
  • každá vlastní rovina má jednu nevlastní přímku (je incidentní s nevlastní přímkou),
  • všechny vzájemně rovnoběžné roviny se protínají v jediné nevlastní přímce.
d l c pom r

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Dělící poměr

Zvolme na dané přímce p dva různé vlastní body A, B a kladný směr. Pak poloha libovolného dalšího bodu C je určena poměrem délek orientovaných úseček | AC | : | BC | = λ. Tento poměr nazýváme dělící poměr bodu C vzhledem k základním bodům A, B, značíme (ABC).

(ABC) > 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC|>|BC|

0 < (ABC) < 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC| < |BC|

(ABC) < 0 bod C leží uvnitř úsečky AB

(ABC) = 0 bod C splývá s bodem A

Hodnota dělícího poměru nezávisí na volbě orientace přímky.

Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na orientované přímce nazýváme poměr (ABC) : (ABD), t.j. podíl dělících poměrů bodů C a D vzhledem k základním bodům A, B; značíme (ABCD).

princip st edov ho a rovnob n ho prom t n

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Princip středového a rovnoběžného promítání
  • S ... střed promítání
  • s ... směr promítání
  • A´ ... průmět bodu
  • ρ ... průmětna
  • AA´ ... promítací paprsek
  • Definice:
  • Zobrazení, ve kterém obrazem bodu A v prostoru různého od bodu S je průsečík A´ přímky AS s rovinou ρ, se nazývá promítání. Bod S se nazývá střed promítání, rovina ρprůmětna, přímka ASpromítací přímka (promítací paprsek), bod A´ průmět bodu A, rovina procházející středem promítání promítací rovina.
  • Je-li střed S promítání vlastní bod, nazýváme promítání středové (centrální), je-li střed S promítání nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné (paralelní).
vlastnosti prom t n
Průmětem bodu, různého od středu promítání, je bod.

Průmětem přímky, která neprochází středem promítání, je přímka.

Průmětem promítací přímky je bod, tj. její průsečík s průmětnou.

Průmětem roviny, která neprochází středem promítání, je průmětna.

Průmětem promítací roviny je přímka.

Invariantem středového promítání je dvojpoměr čtyř bodů na přímce.

Důsledek:

a) průmětem rovnoběžných přímek nejsou rovnoběžky,

b) průmět nevlastního bodu může být bod vlastní i nevlastní.

Invariantem rovnoběžného promítání je dělící poměr tří bodů na přímce.

Důsledek:

a) průmětem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžky,

b) průmět středu úsečky je střed průmětu úsečky,

c) průmět vlastního bodu je bod vlastní.

d) průmět nevlastního bodu je bod nevlastní.

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Vlastnosti promítání

Věta:

Incidence prvků se promítáním zachovává.

Poznámka:

Metrické vlastnosti, tj. délky a úhly se obecně promítáním nezachovají.

zobrazovac metody
Rovnoběžná promítání

Kótované promítaní

Mongeovo promítání

Axonometrické promítání

- pravoúhlé (ortogonální)

- kosoúhlé (klinogonální)

Středová promítání

Obecné středové promítání

Lineární perspektiva

Stereoskopické promítání (anaglyfy)

Reliéf

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Zobrazovací metody
perspektivn kolineace

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní kolineace

Je dána trojboká jehlanová plocha s vrcholem S a dvě různoběžné roviny ρ a ρ'. Rovina ρ protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku ABC a rovina ρ' protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku A'B'C'. Pokud ΔABC promítneme z bodu S do roviny ρ', získáme ΔA'B'C'. Máme zobrazení bodů a přímek roviny ρ do bodů a přímek roviny ρ', ve kterém platí stejně jako v afinitě, že odpovídající si přímky se protínají na průsečnici rovin ρ a ρ'.

perspektivn kolineace1

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní kolineace

Definice:

Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a vlastní bod S neležící v žádné z daných rovin. Středovým promítáním ze středu S se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Toto zobrazení se nazývá perspektivní kolineace (dále jen kolineace) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa kolineace, bod S se nazývá střed kolineace.

Kolineace je jednoznačně určena středem S a rovinami ρ a ρ '.

Základní vlastnosti kolineace:

1. Bodu (přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' na přímce a' v rovině ρ ', přičemž a' je obrazem přímky a (incidence se zachovává).

2. Dvojice kolineárně sdružených bodů leží na přímkách procházejících středem kolineace (tyto přímky nazýváme paprsky kolineace).

3. Kolineárně sdružené přímky se protínají na ose kolineace. Osa kolineace je množina samodružných bodů.

perspektivn kolineace2

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní kolineace

Označení:

AA ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '.

AA ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou kolineárně sdružené body.

pp ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou kolineárně sdružené přímky.

Úběžník přímky - obraz nevlastního bodu, je to vlastní bod

Úběžnice roviny - obraz nevlastní přímky roviny, je to množina úběžníků všech přímek roviny

Orientovaná vzdálenost středu kolineace od úběžnice jedné roviny je rovna orientované vzdálenosti úběžnice druhé roviny od osy kolineace.

perspektivn kolineace3

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní kolineace

Promítneme-li z nějakého bodu O, který neleží v žádné z rovin ρ a ρ ', kolineaci mezi rovinami ρ a ρ ' do libovolné roviny  (O ), získáme zobrazení nazývané perspektivní kolineace v rovině, dále jen kolineace.

slide45

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Poznámka:

Kolineaci budete využívat při sestrojování rovinných řezů jehlanů a kuželů. Mezi podstavou a řezem je kolineární vztah, osou kolineace je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol tělesa.

Postup při sestrojení řezu jehlanu nebo kužele je následující:

1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (nebo osy tělesa) s rovinou řezu

2. Využitím vlastností kolineace určíme čáru řezu jako křivku kolineární ke křivce podstavy (osa kolineace: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce)

perspektiv n afinita

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní afinita

Je dána trojboká hranolová plocha, jejíž hrany a, b, c jsou rovnoběžné s daným směrem s. Dále jsou dány roviny ρ a ρ', které se protínají v přímce o. Rovina ρ protíná hranolovou plochu v ΔABC, rovina ρ' protíná hranolovou plochu v ΔA'B'C' , a (A, A' ) || b (B, B' ) || c (C, C' ) || s.

α (a,b) je rovina stěny hranolové plochy. V této rovině leží jak přímka AB =  ρα, tak přímka A'B' =  ρ' α. Průsečík přímek AB a A'B' (na obrázku označen I ) musí ležet na průsečnici o rovin ρ a ρ', protože je to společný bod tří rovin ρ, ρ', α. Můžeme také říci, že ΔA'B'C' vznikl promítnutím ΔABC směrem s do roviny ρ'.

perspektivn afinita

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní afinita
  • Definice:
  • Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a směr promítání s, který není rovnoběžný s žádnou z daných rovin. Rovnoběžným promítáním ve směru s se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Získáme tak geometrické zobrazení v prostoru nazývané perspektivní afinita (dále jen afinita) mezi rovinami ρ a ρ '.
  • Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa afinity, směr s nazýváme směr afinity.
  • Označení:
  • AA ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '.
  • AA ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou afinně sdružené body.
  • pp ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou afinně sdružené přímky.
  • Afinita je dána:
  • osou o a párem odpovídajících si bodů A, A '; směr afinity je pak určen přímkou AA ';
  • osou o, směrem s a párem odpovídajících si přímek p, p ' protínajících se na ose afinity;
  • třemi páry afinně sdružených bodů, kde AA ' || BB ' || CC '.
perspektivn afinita1

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní afinita

Základní vlastnosti afinity:

1. Bodu (resp. přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (resp. jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A ' ležící na přímce a ' v rovině ρ ' , přičemž a' je obrazem a. (zkráceně: incidence se zachovává)

2: Dvojice afinně sdružených bodů leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity (tyto přímky budeme nazývat paprsky afinity).

3. Afinně sdružené přímky se protínají na ose afinity. Osa afinity je množina samodružných bodů.

Další důležité vlastnosti:

4. Nevlastní přímce jedné roviny odpovídá nevlastní přímka druhé roviny.

5. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek.

6. Průsečíku M různoběžných přímek p, q odpovídá průsečík M ' odpovídajících přímek p ', q '.

7. Afinita zachovává (jako každé rovnoběžné promítání) dělící poměr i dvojpoměr.

8. Středu S úsečky AB odpovídá střed S ' úsečky A 'B ' (důsledek vlastnosti 7).

perspektivn afinita2

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Perspektivní afinita

Promítneme-li afinitu o směru s mezi rovinami ρ a ρ ' libovolným směrem s* různým od s (s* není rovnoběžný s ρ ani s ρ ') do libovolné roviny  (která není rovnoběžná se směrem s*), získáme geometrické zobrazení nazývané perspektivní afinita v rovině (dále jen afinita).

slide50

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Poznámka:

Afinitu budete využívat při sestrojování rovinných řezů hranolů a válců. Mezi podstavou a řezem je afinní vztah, osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr afinity je směr povrchových přímek tělesa (všechny povrchové přímky hranolu, resp. válce jsou rovnoběžné).

Postup při sestrojení řezu hranolu nebo válce je následující:

1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (případně boční hrany hranolu) nebo osy tělesa s rovinou řezu.

2. Využitím vlastností afinity určíme čáru řezu jako křivku afinní ke křivce podstavy (osa afinity: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce).

sdru en pr m ry elipsy

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Sdružené průměry elipsy

viz cvičení

Průměrem elipsy (kružnice) se nazývá tětiva procházející jejím středem. Dva průměry elipsy (kružnice) se nazývají sdružené, jestliže tečny v koncových bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem a naopak.

Sdruženými průměry kružnice rozumíme každou dvojici na sebe kolmých průměrů. Osy elipsy jsou jediná navzájem kolmá dvojice sdružených průměrů.

rytzova konstrukce

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Rytzova konstrukce

viz cvičení

  • Sestrojíme přímku p, která prochází středem S a je kolmá k některému průměru.
  • Na přímce p určíme bod L’, pro který platí |S’L’|=|SL|.
  • Sestrojíme přímku q(L’,M).
  • Sestrojíme střed O úsečky L’M.
  • Sestrojíme kružnici k, která má střed v bodě O a prochází bodem S.
  • Určíme průsečíky I, II kružnice k s přímkou q.
  • Hlavní osa elipsy je přímka o1(S,I), vedlejší osa elipsy je přímka o2(S,II) – hlavní osa leží v menším úhlu, který svírají sdružené průměry.
  • Délka hlavní poloosy – |MI|; délka vedlejší poloosy – |MII|.
prou kov konstrukce elipsy
rozdílová

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Proužková konstrukce elipsy

viz cvičení

  • součtová
afinn obraz kru nice

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Afinní obraz kružnice

viz cvičení

Příklad:D: AF (SS’, o), k(S,r)S: k’

afinn obraz kru nice1

Jan Šafařík: První přednáška

Deskriptivní geometrie BA03

Afinní obraz kružnice

viz cvičení

Příklad: D: AF (SS ’, o), k(S,r)

S: k ’,

konstrukce na přímé získání

os elipsy.

konec

Konec

Děkuji za pozornost