Numerick met dy rie enia diferenci lnych rovn c
Download
1 / 23

Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc - PowerPoint PPT Presentation


  • 119 Views
  • Uploaded on

Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc. Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester. Literatúra:. Arnold V.I. Obyčajné diferenciálne rovnice Komorn ík, Komorníková, Mikula: Modelovanie ekonomických a finančných procesov Babu šíková, Slodička, Weisz: Numerické metódy, skriptum

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc' - delling-ull


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Numerick met dy rie enia diferenci lnych rovn c

Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Matematicko-počítačové modelovanie

4. semester


Literat ra
Literatúra:

  • Arnold V.I. Obyčajné diferenciálne rovnice

  • Komorník, Komorníková, Mikula: Modelovanie ekonomických a finančných procesov

  • Babušíková, Slodička, Weisz: Numerické metódy, skriptum

  • Míka, Kufner: Okrajové úlohy pre ODR

  • Handlovičová, Schiesslová: Diferenčné metódy riešenia inžinierskych úloh


Oby ajn diferenci lne rovnice
Obyčajné diferenciálne rovnice

Základné vedomosti z klasickej teórie ODR

  • ODR 1. rádu, separovateľná lineárna, lineárna s pravou stranou

  • ODR 2. rádu, vyšších rádov pre lineárne ODR s konštantnými koeficientami a pravou stranou

  • Cauchyho úloha, okrajová úloha

  • Systém ODR


F zov priestor
Fázový priestor

  • Proces

  • Proces sa nazýva deterministický, ak celý jeho budúci aj minulý vývoj je jednoznačne určený súčasným stavom.

  • Množina všetkých stavov procesu sa nazýva fázový priestor


Pr klady deterministick ch procesov
Príklady deterministických procesov

  • 1. klasická mechanika- pohyb sústavy je jednoznačne určený začiatočnou polohou a rýchlosťou sústavy na začiatku.

  • 2. finančníctvo - narastanie hodnoty vkladu na bankovom účte pri pevne stanovenom úroku

  • 3. biológia – rozmnožovanie živočíšneho druhu v modeloch populačnej dynamiky


Nedeterministick procesy
Nedeterministické procesy

1. Kvantová mechanika– nie je deterministický proces

2. Vedenie tepla-polodeterministický proces, budúcnosť je prítomnosťou jednoznačne určená, minulosť nie

3. Finančníctvo - hodnota opcie alebo iného finančného derivátu


F zov priestor1
Fázový priestor

Proces sa nazýva konečnorozmerný, ak jeho fázový priestor je konečnorozmerný to jest, ak počet parametrov potrebných na popis jeho stavu je konečný.

Príklady:

spojité úrokovanie – jendorozmerný fázový priestor

Matematické kyvadlo - dvojrozmerný


Diferencovate n proces
Diferencovateľný proces

  • Proces sa nazýva diferencovateľný ak jeho fázový priestor má štruktúru diferenciálnej variety a zmena stavu v čase sa opisuje diferencovateľnými funkciami

    Charakter procesu je možné určiť len experimentálne


F zov tok
Fázový tok

  • Nech je M RN fázový priestor procesu ,

  • RN je N-rozmerný euklidovský priestor

  • x0 z M je počiatočný stav procesu.

  • gt(x0) je stav procesu v čase t, teda pre reálne t sme definovali zobrazenie

  • Množinu nazývame

    tokom fázovým priestoromak plati:



V voj stavu trajekt ria
Vývoj stavu, trajektória

  • Vývojom stavu x0z M riadeným tokom gt nazývame zobrazenie , pre ktoré platí

  • Obraz zobrazenia x je krivka v priestore M a nazýva sa trajektória (fázová krivka)


Integr lna krivka ekvilibrium
Integrálna krivka, ekvilibrium

  • Kartézsky súčin RxM nazývame rozšíreným fázovým priestorom.

  • Krivku {(t,x(t)), t z R } nazývame integrálnou krivkou

  • Rovnovážnym (ustáleným ) stavom toku gt fázovým priestorom M nazývame bod xs z M, pre ktorý platí gt (xs )= xs pre všetky t z R, teda bod, ktorý je sám o sebe trajektóriou.

  • Rovnovážny stav nazývame tiež stacionárny bod alebo ekvilibrium procesu


F zov r chlos
Fázová rýchlosť

  • Fázovou rýchlosťou v(x) toku gt v bode x z M sa nazýva vektor rýchlosti pohybu toho bodu t.j.

  • Je to vlastne vektor dotyčnice ku fázovej krivke prechádzajúcej bodom x. Vyjadruje tendenciu vývoja procesu nachádzajúceho sa v stave x


Veta

  • Bod xs z M je stacionárny bod toku gt vtedy a len vtedy, keď je kritickým bodom vektorového poľa v, to jest keď v(xs)=0.


Pr klady
Príklady

Spojité úrokovanie – fázový priestor je jenorozmerný:

Fázový priestor:

Zákon vývoja: x´=rx, x hodnota investície, r úroková miera , počiatočný stav x(0)=x0

Pole fázovej rýchlosti: v(x)=rx

Fázový tok, trajektória

integrálne krivka


Pr klady1
Príklady

Rýchlosť rádioaktívneho rozpadu – fázový priestor je jenorozmerný:

Fázový priestor:

Zákon vývoja: x´=-kx, x množstvo látky,k koeficient úmernosti

Pole fázovej rýchlosti: v(x)=-kx


F zov priestor2
Fázový priestor

Príklady:

matematické kyvadlo- proces závislý od dvoch parametrov:

x1 – uhol odklonu od zvislej roviny

x2 – uhlová rýchlosť pohybu

Pre malé výchylky platí:

x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g

Fázový priestor:


Vektorov pole mat kyvadla
Vektorové pole mat. kyvadla

x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g

k=1

v: (x1,x2) -> (x2,-kx1)



ODR

  • Fázový tok teda definuje vektorové pole fázových rýchlostí v.

  • Opačná úloha: nájsť tok gt fázovým priestorom, ak je zadané rýchlostné pole v(x) v každom bode x z M nazývame hľadaním riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice.

  • Z lokálneho zákona evolúcie , teda zadaných fázových rýchlostí v bodoch x z M hľadáme globálny obraz vývoja, minulosť aj prítomnosť


ODR

  • U je otvorená oblasť v RN a nech v je vektorové pole v U . Obyčajnou diferenciálnou rovnicou danou vektorovým poľom v nazývame rovnicu:


Rie enie odr
Riešenie ODR

  • Nech I={t z R; a<t<b} je časový interval. Riešením ODR sa nazýva diferencovateľné zobrazenie

    také, že pre každé t z I platí rovnosť


Rie enie odr1
Riešenie ODR

  • Ak pre zobrazenie x navyše platí podmienka

  • Hovoríme, že riešenie x ODR spĺňa začiatočnú podmienku


ad