Сызықты кеңістіктің ішкі кеңістігі

1. Сызықты кеңістіктің ішкі кеңістігі 050601-математика (қаз.) мамандығында оқитын студенттерге арналған Слайд - лекцияны құрастырған математика кафедрасының доценті Буентинова Н.Ч.

2. Дәріс №1

3. Айталық, V сызықты кеңістігі мен осы кеңістіктің L ішкі жиын берілсін. Ол жиыншаның барлық векторларына төмендегі екі ереже орындалсын делік: 1) егер x пен y векторлары L ішкі жиынның векторлары болса, онда олардың x +y қосындысы да осы ішкі жиынның векторлары, яғни x +y  L; 2) егер x  L және  кез келген сан болса, онда олардың көбейтіндісі де осы жиынның элементі, яғни x  L.

4. Жоғарыдағы екі ережені қанағаттандыратын кез келген L ішкі жиын сызықты кеңістік болатынын көрсетейік. Ол үшін, сызықты кеңістік анықтамасындағы, 1-8 аксиомалары L ішкі жиынның векторларына да орындалатынын дәлелдесек жеткілікті. Анықтамадағы 3 пен 4-аксиомалардан басқа аксиомалар L ішкі жиынның векторларына да орындалады. Себебі, 1-8 аксиомалар V кеңістігінің кез келген векторларына орындалады. Енді 3 пен 4-аксиомалар L ішкі жиынның векторларына орындалатынын тексерейік. x векторын L ішкі жиынның кез келген векторы, ал кез келген сан болсын. Онда, 2) ереже бойынша x  L әрі сызықтың кеңістіктің 3 пен 6-шы қасиеттері бойынша x элементі =0 болғанда V сызықты кеңістіктің нөл векторына, =-1 болғанда V кеңістіктің x векторының кері векторына, яғни –x элементіне айналады. Демек, нөл вектор мен L ішкі жиындағы кез келген вектордың кері элементі осы ішкі жиынға тиісті. Олай болса, 3 пен 4-аксиомалар L ішкі жиынға да орындалады, яғни V сызықты кеңістігінің ішкі жиынында да сызықты кеңістік.

5. Анықтама. V сызықты кеңістігінің сызықты ішкі кеңістігі деп 1) мен 2) ережені қанағаттандыратын осы сызықты кеңістіктің L ішкі жиынын айтамыз. Бұл қысқаша ішкі кеңістік деп аталады.

6. Мысалы, V сызықты кеңістігінің тек бір ғана нөл вектормен анықталған жиыншысы V кеңістігінің ішкі кеңістігі болады, бұл жағдайда ол ішкі нөл кеңістік деп аталады. Осы сияқты үш өлшемді сызықты кеңістіктегі координат жүйесінің бас нүктесінен өтетін жазықтықтың бойында жатқан векторлардың жиыны үш өлшемді кеңістіктің ішкі кеңістігі болады. Шынында да, векторларды қосқанда және санды векторға көбейткенде алынған жаңа векторлар осы жазықтықтың бойында жатады. Кез келген V сызықты кеңістігінің  ішкі кеңістігін құруға болады. Ол кеңістікті құру үшін V сызықты кеңістігінің кез келген x ,y ,…z векторлар жиынын аламыз. Осы векторлардың барлық сызықты комбинацияларының жиыны V сызықты кеңістігінің ішкі кеңістігі болады. Себебі, V кеңістігінің x ,y ,...,z элементтерінің қосындысы және элементтерді санға көбейтіп, осы көбейтіндінің сызықты комбинациясы да L кеңістігінің элементтері болады.

7. Анықтама. V сызықты кеңістігінің x ,y ,...,z элементтерінен анықталған барлық x y ...z - сызықты комбинациясының жиынтығы осы элементтердің сызықты қабықшасы деп аталады және ол L(x ,y ,...,z)=x y ...z  - таңбамен белгіленеді, мұндағы  нақты сандар.

8. Осы анықтамадан, V сызықты кеңістігінен еркімізше алынған x,y ,...,z элементтерінен анықталған L(x ,y ,...,z) – сызықты қабықшаға жоғарыдағы 1) мен 2) – ережелер орындалады. Олай болса, L(x ,y ,...,z) –сызықты қабықшасы R сызықты кеңістігінің ішкі кеңістігі болады. x,y ,...,z элементтер осы элементтердің сызықты комбинациясынан анықталған L(x ,y ,...,z) кеңістігінің де элементтері болып табылады. Сондықтан, x ,y ...,z элементтерінің L(x ,y ,...,z) – сызықты қабықшасы ең кіші сызықты кеңістік болады. Егер L сызықты кеңістігі V сызықты кеңістігінің ішкі кеңістігі болса, онда dimL dimV болады, яғни ішкі кеңістіктің өлшемі негізгі сызықты кеңістіктің өлшемінен үлкен болмайды. Шынында да,  ішкі кеңістігінің сызықты тәуелсіз элементтері V негізгі кеңістігінің де элементтері бола алады. Олай болса, dimL dimV. Егер dimL dimV болса, онда L=V.

9. 1- теорема Егер l1, l 2,..., l k сызықты тәуелсіз векторлар және l k+1 L(l 1, l 2,..., l k) болса, онда l 1, l 2,..., l k, l k+1 векторлары да сызықты тәуелсіз, мұндағы l i L(l 1, l 2,..., l k), i = .

10. 2- теорема. V k кеңістігі V nсызықты кеңістігінің ішкі кеңістігі, ал l 1, l 2,..., l k – элементтері Vk кеңістігінің базисі болса, онда l 1, l 2,..., lk+1,..., ln элементтері арқылы толықтыруға болады

11. 3- теорема L(x y , ,...,z) сызықты қабықшасының өлшемі x ,y ,...,zэлементтеріндегі сызықты тәуелсіз элементтер санының ең үлкеніне тең.

12. Салдар. Егер x ,y ,...,z элементтері сызықты тәуелсіз болса, онда L(x ,y ,...,z) сызықты қабықшасының өлшемі x ,y ,...,z векторларының санына тең.

13. Сызықты кеңістіктердің тура қосындысы

14. Анықтама. Егер V n кеңістігінің кез келген yвекторы x L 1 мен x L 2 элементтерінің қосындысы: y =x +x  түрінде өрнектелсе әрі ол тек біреу ғана болса, онда V кеңістігі L 1 мен L 2 кеңістіктері арқылы тура қосындыға жіктелінеді делінеді, ол V= L 1 L 2 символымен белгіленеді. Айталық, V n сызықты кеңістігі және оның L1 мен L2 ішкі кеңістіктері берілсін.

15. 1- теорема Егер де: 1) L 1 мен L 2 кеңістіктеріне ортақ тек бір ғана нөл векторы болса 2) L1 мен L2 кеңістіктерінің өлшемдерінің қосындысы Vn кеңістігінің өлшемінің қосындысына тең, яғни dimL 1 + dimL2=dimVn=n болса, онда Vn- кеңістігі L1 мен L2 ішкі кеңістіктері арқылы тура қосындыға жіктелінеді: V= L1 L2 , яғни y=x +x , x L1, x L2, y Vn.