第三章控制系统的时域分析法

第三章控制系统的时域分析法

第三章控制系统的时域分析法 • 第一节二阶系统的瞬态响应及性能指标 • 第二节增加零极点对二阶系统响应的影响 • 第三节反馈控制系统的稳态误差 • 第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据

第一节二阶系统的瞬态响应及性能指标 瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应，可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态响应，有以下方法： 1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法本小节首先讨论典型输入信号、性能指标等内容，然后讨论一阶、二阶系统的瞬态响应，最后讨论如何处理高阶系统的瞬态响应问题。

一、典型输入信号 （一）阶跃信号阶跃信号的表达式为： (3.1) 当A=1时，则称为单位阶跃信号，常用1(t)表示，如图3-1所示。  图3-1 阶跃信号图3-2 斜坡信号  

（二）斜坡信号 斜坡信号在t=0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为： (3.2)

（三）抛物线信号  抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号的积分而得。抛物线信号的表达式为：（3.3）当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示

（四）脉冲信号 单位脉冲信号的表达式为： (3.4) 其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 的矩形脉冲，当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t)函数)。 (3.5)

（五）正弦信号 正弦信号的表达式为: （3.6）其中A为幅值，w =2p/T为角频率。图3-5 正弦信号

二、系统的性能指标 系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图3-6所示。这时瞬态响应的性能指标有： 1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，常以百分比表示，即最大百分比超调量sp＝最大超调量说明系统的相对稳定性。 2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，称为延滞时间。

3. 上升时间tr——它有几种定义：  (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间；  (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间；  (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。 4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义为峰值时间。 5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定义为调整时间。

图3-6 单位阶跃响应

 对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰动输入为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动，如图3-7所示。

三、瞬态响应分析 （一）一阶系统的瞬态响应可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统。考虑如图3-8所示的一阶系统，它代表一个电机的速度控制系统，其中t 是电机的时间常数。图3-8 一阶控制系统该一阶系统的闭环传递函数为 (3.7)

当系统输入为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输出响应的拉氏变换为当系统输入为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输出响应的拉氏变换为 (3.8) 取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为 (3.9) 系统响应如图3-9所示。从图中看出，响应的稳态值为 (3.10)

图3-9 一阶系统的单位阶跃响应

若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差 (3.11) 不可能为零。系统的时间常数为 (3.12) 它可定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。

t = T， c(1T) = 0.632 c(∞) t = 2T， c(2T) = 0.865c(∞) t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞) t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞) 由式(3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系：从中可以看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差）的时间后进入稳态。

如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中的c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线达到稳态值所需要的时间。 (3.13) 因此，当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即所以

（二）二阶系统的阶跃响应 在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为由上式可看出，z 和wn是决定二阶系统动态特性的两个非常重要参数，其中z 称为阻尼比，wn 称为无阻尼自然振荡频率. 图3-10 二阶系统

例如图2-2中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为 式中，无阻尼自然振荡频率就是电路当R=0时的谐振频率；阻尼比

又如图2-3中电枢控制的直流电动机，输出w 与电枢电压ua之间传递函数为或式中

由式(3.14)描述的系统特征方程为 (3.15) 这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为 (3.16) 显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。

下面分别对二阶系统在0<z<1，z =1，和z >1三种情况下的阶跃响应进行讨论。 1. 0<z <1，称为欠阻尼情况按式(3.14)，系统传递函数可写为 GB(s)= (3.17) 它有一对共轭复数根 (3.18) 式中称为有阻尼振荡频率。

在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，系统输出的拉氏变换为 (3.19) 对式(3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)： (3.20)

它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数z和wn决定。它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数z和wn决定。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-11 欠阻尼情况(0<z <1)

系统的误差则为 (3.21) 当t→∞时，稳态误差e (∞)＝０。若z =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即 (3.22) 此时单位阶跃响应为 (3.23) 它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn。 s1,2= ±jwn

2. z =１，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn (3.24) 系统输出的拉氏变换为 (3.25) 取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.26)

响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)

3. z＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比z＞１时，系统有两个不相等的实数根： (3.27) 对于单位阶跃输入，C(s)为 (3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.29)

图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =１时来得长。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应  图3-13 过阻尼情况(z >1) 根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定z值下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。

图3-14 二阶系统单位阶跃响应

（三）二阶系统的脉冲响应 当输入信号为单位脉冲信号d (t)，即R(s)=１时，二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为 (3.30) 对式(3.30)求拉氏反变换，得 (3.31) 可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。

由式(3.31)，对于欠阻尼情况(0<z <1)，有 (3.32) 对于临界阻尼情况(z＝１)，有 c(t)= w2n t e-wn t (3.33) 对于过阻尼情况(z >1)，有 (3.34) 图3-15表示不同z值时的单位脉冲响应曲线。

图3-15 二阶系统单位脉冲响应

（四）二阶系统的瞬态响应性能指标 通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有： 1. 上升时间tr 按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得

因此 (3.35) 式中 (3.36) 由式(3.35)可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当z一定，wn必须加大；若wn为固定值，则z越小，tr也越小。 2. 峰值时间tp 按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到

到达第一个峰值时 wd tp = p 所以 (3.37) 上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一定, z越小，tp也越小。

3. 最大超调量sp 以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量 (3.38) 由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小，超调量越大。当z =０时，sp %= 100%，当z =１时，sp % =０。sp与z的关系曲线见图3-16。

图3-16 sp与z的关系

4. 调节时间ts 根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中T=1/zwn，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值或0.02 (3.39)

图3-17 ts与z的关系图3-18 z稍微突变引起的ts突变

当０＜z＜0.9时，则 (按到达稳态值的95%~105%计) (3.40) 或 (按到达稳态值的98%~102%计) 由此可见, zwn大，ts就小，当wn一定，则ts与z成反比，这与tp，tr与z的关系正好相反。根据以上分析，如何选取z和wn来满足系统设计要求，总结几点如下： (1) 当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts则应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过大。 (2) 增大wn，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量sp只由z决定, z越小，sp越大。所以，一般根据sp的要求选择z值，在实际系统中，z值一般在0.5～0.8之间.

四、线性定常系统的重要特性 对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r(t)的作用下，其输出c(t)的拉氏变换为C(s)=GB (s)R(s)。若系统的输入为其拉氏变换为这时系统的输出为当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。

同理，若系统的输入为 ,其拉氏变换为此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。由上可以推知： (一)由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数. (二)由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。

第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。

常用的稳定性分析方法有：  1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.  2. 根轨迹法这是一种图解求特征根的方法。它是根据系统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。

一、稳定性的概念  稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。 (a) 稳定的 (b) 不稳定的图3-31 圆锥体的稳定性

根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是有界的： | r(t)|<∞， t ≥0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。

线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即 (3.58) 则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式 (3.59) 来分析。这时，在任何初始条件下，若满足 (3.60)

则称系统(3.58)是稳定的。 为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学分析知道，式(3.59)的特征方程式为 (3.61) 设上式有k个实根-pi（i=1，2，…，k），r对共轭复数根(-s i±jw i ) (i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方程式(3.59)解的一般式为 (3.62) 式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。从式(3.62)可知：  (1) 若-pi <0，-s i <0（即极点都具有负实部），则式(3.60)成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定的。

第三章 控制系统的时域分析法