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第二章 土体应力计算

第二章 土体应力计算. 上海大学 土木工程系. 2-1 概 述. 支承建筑物荷载的土层称为 地基 。 与建筑物基础底面直接接触的土层称为 持力层 。 将持力层下面的土层称为 下卧层 。 土体的应力按引起的原因分为 自重应力 和 附加应力 ； 自重应力 ——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力 ——由外荷（静的或动的）引起的土中应力 。. 2-1 概 述. 按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为 有效应力 和 孔隙应力 。 有效应力 ——由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力 ——由土中孔隙流体（水和气体）传递的应力。.

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第二章 土体应力计算

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  1. 第二章 土体应力计算 上海大学 土木工程系

  2. 2-1 概 述 支承建筑物荷载的土层称为地基。 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。 将持力层下面的土层称为下卧层。 土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力； 自重应力——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。

  3. 2-1 概 述 按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应力。 有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力——由土中孔隙流体（水和气体）传递的应力。 土中任意一点的应力状态用六个独立分量表示：

  4. 2-1 概 述 土力学中应力符号的规定 正应力 剪应力 + - 拉为正 压为负 顺时针为正 逆时针为负 材料力学 + - 逆时针为正 顺时针为负 压为正 拉为负 土力学

  5. Δσ ε 2-1 概 述 土中应力的研究方法（研究假定） 线弹性体 实际 假定 ①连续介质 （宏观平均） 加载 碎散体 非线性 弹塑性 ②线弹性体 （应力较小时） 卸载 成层土 各向异性 ③均匀一致各向同性体 （土层性质变化不大时） εp εe 土的非线性弹塑性应力应变曲线

  6. 2-2 地基中的自重应力 竖向应力 地下水位以下，用有效容重；不同土层的重量可以叠加

  7. 2-2 地基中的自重应力 侧向应力 无侧向变形（侧限）条件下： K0——静止侧压力系数，它是土体在侧限条件下有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1 之比， K0与土层的应力历史及土的类型有关。 正常固结粘土： K0 ＝1－sin 对一般地基K0 ＝0.5左右

  8. 2-2 地基中的自重应力 分布规律 • 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； • 自重应力在成层地基中呈折线分布； • 在土层分界面处和地下水位处发生转折。 成层地基 均质地基

  9. 2-2 地基中的自重应力 例题 The stratum’s conditions and the related physical characteristics parameters of a foundation are shown in Fig below. Calculate the stress due to self-weight at a,b,c. Draw the stress distribution. w=15.6% e=0.57 γs=26.6kN/m3 w=22% wL=32% wp=23% γs=27.3kN/m3 （ watertight ）

  10. 2-2 地基中的自重应力

  11. 2-2 地基中的自重应力 a σz=0 b σz(upper)=γ’1h1=9.9×2=19.8kPa σz(Down)=γ’1h1+ γw(h1+hw)=9.9×2+10×(2+1.2)=51.8kPa c σz=γ’1h1+ γw(h1+hw)+ γsat2h2 = 9.9×2+10×(2+1.2)+20.8×3=114.2kPa

  12. 2-2 地基中的自重应力 The stratum’s conditions and the related physical characteristics parameters of a foundation are shown in Fig below. Calculate the stress due to self-weight at 10m depth. Draw the stress distribution. Note: For saturated clay, both cases (watertight and non-watertight) need to consider. w=8% e=0.7 γs=26.5kN/m3 e=1.5 γs=27.2kN/m3

  13. 2-3 基底压力与基底附加压力 基底（接触）压力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面 处施加于地基上的单位面积压力。 地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。 基底附加应力是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。

  14. 2-3 基底压力与基底附加压力 • 大小 • 方向 • 分布 影响基底压力分布和大小的因素 荷载条件 • 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深 基础条件 地基条件 • 土类 • 密度 • 土层结构等

  15. 2-3 基底压力与基底附加压力 柔性基础与刚性基础 柔性基础：刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同；

  16. 2-3 基底压力与基底附加压力 刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。 当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。

  17. B L x y 2-3 基底压力与基底附加压力 刚性基础下基底压力分布 （一）中心荷载下的基底压力 中心荷载作用下的矩形基础，上部结构荷载P与 基础自重G的合力Fv通过基底形心，基底压力为 均匀分布。平均基底压力为： Fv

  18. B B B e L L L x x x y y y 2-3 基底压力与基底附加压力 （二）偏心荷载下的基底压力 矩形面积单向偏心荷载 Fv 土不能承受拉应力 Fv Fv 压力调整 e K e 基底压力合力与总荷载相等 K=B/2-e 3K e>B/6: 出现拉应力区 e<B/6: 梯形 e=B/6: 三角形

  19. B ey L x ex y 2-3 基底压力与基底附加压力 Fv 矩形面积双向偏心荷载 W为矩形底面的抗弯截面系数 （特例）

  20. 2-3 基底压力与基底附加应力 三、基底附加压力——基底净压力 基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底附加压力或基底净压力。 对于基底压力p为均布情况

  21. P o α x r y x M’ β R z y M z 2-4 地基中的附加应力计算 计算假定：半空间无限体假定；连续、均质各向同性的线弹性体假定。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 一、附加应力基本解答 （一）竖向集中力作用下地基附加应力 由布辛内斯克Boussinesq·J(1885)解答 得 的表达式

  22. P o α x r y x M’ β R z y M z 2-4 地基中的附加应力计算 式中： 称为竖向集中力作用竖向附加应力系数 P 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 查表2-3 0.1P 0.05P ap 0.02P 0.01P 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r/z σz 等值线－应力泡

  23. 2-4 地基中的附加应力计算 竖向集中力作用下地基附加应力分布特征 a点以下 沿水平面 沿 z轴 z 1.σz与α无关，应力呈轴对称分布 2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 竖直面上合力过原点，与R同向 3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小

  24. 2-4 地基中的附加应力计算 （二）等代荷载法——基本解答的初步应用 由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力Fi（i=1，2，·‥n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。 式中：Ki——第i个竖向附加应力系数。

  25. 2-4 地基中的附加应力计算 叠加原理 等代荷载法

  26. 2-4 地基中的附加应力计算 叠加原理 P P 2 1 σz1 σz2 σz1 σz2 +

  27. 2-4 地基中的附加应力计算 二、空间问题条件下地基附加应力 （一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力 微面积dxdy上的微集中力dP=pdxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力为 p 沿整个矩形面积积分得到基底净压力 pn 作用下矩形基底 角点O下z深度处所引起的附加应力为： M

  28. 2-4 地基中的附加应力计算 二、空间问题条件下地基附加应力 m=L/B, n=z/B 查表2-9 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数

  29. 2-4 地基中的附加应力计算 表2-9

  30. 2-4 地基中的附加应力计算 任意点的垂直附加应力—角点法 d c 对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力σz ，可以先逐个计算每个矩形面积角点下的σz 值，再按叠加原理求得该计算点附加应力σz 的最后结果，称为“角点法”。 II IV III a b c h d a)矩形面积内 b b)矩形面积外 a g e o f

  31. 2-4 地基中的附加应力计算 例题 【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件 pn=p－γ·od＝140－18×0.5＝131kPa

  32. 2-4 地基中的附加应力计算 （2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得 l／b=2 ／1=2 z ／b=1／1=1 查表2－2得ac =0.1999，所以 σzo=4 ac pn=4×0.1999 ×131＝ 104.75（kPa） b c Q E H A G O F a d （3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。

  33. 2-4 地基中的附加应力计算 A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数ac相同。根据l，b，z的值可得 l／b=2 ／2=1 z ／b=1／2=0.5 查表应用线性插值方法可得ac=0.2315，所以 σzA=2 ac pn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 l／b=2.5／2=1.25 z ／b=1/2=0.5 查表2－9，利用双向线性插值得ac =0.2350

  34. 2-4 地基中的附加应力计算 对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 l／b=2／0.5=4 z ／b=1／0.5=2 查表2－9，得ac =0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）

  35. 2-4 地基中的附加应力计算 （二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力 pt M 查表3-3 矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数

  36. 2-4 地基中的附加应力计算 表2-10

  37. 2-4 地基中的附加应力计算 （三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力 当矩形面积基底受水平荷载ph（基底的水平方向均布切向力）作用时，角点1，2下的地基竖向附加应力为 ph 1 2 查表2-11 矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数

  38. 2-4 地基中的附加应力计算 （四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力 设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载pn，圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为 式中 查表2-12 圆形面积作用竖直均布荷载时的应力分布系数 为应力计算点到z轴的水平距离

  39. 2-4 地基中的附加应力计算 表2-12

  40. 2-4 地基中的附加应力计算 三、平面问题条件下的地基附加应力（l/B>=10） （一）竖直线荷载作用下的地基附加应力 线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。 在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得 M --符拉蒙解答

  41. 2-4 地基中的附加应力计算 （二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力 由符拉蒙解答可得地基中任意M点的附加应力为 p M 竖向附加应力 条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数 查表2-13

  42. 2-4 地基中的附加应力计算 条形基底均布荷载作用下地基附加应力(极坐标解答) 这部分是否要讲？

  43. 2-4 地基中的附加应力计算 (1) Isoline(等值线) (2) Direction of principal stress（主应力方向） (3) The value of maximum shear stress（最大剪应力）

  44. 2-4 地基中的附加应力计算 -主应力（Principal stress）

  45. 2-4 地基中的附加应力计算

  46. 2-4 地基中的附加应力计算 （三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力 条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zptdz/b 应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力： σz＝astpt σx＝asxtpt τxz=asxytpt 式中：ast，asxt，asxyt为条形基底三角形分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是m=x/b，n=z/b的函数。 查表2-14 注意：（1）原点在尖点 （2）X轴正向与荷载增大方向一致

  47. 2-4 地基中的附加应力计算 【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自重及其上部其他竖向荷载Fv= 2400kN/m，作用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力等作用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3，若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv， Fh作用基础中心点及前缘A点下深度z=7.2m处M点，N点的附加应力。

  48. 2-4 地基中的附加应力计算 【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh 移至基底面，根据静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利用合力矩定理，即 Fhx= Fv ×3.2－ Fh ×2.4 则 x=（3.2 Fv －2.4 Fh ）／ Fv =3.2－2.4 ×400 ／ 2400 ＝2.8（m） 于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的左侧0.2m。 （2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－5），得竖向基底压力

  49. 2-4 地基中的附加应力计算 应用式（2－7），得 Ph= Fh /b=400/6=66.7kPa （3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下 Pn= Pmin － γo d=320－19×1.5＝291.5kPa Pt = Pmax － Pnmin =480－320＝160kPa （4）计算各种压力形式Pn ， Pt ， Ph引起的地基M点和N点的附加应力，为了清晰起见，可采用列表的方法进行。

  50. 2-5 地基中附加应力的讨论 （一）附加应力影响范围（教材P77） 成层 均匀 （二）成层地基的影响 H E1 非均匀性—成层地基 (1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 E2>E1 • 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中； • 应力集中程度与土层刚度和厚度有关； • 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基 H E1 • 中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散； • 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； • 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。 均匀 成层 E2<E1

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